高中数学北师大版必修1学案：第3章指数函数和对数函数4对数4.1对数及其运算

4．1　对数及其运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数的概念．(重点)
2．掌握指数式与对数式的互化．(重点)
3．掌握对数的基本性质．(难点)
4．掌握对数的运算性质，理解其推导过程．(难点)
1.通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质，培养逻辑推理素养．
2．通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算素养.
1．对数的定义
阅读教材P78～P79“思考交流”之间的部分内容，完成下列问题．
(1)对数的有关概念
(2)对数的底数a的取值范围是a>0，且a≠1.
思考1：形如ab＝N的式子都能化成logaN＝b的形式吗？
[提示]　不一定．例如(－2)2＝4不能化成log－24＝2.
2．对数的基本性质与对数恒等式
阅读教材P79“思考交流”的内容，完成下列问题．
对数恒等式
alogaN＝__N__
对数的基本性质
底数的对数等于__1__，即logaa＝__1__
1的对数等于__0__，即loga1＝__0__
零和负数没有对数
思考2：loga1，a>0，且a≠1为什么等于0?
[提示]　设loga1＝b，则ab＝1，∴ab＝a0，∴b＝0.
3．两种常见对数
阅读教材P79“思考交流”下方与“例1”上方之间的内容，完成下列问题．
对数形式
特点
记法
一般对数
以a(a>0，且a≠1)为底的对数
logaN
自然对数
以__e__为底的对数
ln N
常用对数
以__10__为底的对数
lg N
4.对数的运算性质
阅读教材P80～P83有关内容，完成下列问题．
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；
(3)loga＝logaM－logaN.
思考3：如何证明对数的运算性质(3)．
[提示]　设logaM＝p，logaN＝q.则由对数定义，得
ap＝M，aq＝N；
因为＝＝ap－q，
所以p－q＝loga；
即loga＝logaM－logaN.
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．22＝4与log24＝2
B．4－＝与log4＝－
C．(－2)3＝－8与log(－2)(－8)＝3
D．3－2＝与log3＝－2
C　[在对数式logaN中，a>0，且a≠1，故选C.]
2．若lg(ln x)＝0，则x＝________.
e　[由已知得ln x＝100＝1，∴x＝e1＝e.]
3．lg 2＋lg 5＝________.
1　[lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.]
4．若log2＝1，则x＝________.
　[由＝2?2x＝11?x＝.]
指数式与对数式的互化
【例1】　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；
(4)log32＝－5；(5)lg 0.001＝－3；(6)ln e＝1.
[解]　(1)log2＝－7；(2)log327＝3；(3)log100.1＝－1；(4)－5＝32；(5)10－3＝0.001；(6)e1＝e.
利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的.
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
①35＝243；②＝5.73；③log16＝－4；
④ln 10＝2.303.
[解]　①log3243＝5；②log5.73＝m；③－4＝16；④e2.303＝10.
对数基本性质的应用
【例2】　(1)求下列各式中x的值．
①log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；
②log2(log3(log4x))＝0.
(2)求下列各式的值．
2log32－log3＋log38＋3log5.
[解]　(1)①由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1得
解得x＝－2.
②由log2(log3(log4x))＝0可得
log3(log4x)＝1，故log4x＝3，
所以x＝43＝64.
(2)原式＝log34－log3＋log38－3log55
＝log3－3＝log39－3＝2－3＝－1.
1．对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0(a>0且a≠1)．
2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
3．对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
2．使式子(lg x)2－lg x＝0成立的x的值为________．
1或10　[由lg x(lg x－1)＝0得lg x＝0或lg x＝1，
即x＝1或x＝10.]
3．计算：
lg －lg ＋lg .
[解]　原式＝(lg 32－lg 49)－×lg 2＋(lg 49＋lg 5)
＝lg 32－lg 49－2lg 2＋lg 49＋lg 5
＝lg 2－2lg 2＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝lg 10
＝.
取对数
[探究问题]
1．已知a＝2lg 3，b＝3lg 2，则a，b的大小关系是什么？
提示：∵lg a＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2，lg b＝lg 3lg 2＝lg 2lg 3.
∴lg a＝lg b
∴a＝b.
2．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m的值是什么？
提示：由2a＝5b＝m，取对数得alg 2＝blg 5＝lg m，
∴a＝，b＝，又＋＝2，
∴＋＝2，
∴＝2.
∴lg m＝，
∴m＝10＝.
【例3】　已知x，y，z∈(0，＋∞)且3x＝4y＝6z.
求证：＝－.
[思路探究]　令3x＝4y＝6z＝m，通过取对数，把x，y，z表示出来，再求解．
[解]　令3x＝4y＝6z＝m，
则xlg 3＝ylg 4＝zlg 6＝lg m
∴x＝，y＝，z＝，
∴－＝－＝＝.
取对数可以把乘方、开方、乘、除运算转化为乘、除、加、减运算，即取对数起到把运算降级的作用，便于运算.
4．已知315a＝55b＝153c，则5ab－bc－3ac＝________.
0　[令315a＝55b＝153c＝m，则15alg 3＝5blg 5＝3clg 15＝lg m
∴a＝，b＝，c＝
∴5ab－bc－3ac＝－－＝
＝＝0]
1．从三方面认识对数式
(1)对数式logaN可看作一种记号，只有在a>0，a≠1，N>0时才有意义．
(2)对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知ab＝N求b的前提下提出的．
(3)logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也不可认为是loga与N的乘积．
2．loga 1与logaa(a>0且a≠1)的应用
loga1＝0与logaa＝1这两个结论常常化“简”为“繁”，把0和1化为对数式的形式，再根据对数的有关性质求解问题．
3．对数恒等式具有的特征
(1)指数中含有对数形式．
(2)它们是同底的．
(3)其值为对数的真数.
1．思考辨析
(1)零和负数没有对数．(　　)
(2)当a>0，且a≠1时，loga1＝1.(　　)
(3)log3(－2)2＝2log3(－2)．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
2．若log2＝0，则x＝________.
－4　[由log2＝0，
得＝1，解得x＝－4.]
3．(lg 2)2＋lg 2lg 50＋lg 25＝________.
2　[(lg 2)2＋lg 2lg 50＋lg 25＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋(lg 5)2
＝lg 2·lg 100＋2lg 5
＝2lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.]
4．计算：(1)31＋log3；(2)log2(23×45)
[解]　(1)31＋log3＝3×3log3＝3×＝3；
(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2213
＝13log22
＝13×1＝13.