高中数学北师大版必修1学案：第3章指数函数和对数函数1正整数指数函数

§1　正整数指数函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解正整数指数函数模型的实际背景．
2．了解正整数指数函数的概念．(重点)
3．理解具体的指数函数的图像特征．(重点)
4．会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)
1.通过学习正整数指数函数的概念，提升数学抽象能力．
2．通过利用正整数指数函数解决某些实际问题，培养数学运算素养.
　正整数指数函数的概念
阅读教材P61～P63整节有关内容，完成下列问题．
(1)一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
(2)正整数指数函数的图像特点
前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．
(3)当01时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．
思考：(1)y＝3×2x，x∈N＋是正整数指数函数吗？
(2)比较，，的大小，你有什么发现？
[提示]　(1)不是.2x的系数是3，不是1.
(2)>>，发现：y＝，x∈N＋是减函数．
1．函数f(x)＝ (x∈N＋)，则f(2)＝(　　)
A.　　　　　 B．
C. D．
D　[f(2)＝＝.]
2．给出下列函数：①y＝πx；②y＝4－x；③y＝(－)x；④y＝x2，当x∈N＋时，是正整数指数函数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[只有③④不是正整数指数函数，故选B.]
3．若2x＝64，则x＝________.
6　[由2x＝64，得2x＝26，∴x＝6.]
4．函数y＝2x，x∈{1,2,3,4}的值域是________．
{2,4,8,16}　[21＝2,22＝4,23＝8,24＝16，故其值域为{2,4,8,16}．]
正整数指数函数的定义
【例1】　(1)下列函数中是正整数指数函数的是(　　)
A．y＝10x＋1，(x∈N＋) B．y＝(－2)x，(x∈N＋)
C．y＝5·2x，(x∈N＋) D．y＝x，(x∈N＋)
(2)函数y＝(a2－3a＋3)ax是正整数指数函数，则a＝________.
(1)D　(2)2　[(1)A中y＝10x＋1的指数为x＋1，而不是x，故不是正整数指数函数；
B中y＝(－2)x的底数－2<0，故不是正整数指数函数；
C中y＝5·2x的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；
D中y＝符合正整数指数函数的定义．
(2)由正整数指数函数定义知解得∴a＝2.]
1．正整数指数函数解析式的基本特征：ax前面的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．
2．要注意正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xα的区别．
1．正整数指数函数的图像经过点，则此函数的解析式为y＝________，定义域为________．
y＝　x∈N＋　[把代入y＝ax(a>0，且a≠1)，得＝a2，
所以a＝，y＝，x∈N＋.]
正整数指数函数的图像与性质
【例2】　(1)画出函数y＝ (x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性；
(2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．
[思路探究]　使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．
[解]　(1)函数y＝ (x∈N＋)的图像如图①所示，从图像可知，函数y＝(x∈N＋)是单调递减的．
(2)函数y＝3x(x∈N＋)的图像如图②所示，从图像可知，函数y＝3x(x∈N＋)是单调递增的．
①　　　　　　　　　　②
1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．
2．当01时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．
2．(1)函数y＝，x∈N＋的图像是(　　)
A．一条上升的曲线　　 B．一条下降的曲线
C．一系列上升的点 D．一系列下降的点
(2)函数f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)在[1,3]上是增加的，且最大值与最小值的差为a，则a＝________.
(1)D　(2)　[(1)由于x∈N＋且底数为，所以函数y＝x，x∈N＋的图像是一系列下降的点．
(2)因为f(x)在[1,3]上是增加的，
所以a>1，所以f(x)min＝f(1)＝a，
f(x)max＝f(3)＝a3.所以a3－a＝a，
即a(a2－2)＝0.又因为a>0，
且a≠1，所以a＝.]
正整数指数函数的应用
[探究问题]
1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去，你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？用图像表示呢？
提示：
分裂次数(n)
1
2
3
4
5
细胞个数(y)
2
4
8
16
32
2．请你写出探究1中得到的细胞个数y与分裂次数n之间的函数关系式．
提示：细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y＝2n，n∈N＋.
【例3】　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份t(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数．
[解]　(1)1年后该城市的人口总数为x＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)(万人)，2年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2(万人)，
那么t年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)t(万人)，t∈N＋.
(2)10年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210(万人)．
1．由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．
2．在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．
3．日本福岛核电站爆炸中释放的碘-131不断衰变，每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y随时间x(周期)变化的函数解析式．
[解]　设这种物质最初的质量是1，经过x个周期，剩留量是y.
经过1个周期，剩留量y＝1×50%＝0.51；
经过2个周期，剩留量y＝(1×50%)×50%＝0.52；
…
经过x个周期，剩留量y＝0.5x(x∈N＋)．
1．正整数指数函数的特征
(1)ax的系数为1；
(2)底数a>0且a≠1；
(3)指数为自变量x；
(4)x∈N＋.
2．实际生活中与指数函数有关的函数模型
(1)指数增长模型：在y＝N(1＋p)x型函数中N为原产值，p为平均增长率，y为总产值，x为时间．
(2)复利计算公式：y＝a(1＋r)x(a为本金，r为每期利率，x为期数，y为本利和)，我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算.
1．思考辨析
(1)若y＝ax为正整数指数函数，则a为大于零且不等于1的常数，x∈N＋.(　　)
(2)正整数指数函数的图像只能是第一象限内的一些孤立点．(　　)
(3)正整数指数函数的图像与直线x＝T(T为常数且T>0)最多只有一个交点．(　　)
(4)指数型函数y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)，当k＝1且x∈N＋时即为正整数指数函数．(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．经过点(2,9)的正整数指数函数的解析式为________．
y＝3x，x∈N＋　[设y＝ax，x∈N＋，则a2＝9，又a>0且a≠1，则a＝3.
所以，y＝3x，x∈N＋.]
3．若A＝{y|y＝2x，x∈N＋}，B＝{x|x∈R，且x≤100}，则A∩B＝________.
{2,4,8,16,32,64}　[由2x≤100，得x≤6，又x∈N＋，则x＝1,2,3,4,5,6，
所以，A∩B＝{2,4,8,16,32,64}．]
4．画出函数y＝，x∈N＋的图像，并说明函数的单调性．
[解]　函数y＝，x∈N＋的图像如图所示．
由图像可知，y＝，x∈N＋是单调递减的．