高中数学北师大版必修1学案：第2章函数3函数的单调性
文档属性
| 名称 | 高中数学北师大版必修1学案：第2章函数3函数的单调性 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 314.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-16 23:23:09 | ||
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文档简介
§3 函数的单调性
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数单调性的概念及其几何意义．(难点)
2．掌握用定义证明函数单调性的步骤．(重点)
3．会求函数的单调区间，理解函数单调性的简单应用．(难点)
1.通过学习函数单调性的概念及几何意义，提升数学抽象素养．
2．通过函数单调性的证明，培养逻辑推理素养.
1．函数在区间上增加(减少)的定义
阅读教材P36～P37第二自然段结束，完成下列问题．
在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A，当x1都有f(x1)f(x)在区间A上是增加的(递增的)
都有f(x1)>f(x2)
f(x)在区间A上是减少的(递减的)
思考1：对于函数f(x)＝x2，x∈[－1,1]，由于f(－1)>f(0)，所以f(x)在区间[－1,1]上是递减的，这个结论正确吗？
[提示] 不正确．在函数递增的定义中，要求对于任意x1，x2∈A，当x12．单调区间、单调性和单调函数的概念
阅读教材P37第三自然段开始～P38“函数f(x)＝3x＋2是R上的增函数”的有关内容，完成下列问题．
(1)函数的单调区间
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．
(2)函数的单调性
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
(3)单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
思考2：函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)，还是(－∞，0)和(0，＋∞)?
[提示] 函数y＝的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．
3．函数最大值、最小值的概念
阅读教材P38第二自然段及左侧“思考”～P39“练习”以上内容，完成下列问题．
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈D，都有f(x)≤M；
②存在x0∈D，使得f(x0)＝M
①对任意x∈D都有f(x)≥M；
②存在x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
思考3：(1)任何函数都有最大值或最小值吗？
(2)当x∈R时，f(x)＝x2≥－1，－1是函数f(x)＝x2，x∈R的最小值吗？
(3)函数f(x)的最大(小)值的几何意义分别是什么？
[提示] (1)不一定，如函数y＝2x，x∈R就无最大值和最小值．
(2)不是，虽然f(x)≥－1，但是不存在x0∈R，使f(x0)＝－1.根据最小值的定义可知－1不是函数f(x)的最小值．
(3)函数f(x)的最大(小)值的几何意义分别是函数f(x)的图像上最高(低)点的纵坐标．
1．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
A．k> B．k>－
C．k< D．k<－
C [由y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，
所以2k－1<0得k<，故选C.]
2．函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，0 B．0,2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
C [由最大(小)值的几何意义，可知f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－2)．]
3．函数f(x)＝x2－1，x∈R的最小值是________．
－1 [f(x)＝x2－1≥－1，又f(0)＝－1，所以f(x)的最小值是－1.]
4．已知函数f(x)在R中是增函数，则当x1f(x1)用定义判断或证明函数的单调性
【例1】 证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
[思路探究] 在(0,1)上任取x1，x2且x1＜x2，通过作差比较法证明f(x1)＞f(x2)．
[解] 任取x1，x2∈(0,1)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝，
由00，x1x2－1<0，x1x2>0，
所以，f(x2)－f(x1)<0，
于是f(x2)根据减函数的定义知，f(x)在(0,1)上为减函数．
用定义判断或证明单调性的步骤
?1?设元：在指定区间内任取x1，x2且x1＜x2.
?2?作差变形：计算f?x1?－f?x2?，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子?几个因式的积或几个完全平方式的和?.
?3?定号：确定f?x1?－f?x2?的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论.
?4?判断：根据f?x1?－f?x2?的符号及定义判断函数的单调性.
1．对于例1中的函数，证明其在区间(1，＋∞)内是增函数．
[证明] 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x2)－f(x1)＝－＝，
由x2>x1>1，得
x2－x1>0，x1x2－1>0，x1x2>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
于是f(x2)>f(x1)，
根据增函数的定义知，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
已知函数的单调性求参数的取值范围
【例2】 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋1在区间(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
[思路探究] 求出f(x)的单调递减区间，利用集合之间的关系求解．
[解] ∵f(x)＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋1.
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]．
又f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，
则(－∞，4]?(－∞，1－a]，
∴1－a≥4，解得a≤－3.
1．(变条件)设函数f(x)＝(1－2a)x＋1是R上的增函数，则有( )
A．a< B．a>
C．a<－ D．a>－
A [依题意，1－2a>0，解得a<.]
2．(变条件)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是________．
－3≤a≤－2 [依题意，
解得－3≤a≤－2.]
知函数的单调性，求参数取值范围的方法
?1?先求出函数的单调区间，将其转化为两个集合之间的关系求解；
?2?当已知函数是分段函数时，不但要考虑各段上函数的单调性，而且还要考虑各段图像之间的上下关系.
利用单调性求函数的最大(小)值
[探究问题]
1．若函数f(x)在定义域[a，b]上是增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是什么？
提示：f(x)max＝f(b)，f(x)min＝f(a)．
2．已知函数f(x)的定义域是区间(a，b)，且在(a，c]上递增，在[c，b)上递减，则f(x)是否一定存在最大值，若存在最大值，最大值是什么？
提示：f(x)一定存在最大值，最大值是f(c)．
3．如何求函数f(x)＝－在区间[1,3]上的最大值与最小值．
提示：由f(x)＝－在区间[1,3]上单调递增，得
f(x)max＝f(3)＝－＝－；
f(x)min＝f(1)＝－＝－1.
【例3】 求函数f(x)＝在区间[1,3]上的最大值与最小值．
[思路探究] 先判断函数f(x)在区间[1,3]上的单调性，再利用单调性求最值．
[解] f(x)＝＝＝2＋.其图像如下：
由上图知，f(x)在区间[1,3]上递增，
所以，f(x)max＝f(3)＝2＋＝；
f(x)min＝f(1)＝2＋＝.
?1?如果函数y＝f?x?在区间?a，b]上是增函数，在区间[b，c?上是减函数，则函数y＝f?x?，x∈?a，c?在x＝b处有最大值f?b?
?2?如果函数y＝f?x?在区间?a，b]上是减函数，在区间[b，c?上是增函数，则函数y＝f?x?，x∈?a，c?在x＝b处有最小值f?b?.,?3?如果函数y＝f?x?在区间[a，b]上是增?减?函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小?大?值、最大?小?值.
2．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最值．
[解] f(x)＝＝＝1＋.其图像如下：
由上图知，f(x)在[2,5]上递减，
所以，f(x)max＝f(2)＝2；f(x)min＝f(5)＝.
1．单调函数的运算性质
若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则：
(1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．
(2)f(x)与a·f(x)，当a>0时具有相同的单调性；当a<0时具有相反的单调性．
(3)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
增函数
增函数
增函数
不能确定单调性
增函数
减函数
不能确定单调性
增函数
减函数
减函数
减函数
不能确定单调性
减函数
增函数
不能确定单调性
减函数
2.对函数最值的三点说明
(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图像不能位于直线y＝M的上(下)方．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图像与直线y＝M至少有一个交点．
3．函数最值与函数值域的关系
函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值.
1．思考辨析
(1)在区间A上存在x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间A上是增加的．( )
(2)若函数y＝f(x)在区间A上是减少的，当x1，x2∈A，且f(x1)＜f(x2)时，有x1＞x2.( )
(3)函数f(x)＝在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减少的，则f(x)为减函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是( )
A．－ B．－1
C. D．3
C [函数y＝－x＋1在区间上是递减的，所以当x＝时，函数取得最大值ymax＝－＋1＝.]
3．若函数f(x)是[－2,2]上的减函数，则f(－1)______f(2)(填“＞”“＜”“＝”)．
> [∵f(x)在[－2,2]上是减函数，且－1＜2，
∴f(－1)＞f(2)．]
4．求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．
[证明] 设x1，x2是区间(－∞，0)内的任意两个值，且x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＞0，
因为f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
故f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数单调性的概念及其几何意义．(难点)
2．掌握用定义证明函数单调性的步骤．(重点)
3．会求函数的单调区间，理解函数单调性的简单应用．(难点)
1.通过学习函数单调性的概念及几何意义，提升数学抽象素养．
2．通过函数单调性的证明，培养逻辑推理素养.
1．函数在区间上增加(减少)的定义
阅读教材P36～P37第二自然段结束，完成下列问题．
在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A，当x1
都有f(x1)>f(x2)
f(x)在区间A上是减少的(递减的)
思考1：对于函数f(x)＝x2，x∈[－1,1]，由于f(－1)>f(0)，所以f(x)在区间[－1,1]上是递减的，这个结论正确吗？
[提示] 不正确．在函数递增的定义中，要求对于任意x1，x2∈A，当x1
阅读教材P37第三自然段开始～P38“函数f(x)＝3x＋2是R上的增函数”的有关内容，完成下列问题．
(1)函数的单调区间
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．
(2)函数的单调性
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
(3)单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
思考2：函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)，还是(－∞，0)和(0，＋∞)?
[提示] 函数y＝的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．
3．函数最大值、最小值的概念
阅读教材P38第二自然段及左侧“思考”～P39“练习”以上内容，完成下列问题．
前提
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈D，都有f(x)≤M；
②存在x0∈D，使得f(x0)＝M
①对任意x∈D都有f(x)≥M；
②存在x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
思考3：(1)任何函数都有最大值或最小值吗？
(2)当x∈R时，f(x)＝x2≥－1，－1是函数f(x)＝x2，x∈R的最小值吗？
(3)函数f(x)的最大(小)值的几何意义分别是什么？
[提示] (1)不一定，如函数y＝2x，x∈R就无最大值和最小值．
(2)不是，虽然f(x)≥－1，但是不存在x0∈R，使f(x0)＝－1.根据最小值的定义可知－1不是函数f(x)的最小值．
(3)函数f(x)的最大(小)值的几何意义分别是函数f(x)的图像上最高(低)点的纵坐标．
1．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
A．k> B．k>－
C．k< D．k<－
C [由y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，
所以2k－1<0得k<，故选C.]
2．函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，0 B．0,2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
C [由最大(小)值的几何意义，可知f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－2)．]
3．函数f(x)＝x2－1，x∈R的最小值是________．
－1 [f(x)＝x2－1≥－1，又f(0)＝－1，所以f(x)的最小值是－1.]
4．已知函数f(x)在R中是增函数，则当x1
【例1】 证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
[思路探究] 在(0,1)上任取x1，x2且x1＜x2，通过作差比较法证明f(x1)＞f(x2)．
[解] 任取x1，x2∈(0,1)，且x1
＝，
由0
所以，f(x2)－f(x1)<0，
于是f(x2)
用定义判断或证明单调性的步骤
?1?设元：在指定区间内任取x1，x2且x1＜x2.
?2?作差变形：计算f?x1?－f?x2?，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子?几个因式的积或几个完全平方式的和?.
?3?定号：确定f?x1?－f?x2?的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论.
?4?判断：根据f?x1?－f?x2?的符号及定义判断函数的单调性.
1．对于例1中的函数，证明其在区间(1，＋∞)内是增函数．
[证明] 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1
由x2>x1>1，得
x2－x1>0，x1x2－1>0，x1x2>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
于是f(x2)>f(x1)，
根据增函数的定义知，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
已知函数的单调性求参数的取值范围
【例2】 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋1在区间(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
[思路探究] 求出f(x)的单调递减区间，利用集合之间的关系求解．
[解] ∵f(x)＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋1.
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]．
又f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，
则(－∞，4]?(－∞，1－a]，
∴1－a≥4，解得a≤－3.
1．(变条件)设函数f(x)＝(1－2a)x＋1是R上的增函数，则有( )
A．a< B．a>
C．a<－ D．a>－
A [依题意，1－2a>0，解得a<.]
2．(变条件)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是________．
－3≤a≤－2 [依题意，
解得－3≤a≤－2.]
知函数的单调性，求参数取值范围的方法
?1?先求出函数的单调区间，将其转化为两个集合之间的关系求解；
?2?当已知函数是分段函数时，不但要考虑各段上函数的单调性，而且还要考虑各段图像之间的上下关系.
利用单调性求函数的最大(小)值
[探究问题]
1．若函数f(x)在定义域[a，b]上是增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是什么？
提示：f(x)max＝f(b)，f(x)min＝f(a)．
2．已知函数f(x)的定义域是区间(a，b)，且在(a，c]上递增，在[c，b)上递减，则f(x)是否一定存在最大值，若存在最大值，最大值是什么？
提示：f(x)一定存在最大值，最大值是f(c)．
3．如何求函数f(x)＝－在区间[1,3]上的最大值与最小值．
提示：由f(x)＝－在区间[1,3]上单调递增，得
f(x)max＝f(3)＝－＝－；
f(x)min＝f(1)＝－＝－1.
【例3】 求函数f(x)＝在区间[1,3]上的最大值与最小值．
[思路探究] 先判断函数f(x)在区间[1,3]上的单调性，再利用单调性求最值．
[解] f(x)＝＝＝2＋.其图像如下：
由上图知，f(x)在区间[1,3]上递增，
所以，f(x)max＝f(3)＝2＋＝；
f(x)min＝f(1)＝2＋＝.
?1?如果函数y＝f?x?在区间?a，b]上是增函数，在区间[b，c?上是减函数，则函数y＝f?x?，x∈?a，c?在x＝b处有最大值f?b?
?2?如果函数y＝f?x?在区间?a，b]上是减函数，在区间[b，c?上是增函数，则函数y＝f?x?，x∈?a，c?在x＝b处有最小值f?b?.,?3?如果函数y＝f?x?在区间[a，b]上是增?减?函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小?大?值、最大?小?值.
2．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最值．
[解] f(x)＝＝＝1＋.其图像如下：
由上图知，f(x)在[2,5]上递减，
所以，f(x)max＝f(2)＝2；f(x)min＝f(5)＝.
1．单调函数的运算性质
若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则：
(1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．
(2)f(x)与a·f(x)，当a>0时具有相同的单调性；当a<0时具有相反的单调性．
(3)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
增函数
增函数
增函数
不能确定单调性
增函数
减函数
不能确定单调性
增函数
减函数
减函数
减函数
不能确定单调性
减函数
增函数
不能确定单调性
减函数
2.对函数最值的三点说明
(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图像不能位于直线y＝M的上(下)方．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图像与直线y＝M至少有一个交点．
3．函数最值与函数值域的关系
函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值.
1．思考辨析
(1)在区间A上存在x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间A上是增加的．( )
(2)若函数y＝f(x)在区间A上是减少的，当x1，x2∈A，且f(x1)＜f(x2)时，有x1＞x2.( )
(3)函数f(x)＝在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减少的，则f(x)为减函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是( )
A．－ B．－1
C. D．3
C [函数y＝－x＋1在区间上是递减的，所以当x＝时，函数取得最大值ymax＝－＋1＝.]
3．若函数f(x)是[－2,2]上的减函数，则f(－1)______f(2)(填“＞”“＜”“＝”)．
> [∵f(x)在[－2,2]上是减函数，且－1＜2，
∴f(－1)＞f(2)．]
4．求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．
[证明] 设x1，x2是区间(－∞，0)内的任意两个值，且x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＞0，
因为f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
故f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．