高中数学北师大版必修1学案：第2章函数4二次函数性质的再研究4.2二次函数的性质

4.2　二次函数的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解二次函数的定义域、值域、单调性、对称性．(重点)
2．能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质．(重点)
3．会求二次函数在给定闭区间上的最大值与最小值．(难点、易混点)
1.通过配方法与图像法研究二次函数的性质，提升数学抽象素养．
2．通过求二次函数在给定区间上的最值，培养数学运算、逻辑推理素养.
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
阅读教材P45～P47本节有关内容，完成下列问题．
　a的符号
性质　　
a>0
a<0
图像　
开口方向
开口向上
开口向下
顶点坐标
对称轴
x＝－
x＝－
单调区间
在区间
上是减少的，
在区间
上是增加的
在区间
上是增加的，
在区间
上是减少的
最大值、最小值
当x＝－时，
函数取得最小值
；无最大值
当x＝－时，
函数取得最大值
；无最小值
思考：如何判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴有无公共点？
[提示]　利用判别式Δ＝b2－4ac来判断．
当Δ>0时，有两个不同的公共点；
当Δ＝0时，有唯一公共点；
当Δ<0时，无公共点．
1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋5满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)＝(　　)
A．8　　　　　　 B．6
C．5 D．与a，b的值有关
C　[由f(－1)＝f(3)，得其图像关于直线x＝＝1对称，所以，f(2)＝f(0)＝5.]
2．若函数f(x)＝x2－2ax在(－∞，5]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的，则实数a＝________.
5　[由题知二次函数的对称轴为5.
∴a＝5.]
3．函数y＝x2－6x－3(x≤0)的最小值是________．
－3　[∵y＝x2－6x－3＝(x－3)2－12，
∴它在(－∞，0]上递减，
∴ymin＝(0－3)2－12＝－3.]
4．函数y＝－x2＋3x－2的单调递增区间是________．
　[∵y＝－x2＋3x－2＝－2＋，
∴其单调递增区间是.]
二次函数的性质
【例1】　(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋1在区间[－1,2]上是单调的，则实数m的取值范围是________．
(2)如果函数f(x)＝x2＋bx＋1对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)的值分别为________．
(1)(－∞，－2]∪[1，＋∞)　(2)－2，－3　[(1)函数f(x)＝x2＋2mx＋1＝(x＋m)2＋1－m2，其对称轴为x＝－m，若函数在[－1,2]上是单调的，说明对称轴不在区间[－1,2]内部，故有－m≤－1或－m≥2，得m≥1或m≤－2.
(2)由题意知，函数关于x＝2对称，
故－＝2，得b＝－4，所以f(x)＝x2－4x＋1，所以f(1)＝1－4＋1＝－2，f(2)＝4－8＋1＝－3.]
?1?二次函数的单调性由开口方向和对称轴两个因素共同确定；
?2?若函数f?x?满足f?a＋x?＝f?a－x?或f?2a－x?＝f?x?，则f?x?的对称轴为x＝a；
?3?若函数f?x?满足f?a－x?＝f?b＋x?，则f?x?的对称轴为x＝f(a＋b,2).
1．(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－3在(－∞，a]上是减函数，则实数a的最大值为________．
(2)如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
(1)－1　(2)(－∞，2]　[(1)函数f(x)的对称轴为x＝－1，
f(x)在(－∞，－1]上为减函数，
由题意(－∞，a]?(－∞，－1]，
故a≤－1，
即a的最大值为－1.
(2)因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图像的对称轴为直线x＝，又函数f(x)在区间上是增函数，所以≤，解得a≤2.]
二次函数的实际应用
【例2】　某企业生产一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系用抛物线段表示，如图所示．
(年产量与销售量的单位：百台；纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)
(1)写出如图的销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与去年生产量的函数关系式，并求去年生产量是多少时纯收益最大．
[解]　(1)由图可知：R＝a(t－5)2＋，
由t＝0时，R＝0得a＝－.
∴R＝－(t－5)2＋(0≤t≤5)．
(2)年纯收益y＝－t2＋5t－0.5－t＝－t2＋t－0.5，
故t＝＝4.75时，y取得最大值为10.78万元．
故年产量为475台，纯收益取得最大值为10.78万元．
求解实际问题“四部曲”：
?1?读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系?目标与条件的关系?.
?2?建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题.
?3?求解：选择合适的数学方法求解函数
?4?评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测.,也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤.
2．某工厂以x千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100元，若生产该产品900千克，求该工厂获得的最大利润，以及此时的生产速度是多少？
[解]　设利润为y元，则y＝100·
＝9×104
＝9×104，
∴当x＝6时，函数有最大值，最大值为4.575×105元．
∴该工厂获得的最大利润为4.575×105元，此时的生产速度为6千克/小时．
闭区间上二次函数的最值
[探究问题]
1．求函数f(x)＝x2－2x＋3在[－2,0]上的最值．
提示：由f(x)＝(x－1)2＋2知抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴f(x)在[－2,0]上单调递减，
∴当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
2．求探究1中函数f(x)在[－2,3]上的最值．
提示：当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上是先减后增的，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，
又|－2－1|＞|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
3．求探究1中函数f(x)在[2,3]上的最值．
提示：∵f(x)在[2,3]上单调递增，
∴当x＝2时，f(x)有最小值f(2)＝3；
当x＝3时，f(x)有最大值f(3)＝6.
【例3】　已知函数f(x)＝x2－4x－4.若函数定义域为[3,4]，求函数的最值．
[思路探究]　求出函数f(x)的对称轴并判断该函数在[3,4]上的单调性，求出函数的最大值与最小值．
[解]　f(x)＝(x－2)2－8开口向上，对称轴为x＝2，所以当x∈[3,4]时，f(x)为增函数，最小值为f(3)＝－7，最大值为f(4)＝－4.
1．(变条件)本例中将定义域“[3,4]”改为“[－3,4]”，其他条件不变，求f(x)的最值．
[解]　f(x)＝(x－2)2－8在[－3,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，所以最小值为f(2)＝－8.
又因为f(－3)＝17，f(4)＝－4.所以最大值为17.
2．(变条件、变问法)将本例变为：已知函数f(x)＝，若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
[解]　(最值法)
法一：f(x)>0对x∈[1，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x＋a>0对x∈[1，＋∞)恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上是增函数，从而ymin＝3＋a.
于是当且仅当ymin＝3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0对x∈[1，＋∞)恒成立，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．
(分离参数法)
法二：f(x)>0对x∈[1，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x＋a>0对x≥1恒成立，即a>－x2－2x对x≥1恒成立．
令μ＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，其在[1，＋∞)上是减函数，所以当x＝1时，μmax＝－3.因此a>－3.
故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．
求二次函数f?x?＝ax2＋bx＋c?a＞0?在[m，n]上的最值的步骤：
?1?配方，找对称轴.
?2?判断对称轴与区间的关系.
?3?求最值.,若对称轴在区间外，则f?x?在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得.
1．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图像的对称轴上取到．
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图像确定最大或最小值．
2．对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
1．思考辨析
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定有最小值．(　　)
(2)二次函数y＝x2－2x＋1的对称轴为x＝－1.(　　)
(3)二次函数y＝－x2＋4x－3在区间[2，＋∞)上是增函数．(　　)
[解析]　(1)×.当a<0时，无最小值；
(2)×.其对称轴为直线x＝1；
(3)×.其在区间[2，＋∞)上是减函数．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．下列区间中，使函数y＝－2x2＋x为递增的是(　　)
A．(－∞，2]　　　　 B．[2，＋∞)
C. D．
D　[∵y＝－2x2＋x＝－22＋，∴其在区间上递增．]
3．抛物线y＝2x2－x－1的顶点坐标是________．
　[∵y＝2x2－x－1＝22－，∴其顶点坐标为.]
4．求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最小值．
[解]　f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，对称轴为直线x＝a.
(1)当a<0时，函数在区间[0,2]上是增函数，
因此，f(x)min＝f(0)＝－1；
(2)当0≤a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2－1；
(3)当a>2时，函数在区间[0,2]上是减函数，
因此，f(x)min＝f(2)＝3－4a.
综上，f(x)min＝