高中数学北师大版必修1学案：第2章函数4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像

4．1　二次函数的图像
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解y＝x2与y＝ax2(a≠0)，y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系．(重点)
2．掌握a，h，k对二次函数图像的影响．(难点、易混点)
1.通过作不同类型二次函数的图像，研究图像间的关系，培养直观想象素养．
2．通过研究a，h，k对二次函数图像的影响，培养数学运算素养.
1．函数y＝x2与函数y＝ax2(a≠0)的图像间的关系
阅读教材P41～P42第2自然段结束有关内容，完成下列问题．
二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍得到．
其中a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．
思考1：函数y＝4x2的图像可由y＝x2的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍得到，还可以通过怎样的变换由y＝x2的图像得到y＝4x2的图像？
[提示]　因为y＝4x2＝(2x)2，所以y＝4x2的图像可由y＝x2的图像上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到．
思考2：对于函数y＝ax2(a≠0)，a越大，其图像开口越小吗？
[提示]　不一定小．例如函数y＝x2与y＝－x2的图像的开口大小相同，决定其开口大小的是|a|，|a|越大，开口越小．
2．函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像
阅读教材P42第3自然段～P44的有关内容，完成下列问题．
(1)y＝ax2y＝a(x＋h)2
y＝a(x＋h)2＋k.
(2)将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像．
思考3：通过怎样的变换，可以由函数y＝x2的图像得到y＝2(x－1)2的图像？
[提示]　把函数y＝x2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2x2的图像；
把函数y＝2x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝2(x－1)2的图像．
1．函数y＝2x(3－x)的图像可能是(　　)
B　[由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图像与x轴的交点为(0,0)，(3,0)，排除A，C.又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图像开口向下，故排除D，因此选B.]
2．把函数y＝x2的图像向下平移1个单位长度，将得到的函数图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为(　　)
A．y＝2x2－1　　　　 B．y＝2x2－2
C．y＝2x2＋1 D．y＝2x2＋2
B　[y＝x2→y＝x2－1→y＝2(x2－1)＝2x2－2.]
3．二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图像开口大小________，开口方向________．
相同　相反　[由|2|＝|－2|，知二者开口大小相同；由2>0，－2<0，知二者开口方向相反．]
4．下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为________．
①f(x)＝x2；②f(x)＝x2；③f(x)＝－x2；④f(x)＝－3x2.
④②③①　[依据|a|越大，开口越小，知从小到大的顺序排列为④②③①.]
二次函数图像间的变换
【例1】　若把函数y＝x2－6x＋6图像的横坐标缩小到原来的倍，得到图像C1，再把C1的纵坐标扩大到原来的2倍，得到图像为C2，试写出图像C2的解析式．
[解]　y＝x2－6x＋6y＝(2x)2－12x＋6＝4x2－12x＋6＝4x2－12x＋6，即y＝8x2－24x＋12.所以图像C2的解析式为y＝8x2－24x＋12.
?1?平移变换不改变图像的形状，只改变图像在坐标系中的位置.
①x轴上平移，即把x换成?x±k??k>0，左正右负?；
②y轴上平移，即把y换成?y±h??h>0，下负上正?.
?2?伸缩变换改变图像的形状.
①把横坐标变化到原来的ω?ω>0且ω≠1?倍，即把x换成.
②把纵坐标变化到原来的λ?λ>0且λ≠1?倍，即把y换成
1．二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝x2－2x＋1的图像，则b＝________，c＝________.
－6　6　[二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的函数为y＝(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋3.
整理得，y＝x2＋(b＋4)x＋7＋2b＋c，
又y＝x2－2x＋1，
则
解得
∴b＝－6，c＝6.]
求二次函数的解析式
【例2】　已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且过点P(2,0)，求这个函数的解析式．
[思路探究]　已知二次函数的图像的顶点(1，－3)，可设其解析式为y＝a(x－1)2－3，再利用其图像过点(2,0)求a.
[解]　因为二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，
所以，可设其解析式为y＝a(x－1)2－3.
又其图像过点P(2,0)，
则a(2－1)2－3＝0，
解得a＝3.
所以，这个函数的解析式为y＝3(x－1)2－3.
1．(变条件)已知二次函数的图像与x轴的交点为A(－1,0)和B(1,0)，且与y轴的交点为(0，－1)，求这个函数的解析式．
[解]　因为二次函数的图像与x轴的交点为A(－1,0)和B(1,0)，
所以，可设其解析式为y＝a(x－1)(x＋1)．
又其图像与y轴的交点为(0，－1)，
则a(0－1)(0＋1)＝－1，
解得a＝1.
所以，这个函数的解析式为y＝(x－1)(x＋1)＝x2－1.
2．(变条件)已知二次函数的图像过点A(1,1)，B(0,2)，C(3,5)，求这个函数的解析式．
[解]　设这个函数的解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意，得
∴
所以，这个函数的解析式为y＝x2－2x＋2.
用待定系数法求二次函数解析式的设法技巧,求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地选用解析式的形式，用待定系数法求之.
?1?当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c?a，b，c为常数，a≠0?，然后列出三元一次方程组求解
2?当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大?小?值时，则设所求二次函数为顶点式y＝a?x＋h?2＋k[其顶点是?－h，k?，a≠0].
?3?当已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为?x1，0?，?x2，0?时，则设所求二次函数为两点式y＝a?x－x1??x－x2??a≠0?.
二次函数图像的应用
[探究问题]
1．如何由二次函数的图像解不等式x2－2x－3<0?
提示：画出函数y＝x2－2x－3的图像：
观察图像得，不等式x2－2x－3<0的解集为(－1,3)．
2．如何讨论关于x的方程x2－2|x|＝k解的个数．
提示：令f(x)＝x2－2|x|，
则f(x)＝
画出函数f(x)的图像
因为方程x2－2|x|＝k解的个数为函数f(x)的图像与直线y＝k的交点个数．
所以，当k<－1时，方程无解；
当k＝－1或k>0时，方程有两个解；
当k＝0时，方程有三个解；
当－1【例3】　求函数f(x)＝x|x－1|的单调区间．
[思路探究]　画出函数f(x)的图像，通过观察函数的图像求其单调区间．
[解]　f(x)＝x|x－1|＝
其图像如下：
观察图像，得f(x)的递增区间是，[1，＋∞)．
递减区间是.
1．二次函数的图像是二次函数的直观表示，解决与二次函数相关的问题时，常借助其图像来求解．
2．观察二次函数图像特征时，常考虑以下几个方面：
①开口方向；②对称轴的位置；③顶点坐标；④与x轴公共点的个数．
2．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的序号是________．
①④　[由该函数图像与x轴交于两点，得b2>4ac.①正确；因为对称轴为直线x＝－1，所以－＝－1，即2a－b＝0.②错误；结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；因为图像开口向下，所以，a<0，所以5a<2a＝b.④正确．]
1．画二次函数的图像，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
2．二次函数的图像变换规律
(1)左右平移：只改变x，如y＝2x2y＝2(x＋1)2.
规律：左加右减．
(2)上下平移：只改变y，如y＝2x2y＝2x2＋1.
规律：上加下减．
(3)纵向伸缩：只改变y，如y＝x2＋1y＝2(x2＋1)．
(4)横向伸缩：只改变x，如y＝f(x)＝ax2＋bx＋cy＝a2＋b＋c.
1．思考辨析
(1)二次函数y＝3x2的开口比y＝x2的开口要大．(　　)
(2)要得到y＝－(x－2)2的图像，需要将y＝－x2向左平移2个单位长度．(　　)
(3)要得到y＝2(x＋1)2的图像，需将y＝2(x＋1)2－1的图像向上平移1个单位．(　　)
[解析]　(1)×，|a|越大，开口越小；
(2)×，应向右平移2个单位长度；
(3)√.
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．把函数y＝－2(x＋1)2＋3的图像向左平移1个单位长度，并把所得到的函数图像上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，所得到的函数的解析式为(　　)
A．y＝－(x＋2)2＋　 B．y＝－(x＋2)2＋3
C．y＝－x2＋ D．y＝－x2＋3
A　[y＝－2(x＋1)2＋3→y＝－2[(x＋1)＋1]2＋3＝－2(x＋2)2＋3→y＝＝－(x＋2)2＋.]
3．已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则此函数的解析式为__________．
y＝－x2＋3　[设y＝a(x＋2)(x－2)(a≠0)，
因为其图像过点(0,3)，所以，a(0＋2)(0－2)＝3，
解得，a＝－.
所以，此函数的解析式为y＝－(x＋2)(x－2)＝－x2＋3.]
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
求该函数的解析式．
[解]　由表可知该函数图像与x轴有两个交点(－2,0)，(3,0)，故该函数可设为y＝a(x＋2)(x－3)．
又其图像过点(0，－6)，
则－6a＝－6，
解得a＝1.
所以，该函数的解析式为y＝(x＋2)(x－3)＝x2－x－6.