高中数学北师大版必修1学案：第2章函数1生活中的变量关系2对函数的进一步认识2.3映射

2.3　映　射
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解映射、一一映射的概念．(重点)
2．初步了解映射与函数间的联系与区别．(易混点)
3．感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用．(重点)
1.通过学习映射的概念，培养数学抽象素养．
2．通过学习有关映射的概念提升逻辑推理素养.
阅读教材P32的有关内容，完成下列问题．
1．映射的概念
两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.
2．像与原像的概念
在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.
思考1：映射f：A→B的原像集一定是A，像集一定是B吗？
[提示]　原像集一定是A，像集不一定是B.当B中存在元素没有原像时，像集不是B.
3．一一映射的概念
阅读教材P33的有关内容，完成下列问题．
一一映射是一种特殊的映射，它满足：
(1)A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；
(2)A中的不同元素的像也不同；
(3)B中的每一个元素都有原像．
思考2：对于一一映射f：A→B，若A中有n个元素，则B中一定也有n个元素吗？
[提示]　B中一定有n个元素．
4．函数与映射的关系
阅读教材P33的有关内容，完成下列问题．
设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．
思考3：f：学生→该学生的学籍号，是映射，但它是函数吗？
[提示]　不是函数，因为集合{学生}不是数集．
1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{a，b，c}，则从集合A到B的一一映射的个数为(　　)
A．4　 B．6　　　C．9　 D．12
B　[
共6个．]
2．设A＝Z，B＝{0,1}，从A到B的映射是“求被2除的余数”，则A中元素－3的像是________．
1　[因为－3＝(－2)×2＋1，所以，－3的像是1.]
3．下列集合A到集合B的映射f不是函数的有________．
①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方；
②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方；
③A＝N，B＝Q，f：A中的数取倒数．
②③　[①当x∈A时，y＝x2∈B，是函数，②当x＝1，y＝±1，不是函数，③当x＝0时，像不存在．]
4．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
5　[由f(2)＝3，得2a－1＝3，解得a＝2，所以f(3)＝2×3－1＝5.]
映射、一一映射的判断
【例1】　已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}．判断下列对应是否是集合A到集合B的映射，是否是一一映射，并说明理由．
(1)f：x→y＝x；
(2)f：x→y＝(x－2)2；
(3)f：x→y＝(x－1)2.
[思路探究]　根据映射、一一映射的定义判断．
[解]　(1)因为0≤x≤3，所以0≤x≤1，所以对集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像，所以对应f：A→B是集合A到集合B的映射．
对于集合B中的每一个元素y，由x＝3y及0≤y≤1，有0≤3y≤3,0≤x≤3.即集合B中的每一个元素在集合A中都有原像，且这样的原像只有一个，所以对应f：A→B是一一映射；
(2)因为0≤x≤3，所以－2≤x－2≤1，所以0≤(x－2)2≤4，所以集合A中的某些元素，如x＝0，在集合B中没有像，因此对应f：A→B不是映射，更不是一一映射；
(3)因为0≤x≤3，所以－1≤x－1≤2,0≤(x－1)2≤1，所以集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像，所以对应f：A→B是映射．
对于集合A中的元素x＝0和x＝2，都对应于集合B中的同一个元素，所以不是一一映射．
1．映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
2．一一映射，在对应是映射的基础上，若B中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射．
1．下列集合A到集合B的对应中是一一映射的为________．(填序号)
①A＝N，B＝Z，f：x→y＝－x；
②A＝R＋，B＝R＋，f：x→y＝；
③A＝{－4，－1,1,4}，B＝{－2，－1,1,2}，f：x→y＝±；
④A＝{平面内边长不同的等边三角形}，B＝{平面内半径不同的圆}，f：作等边三角形的内切圆．
②④　[①是映射，不是一一映射，因为集合B中有些元素(正整数)没有原像．②是映射，是一一映射．不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实数，任何一个正实数都存在倒数．③不是映射，因为集合A中的元素(如4)对应集合B中的两个元素(2和－2)．④是一一映射．]
求像与原像
【例2】　设f：A→B是一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y)
(1)求A中元素(－1,2)的像；
(2)求B中元素(－1,2)的原像．
[思路探究]　从f：(x，y)→(x－y，x＋y)入手，其中(x，y)是原像，(x－y，x＋y)是像．
[解]　(1)当x＝－1，y＝2时，x－y＝－1－2＝－3，x＋y＝－1＋2＝1.
所以(－1,2)的像是(－3,1)．
(2)由得
所以(－1,2)的原像是.
1．(变条件)设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是f：x→2x－1，从B到C的映射是g：y→，则经过两次映射，A中元素1在C中的像为________．
　[f：1→2×1－1＝1，g：1→＝.]
2．(变结论)已知f：x→y＝|x|＋1是从集合R到R的一个映射，若b不是该映射的像，则b的取值范围是________．
(－∞，1)　[∵y＝|x|＋1≥1，∴该映射的像集是[1，＋∞)．∴b的取值范围是(－∞，1)．]
在求像和原像时要分清原像和像，特别注意原像到像的对应关系.对A中元素求像，只需将原像代入对应关系即可.对B中元素求原像，可先设出它的原像，然后利用对应关系列出方程?组?求解.
求映射个数
[探究问题]
1．已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2,3}，试建立一个从A到B像集为{1,2}的映射．
提示：或
2．对于探究1中的集合A，B，可以建立多少个从A到B的映射？
提示：像集分别为{1}，{2}，{3}的映射各1个；
像集分别为{1,2}，{1,3}，{2,3}的映射各2个，
所以，从A到B可以建立9个映射．
3．对于探究1中的集合A，B，可以建立多少个从B到A的映射？
提示：像集分别为{a}，{b}的映射各1个，像集为{a，b}的映射有6个，如下：
所以，从B到A可以建立8个映射．
【例3】　已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2,3}，映射f：A→B，则满足f(a)≤f(b)的映射有多少个？
[思路探究]　建立映射就是给原像找像，一种找法对应一个映射，为了避免重与漏，可以按f(a)的可能取值分类寻找．
[解]　因为f(a)≤f(b)，
所以，当f(a)＝1时，f(b)＝1,2,3；
当f(a)＝2时，f(b)＝2,3；
当f(a)＝3时，f(b)＝3.
所以，满足条件的映射共6个．
1．确定映射，就是给每个原像找像，每种找法对应一个映射．
2．对于求满足某些特定要求的映射个数时，可将映射具体化、形象化(如列表、画图等)．
2．设A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，若从A到B的映射满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．
[解]　列表如下：
f(b)
f(c)
f(a)
－1
0
1
－1
－1
0
0
－1
0
1
1
0
1
由上表可知，所求的映射有7个．
1．映射的特征
(1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应．
(2)唯一性：A中任意元素x在B中都有唯一元素y与之对应．
(3)方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射．
2．一一映射和映射的区别与联系
映射f：A→B
一一映射f：A→B
对应方式
“多对一”或
“一对一”
一对一
原像
B中的一些元素可能没有原像
B中的任何元素都有唯一的原像
像
A中的几个元素可能对应同一个像
A中的任何元素都对应不同的像
方向性
B到A不一定是映射
B到A是一一映射
1．思考辨析
(1)对于映射f：A→B，集合B中的每一个元素都有原像．(　　)
(2)若A＝Z，B＝Q，则f：x→y＝是由集合A到集合B的映射．(　　)
(3)f：x→y＝x＋1是由自然数集到自然数集的一一映射．(　　)
[解析]　(1)×；(2)×， 0∈A，但没有像；(3)×，0∈N，但没有原像．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．若映射f：x→y＝x－1，则1的像是________．
－　[当x＝1时，y＝×1－1＝－.]
3．若映射f：x→y＝x2－3x－2，则2的原像是________．
－1或4　[当x2－3x－2＝2时，x＝－1或4.
所以，2的原像为－1或4.]
4．判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？
(1)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：“作圆的内接矩形”；
(2)A＝B＝Z，对应关系f：x→y＝x＋1；
(3)A＝B＝N，对应关系f：x→y＝(x－2)2.
[解]　(1)不是映射，(2)与(3)是映射，也是函数，其中(2)是一一映射．