高中数学北师大版必修1学案：第2章函数章末复习课

第2章 函数
求函数的定义域
【例1】　(1)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f的定义域为________．
(1)　(2)[2,4]　[(1)依题意，x∈R，解析式有意义，即对任意x∈R，都有ax2＋4ax＋3≠0成立，故方程ax2＋4ax＋3＝0无实根．
①当a＝0时，3≠0满足要求；
②当a≠0时，则有Δ＝16a2－12a＜0，即0＜a＜时满足要求．综上可知a∈.
(2)由题意知，0≤x－1≤1，
解得2≤x≤4.
因此，函数f的定义域为[2,4]．]
求函数定义域的类型与方法
?1?已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.
?2?实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.
?3?复合函数问题：
①若f?x?的定义域为[a，b]，f?g?x??的定义域应由a≤g?x?≤b解出；
②若f?g?x??的定义域为[a，b]，则f?x?的定义域为g?x?在[a，b]上的值域.,注意：①f?x?中的x与f?g?x??中的g?x?地位相同；②定义域所指永远是x的范围.
1．已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域．
[解]　由0≤x<1，得－1≤2x－1<1，
所以，f(x)的定义域是[－1,1)．
由－1≤1－3x<1，得0所以，函数f(1－3x)的定义域是.
函数的单调性
【例2】　(1)已知函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
(2)函数y＝|2x－1|的单调递增区间是________．
[思路探究]　(1)将原不等式化为f(x－1)>f(2)，再利用函数的单调性将其转化为x－1<2来解；(2)画出函数的图像求解．
(1)x<3　(2)　[(1)∵f(2)＝0，∴不等式f(x－1)>0，即为f(x－1)>f(2)，
又f(x)是R上的减函数，
则x－1<2，解得x<3.
(2)函数y＝|2x－1|的图像如下：
由图像知，其单调递增区间是.]
?1?f?x?是A上的增函数?对任意x1，x2∈A，当x1≠x2时，f(f?x2?－f?x1?,x2－x1)>0，f?x?是A上的减函数?对任意x1，x2∈A，当x1≠x2时，.
?2?若f?x?是单调递增?减?函数，则
①f?x2?>f?x1??x2>x1?x2②f?x2?＝f?x1??x2＝x1；
③f?x2?x1?.
2．(1)已知f(x)＝x，若0A．f(a)B．fC．f(a)D．f(2)已知函数y＝在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1]　　　　　 B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
(1)C　(2)C　[(1)由0又f(x)＝x是增函数，
则f(a)(2)依题意，
解得a≥1.]
函数的奇偶性
[探究问题]
1．具有奇偶性的函数其定义域有何特点？
提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，由奇函数的定义可知f(－x)＝－f(x)，故变量x，－x均在定义域中，同理，对于偶函数，由f(－x)＝f(x)可知，－x，x也均在定义域内．
2．既是奇函数，又是偶函数的函数不存在，对吗？
提示：不对．如函数y＝0(x∈R)，其图像既关于原点对称，又关于y轴对称，所以函数y＝0(x∈R)既是奇函数又是偶函数．
3．定义在R上的奇函数f(x)，f(0)的值是多少？
提示：f(0)＝0.
【例3】　(1)已知函数g(x)＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)若函数y＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
[思路探究]　(1)利用g(－2)＝g(2)求解；(2)变形得y＝1＋，先判断y＝是奇函数，再利用奇函数的最大值与最小值之和为零求解．
(1)D　(2)2　[(1)由g(x)＝f(x)＋x是偶函数，
得g(－2)＝g(2)，即f(－2)＋(－2)＝f(2)＋2，
所以，f(－2)＝f(2)＋4＝1＋4＝5.
(2)y＝＝1＋，
令f(x)＝，则f(x)是奇函数．
∴f(x)max＋f(x)min＝0，
∴M＋m＝[1＋f(x)max]＋[1＋f(x)min]＝2＋[f(x)max＋f(x)min]＝2.]
函数奇偶性的几个结论
?1?如果一个奇函数f?x?在原点处有定义，那么f?0?＝0.
?2?如果函数f?x?是偶函数，那么f?|x|?＝f?x?.
?3?奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
3．(1)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
(2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(1)C　(2)C　[(1)由f(x)是偶函数，得f(|a|)＝f(a)，f(|b|)＝f(b)．
又f(a)又f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
则|a|<|b|.故选C.
(2)f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1，
又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
则f(1)＋g(1)＝1.]
函数的最大(小)值
　已知函数f(x)＝ax2＋(2a－1)x－3在区间上的最大值为1，求实数a的值．
[解]　当a＝0时，f(x)＝－x－3，f(x)在上不能取得1，故a≠0.
f(x)＝ax2＋(2a－1)x－3(a≠0)的对称轴方程为x0＝.
(1)令f＝1，解得a＝－，
此时x0＝－∈，
因为a＜0，f(x0)最大，所以f＝1不合适．
(2)令f(2)＝1，解得a＝，
此时x0＝－∈.
因为a＞0，x0＝－∈，且距右端点2较远，
所以f(2)最大，合适．
(3)令f(x0)＝1，得a＝(－3±2)，
验证后知只有a＝(－3－2)才合适．
综上所述，a＝或a＝－(3＋2)．
应用分类讨论思想解决问题的关键是确定分类的标准，从而使分类不重不漏.其步骤：
?1?确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；?2?对所讨论的对象进行合理的分类；?3?逐个讨论；?4?归纳总结，即对各类情况进行归纳，得出结论.
4．(1)对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．
(2)已知函数f(x)＝，对于其定义域的任意x，都有f(－1)≤f(x)≤f(1)，则b＝________，c＝________.
(1)2　(2)2　3　[(1)如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图像观察可得函数f(x)的表达式：
f(x)＝
f(x)的图像是图中的实线部分，图像的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.
(2)依题意，f(－1)是f(x)的最小值，f(1)是函数的最大值，
所以，f(－1)＝0，直线x＝1是抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴．
所以，f(3)＝0.
所以，
解得，]