高中数学北师大版必修1学案：第2章函数5简单的幂函数

§5　简单的幂函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解幂函数的概念．(重点)
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图像，了解它们的变化情况．(难点、易混点)
3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(重点)
1.通过幂函数的概念及幂函数的奇偶性的学习，提升数学抽象素养．
2．结合幂函数的图像研究幂函数性质的过程，培养直观想像、逻辑推理素养.
1．幂函数
阅读教材P49～“例1”结束之间的内容，完成下列问题．
(1)幂函数的定义
如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
(2)简单的幂函数的图像和性质
函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：
从图中可以观察得到：
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
单调性
增函数
在(－∞，0] 上是减函数；
在(0，＋∞) 上是增函数
增函数
增函数
在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数
定点
函数图像均过点(1,1)
思考1：当x>0时，幂函数y＝xα的单调性与指数又有何关系？
[提示]　当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2．函数的奇偶性
阅读教材P49从“可以看出”～P50“练习”以上的有关内容，完成下列问题．
(1)图像
奇函数f(x)的图像偶函数．
(2)解析式
奇函数f(－x)＝－f(x)．
偶函数f(－x)＝f(x)．
(3)奇偶性
当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性．
思考2：(1)若对定义域的任意x都有f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是否是奇函数？
(2)你认为应怎样判断函数的奇偶性？
[提示]　(1)是奇函数．由f(－x)＋f(x)＝0，得f(－x)＝－f(x)．所以，对定义域内的任意x，点(x，f(x))与点(－x，－f(－x))关于原点对称，所以，函数f(x)的图像关于原点对称，所以，f(x)是奇函数．
(2)第一步：求函数的定义域，并判断是否关于原点对称；
第二步：若关于原点对称，则求f(－x)，并判断是否恒等于f(x)或－f(x)；
第三步：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数；
否则，既不是奇函数，也不是偶函数．
1．下列函数中，是偶函数的是(　　)
A．y＝x2(x>0)　　 B．y＝|x－1|
C．y＝ D．y＝x3
C　[令f(x)＝，则其定义域是R，
又f(－x)＝＝＝f(x)，
则f(x)是偶函数．]
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝________.
0　[由f(x)是奇函数，得f(－0)＝－f(0)，
∴2f(0)＝0，
∴f(0)＝0.]
3．已知y＝(m－1)xm是幂函数，则m＝________.
2　[依题意，m－1＝1，解得m＝2.]
4．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α的值为________．
1或3　[当α＝－1，时，y＝xα定义域分别为(－∞，0)∪(0，＋∞)，[0，＋∞)不合题意；
当α＝1,3时，y＝xα定义域均为R，且都是奇函数，符合题意，所以α＝1或3.]
幂函数的概念
【例1】　已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，且是偶函数，求f(x)的解析式．
[解]　依题意，有
m2－m－1＝1，
解得m＝2或－1.
当m＝2时，f(x)＝x－1，不是偶函数；
当m＝－1时，f(x)＝x2，是偶函数．
综上，得m＝－1.
1．形如y＝xα的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x.
2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值．
1．(1)下列函数中是幂函数的为________．
①y＝x；②y＝2x2；③y＝x；④y＝x2＋x；⑤y＝－x3.
(2)若幂函数f(x)的图像经过点(2,2)，则f(9)＝________.
①③　(2)27　[(1)根据幂函数的三个特点只有①③符合，②④⑤不符合．
(2)设f(x)＝xα，
则2α＝2，
所以α＝，
所以f(x)＝x.所以f(9)＝9＝33＝27.
幂函数的图像和性质
【例2】　(1)如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图像，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　)
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
(2)已知点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上，当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)(1)B　[令x＝2，则22>2>2－>2－2，
故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为2，，－，－2.故选B.
(2)设f(x)＝xα(α是常数)，则()α＝2，解得α＝2，所以f(x)＝x2，定义域为R；同理，可得g(x)＝x－1，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝x2与g(x)＝x－1的图像(如图所示)，由图像可知：
①当x<0或x>1时，f(x)>g(x)；
②当x＝1时，f(x)＝g(x)；
③当0解决幂函数图像问题应把握的两个原则
?1?依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：①在?0，1?上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴?简记为指大图低?；②在?1，＋∞?上，指数越大，幂函数图像越远离x轴?简记为指大图高?.
?2?依据图像确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像?类似于y＝x－1或y＝x－1+y＝x3?来判断.
2．(1)若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图像不过原点，且关于原点对称，则m的取值是(　　)
A．m＝－2　　　　　 B．m＝－1
C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－1
(2)已知幂函数y＝(m2－5m－5)x2m＋1在(0，＋∞)上是递减的，则实数m＝(　　)
A．1 B．－1
C．6 D．－1或6
(1)A　(2)B　[(1)由题意知
即
当m＝－1时，
y＝x－4的图像关于y轴对称(舍去)；
当m＝－2时，
y＝x－3的图像关于原点对称，符合题意．
(2)由题意知
所以m＝－1.]
函数奇偶性的判断
【例3】　判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝x＋；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；
(4)f(x)＝x2，x∈[－1,1)．
[解]　(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
又f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，
所以，函数f(x)＝x＋是奇函数．
(2)函数的定义域为R.
又f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
所以，函数f(x)＝x2＋1是偶函数．
(3)因为f(－1)＝(－1)＋1＝0，f(1)＝1＋1＝2，
所以f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
所以f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)由于函数f(x)的定义域不关于原点对称，所以，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
?1?先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.
?2?若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶；
若定义域关于原点对称，看f?－x?与f?x?的关系.
?3?若f?－x?＝－f?x?，则函数是奇函数；
若f?－x?＝f?x?，则函数是偶函数；
若f?－x?＝－f?x?且f?－x?＝f?x?，则函数既是奇函数又是偶函数.
3．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝0；(4)f(x)＝
[解]　(1)函数的定义域是R，
又f(－x)＝＝＝f(x)，
所以，f(x)是偶函数．
(2)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以，f(x)是奇函数．
(3)函数的定义域是R，
又f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，
则f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(4)f(x)＝即f(x)＝x|x|，
其定义域是R，又f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，
所以，f(x)是奇函数.
函数奇偶性的应用
[探究问题]
1．如图所示，给出了奇函数y＝f(x)在区间[0,3]上的图像，试画出其在[－3,0)上的图像．
提示：根据奇函数的图像关于原点对称，可画出在区间[－3,0)上的图像如图．
2．已知f(x)是偶函数，且当1≤x≤2时，f(x)＝＋1.试问：当－2≤x≤－1时，f(x)的解析式是什么？
提示：当－2≤x≤－1时，1≤－x≤2.
又f(x)是偶函数，
则f(x)＝f(－x)＝＋1＝－＋1.
3．已知偶函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则它在区间[－b，－a]上的单调性如何？
提示：单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈[－b，－a]，且x1又f(x)在[a，b]上单调递增，
则f(－x2)由f(x)是偶函数，知f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)．
所以，f(x2)所以，f(x)在区间[－b，－a]上单调递减．
　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[思路探究]　先利用函数的奇偶性将f(m)＋f(m－1)>0转化为f(m－1)>f(－m)的形式，再利用函数的单调性将其转化为m－1与－m的关系来求解．
[解]　由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m－1)>－f(m)，
又f(x)是奇函数，
则f(－m)＝－f(m)．
所以，f(m－1)>f(－m)．
因为f(x)在[0,2]上单调递减，且为奇函数，
所以，f(x)在[－2,2]上单调递减．
所以，
解得－1≤m<.
(变条件)将例题的条件变为“定义在区间[－2,2]上的偶函数，在[0,2]上单调递增，若f(1－m)[解]　由f(x)是偶函数，得f(1－m)＝f(|1－m|)．
所以，原不等式可化为f(|1－m|)又f(x)在[0,2]上单调递增，
则
解得0所以，实数m的取值范围是01．根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内；
(2)转化代入已知区间的解析式；
(3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)．
2．利用奇偶性与单调性解不等式的方法
先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解．列不等式(组)时，注意函数的定义域也是一个限制条件．
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂函数的底数x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
3．函数奇偶性的三个关注点
(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合．
(3)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
注意：函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称.
1．思考辨析
(1)y＝x(x≠0)是幂函数．(　　)
(2)奇函数的图像一定过原点．(　　)
(3)定义在R上的函数f(x)，若存在x0，使f(－x0)＝f(x0)，则函数f(x)为偶函数．(　　)
(4)函数y＝x2，x∈(－1,1]是偶函数．(　　)
[解析]　(1)√；(2)×，因为0不一定属于定义域．(3)×.只有对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，f(x)才是偶函数．(4)×，定义域不关于原点对称．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．如果定义在区间[1－2a,3]上的函数f(x)为偶函数，则a＝________.
2　[依题意，(1－2a)＋3＝0，解得a＝2.]
3．如果f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－，则f(－2)＝________.
－　[f(－2)＝－f(2)＝－＝－.]
4．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝ax3＋bx，其中a，b不全为零．
[解]　(1)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以，f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域是R.
又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以，f(x)是偶函数．
(3)由x＋1≠0，得x≠－1，所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
所以，定义域不关于原点对称，所以，f(x)不具有奇偶性．
(4)函数的定义域是R，
又f(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－ax3－bx＝－f(x)，
所以，f(x)是奇函数．