高中数学北师大版必修1学案：第3章指数函数和对数函数2指数扩充及其运算性质2.1指数概念的扩充2.2指数运算的性质

2.1　指数概念的扩充 2.2　指数运算的性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)
2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)
3．掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点)
1.通过理解分数指数幂与根式的互化，培养数学抽象素养．
2．通过运用指数的运算性质进行指数运算，提升数学运算素养.
1．分数指数幂
阅读教材P64～P66的有关内容，完成下列问题．
(1)定义
给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．
(2)几个结论
①正分数指数幂的根式形式：a＝(a>0)．
②负分数指数幂的意义：a＝ (a>0，m，n∈N＋，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
思考1：(1)分数指数幂a可以理解为个a相乘吗？
(2)在分数指数幂的概念中，我们只对正数和零的分数指数幂进行了定义，那么负数也有分数指数幂吗？
[提示]　(1)当是正整数时，可以；当不是正整数时，不可以．
(2)有的负数有分数指数幂，例如(－2) ；有的负数没有分数指数幂，例如(－2) .
2．指数运算的性质
阅读教材P66～P67的有关内容，完成下列问题．
若a>0，b>0，对任意实数m，n指数运算有以下性质：
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝am_n；
(3)(ab)n＝anbn.
思考2：＝＝(－2)3＝－8，上述计算正确吗？若不正确，应如何计算．
[提示]　不正确. ＝(26) ＝＝23＝8.
1．下列等式一定成立的是(　　)
A.＝4　　　　 B．＝
C．a0＝1 D．＝
D　[当a<0时，＝|a|，故A错；＝，故B错；
当a＝0时，a0不存在，故C错；
因为－1>0，
所以＝(－1) ＝(－1) ＝]
2.化为分数指数幂为________．
a　[＝＝＝a×＝a]
3．(0.027) ＝________.
　[(0.027) ＝＝＝
＝.]
4．化简的结果为________．
16　[＝＝＝24＝16.]
根式与分数指数幂的互化
【例1】　(1)将各式化为根式：
(2)将各式化为分数指数幂：
[解]　
根式与分数指数幂互化的关键与技巧
?1?关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用?a>0，m，n∈N＋，且n>1?.
?2?技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.
1．将下列根式化成分数指数幂的形式．
[解]　
分数指数幂的运算
【例2】　计算下列各式．
[解]　
进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用.一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题.
2．(1) ＝(　　)
A．1　　　　　　　　 B．m
C．m D．m
(2)化简 (a>0，b>0)的结果是(　　)
A．6a B．－a
C．－9a D．9a
(1)A　(2)C　
条件求值
[探究问题]
1．已知a＋a＝3，求 a＋a－1的值．
提示：法一：
2．
提示：∵
3．在探究1的条件下，求a－a－1的值．
提示：a－a－1＝(a＋a－)(a－a－)＝3×(±)＝±3.
【例3】　
[解]　
1．(变条件)若将本例条件“x＋x＝3”改为“x－x＝1”，如何求值？
[解]　将x－x＝1两边平方，得x＋x－1－2＝1，所以x＋x－1＝3，
则＝＝.
2．(变结论)在本例条件下，如何求x2＋x－2的值？
[解]　将x＋x＝3两边平方可得x＋x－1＋2＝9，则x＋x－1＝7，
两边再平方，得x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.
解决此类问题的思路步骤如下：
1．掌握两个公式：(1)()n＝a(n∈N＋)；(2)n为奇数且n∈N＋，＝a，n为偶数且n∈N＋，＝|a|＝
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．
1．思考辨析
(1)2表示个2相乘．(　　)
(2)a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．(　　)
(3)＝()n.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
　
　
[解]