高中数学北师大版必修1学案：第3章指数函数和对数函数4对数4.2换底公式
文档属性
| 名称 | 高中数学北师大版必修1学案：第3章指数函数和对数函数4对数4.2换底公式 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 310.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-16 23:28:11 | ||
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文档简介
4.2 换底公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能推导出对数的换底公式．(重点)
2．会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)
1.通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养．
2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养.
换底公式
阅读教材P83～P86有关内容，完成下列问题．
换底公式：logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．
特别地，logab·logba＝1，logba＝
思考：换底公式的作用是什么？
[提示] 换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算．
1.的值为( )
A. B．2
C. D．
B [＝log39＝2log33＝2.]
2．若log32＝a，则log123可以用a表示为________．
[log123＝＝＝]
3．已知log34·log48·log8m＝2，则m＝________.
9 [因为log34·log48·log8m＝2，
所以··＝2，
化简得lg m＝2lg 3＝lg 9.
所以m＝9.]
4．log29·log34＝________.
4 [log29·log34＝2log23·
＝2log24＝4log22
＝4.]
利用换底公式化简求值
【例1】 计算：log1627log8132.
[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．
[解] log1627log8132＝·＝·＝·＝.
1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．
2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；
loganbm＝logab.
1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．
[解] 原式＝＝
＝·＝.
用已知对数表示其他对数
【例2】 已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
[解] 法一：因为log189＝a，所以9＝18a，
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b
＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝
＝＝
＝＝，
所以原式＝.
法二：∵18b＝5，
∴log185＝b，
∴log3645＝＝
＝＝
＝
＝.
法三：∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
∴log3645＝
＝＝
＝.
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
?1?增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
?2?巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
?3?注意一些派生公式的使用.
2．(1)已知log142＝a，试用a表示log7.
(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245.
[解] (1)法一：因为log142＝a，所以log214＝.
所以1＋log27＝.
所以log27＝－1.
由对数换底公式，
得log27＝＝.
所以log7＝2log27＝2＝.
法二：由对数换底公式，
得log142＝＝＝a.
所以2＝a(log7＋2)，
即log7＝.
(2)因为log245＝log2(5×9)＝log25＋log29＝log25＋2log23，而log52＝b，则log25＝，
所以log245＝2a＋＝.
对数的实际应用
[探究问题]
1．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y.试写出y关于x的函数关系式．
提示：依题意得y＝a＝a，其中x≥1，x∈N.
2．探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)
提示：依题意得ax≤a×?x≤
?x(2lg 3－1)≤－lg 2?x≥≈6.572，
∴xmin＝7.
即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下．
【例3】 某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题．
(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；
(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1.012≈0.005 2，lg 1.2≈0.079 2)
[思路探究] 先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值．
[解] (1)由题意y＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x∈N＋)．
(2)由100·1.012x＝120，得1.012x＝1.2，
∴x＝log1.0121.2＝≈≈16，
故大约16年以后，该城市人口将达到120万．
解对数应用题的步骤
3．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.90 μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
13 [由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝，
又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则＝()t，
两边取常用对数，得lg＝lg 0.90，
故t＝＝≈13.]
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N)．
1．思考辨析
(1)logab＝＝.( )
(2)log52＝.( )
(3)loga b·logb c＝loga c．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．若lg 3＝a，lg 5＝b，则log53等于( )
A. B． C．ab D．ba
B [log5 3＝＝.]
3．log332·log227＝________.
15 [log332·log227＝·＝·＝15.]
4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半．(结果保留1个有效数字)
[解] 设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y＝0.84x.依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log0.840.5＝x，由换底公式知x＝，用科学计算器计算得x≈3.98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能推导出对数的换底公式．(重点)
2．会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)
1.通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养．
2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养.
换底公式
阅读教材P83～P86有关内容，完成下列问题．
换底公式：logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．
特别地，logab·logba＝1，logba＝
思考：换底公式的作用是什么？
[提示] 换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算．
1.的值为( )
A. B．2
C. D．
B [＝log39＝2log33＝2.]
2．若log32＝a，则log123可以用a表示为________．
[log123＝＝＝]
3．已知log34·log48·log8m＝2，则m＝________.
9 [因为log34·log48·log8m＝2，
所以··＝2，
化简得lg m＝2lg 3＝lg 9.
所以m＝9.]
4．log29·log34＝________.
4 [log29·log34＝2log23·
＝2log24＝4log22
＝4.]
利用换底公式化简求值
【例1】 计算：log1627log8132.
[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．
[解] log1627log8132＝·＝·＝·＝.
1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．
2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；
loganbm＝logab.
1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．
[解] 原式＝＝
＝·＝.
用已知对数表示其他对数
【例2】 已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
[解] 法一：因为log189＝a，所以9＝18a，
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b
＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝
＝＝
＝＝，
所以原式＝.
法二：∵18b＝5，
∴log185＝b，
∴log3645＝＝
＝＝
＝
＝.
法三：∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，
∴log3645＝
＝＝
＝.
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
?1?增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
?2?巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
?3?注意一些派生公式的使用.
2．(1)已知log142＝a，试用a表示log7.
(2)若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245.
[解] (1)法一：因为log142＝a，所以log214＝.
所以1＋log27＝.
所以log27＝－1.
由对数换底公式，
得log27＝＝.
所以log7＝2log27＝2＝.
法二：由对数换底公式，
得log142＝＝＝a.
所以2＝a(log7＋2)，
即log7＝.
(2)因为log245＝log2(5×9)＝log25＋log29＝log25＋2log23，而log52＝b，则log25＝，
所以log245＝2a＋＝.
对数的实际应用
[探究问题]
1．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y.试写出y关于x的函数关系式．
提示：依题意得y＝a＝a，其中x≥1，x∈N.
2．探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的以下？(根据需要取用数据lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)
提示：依题意得ax≤a×?x≤
?x(2lg 3－1)≤－lg 2?x≥≈6.572，
∴xmin＝7.
即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下．
【例3】 某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题．
(1)写出该城市x年后的人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；
(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1.012≈0.005 2，lg 1.2≈0.079 2)
[思路探究] 先利用指数函数知识列出y与x的函数关系式，再利用对数求值．
[解] (1)由题意y＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x∈N＋)．
(2)由100·1.012x＝120，得1.012x＝1.2，
∴x＝log1.0121.2＝≈≈16，
故大约16年以后，该城市人口将达到120万．
解对数应用题的步骤
3．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.90 μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
13 [由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝，
又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则＝()t，
两边取常用对数，得lg＝lg 0.90，
故t＝＝≈13.]
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N)．
1．思考辨析
(1)logab＝＝.( )
(2)log52＝.( )
(3)loga b·logb c＝loga c．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．若lg 3＝a，lg 5＝b，则log53等于( )
A. B． C．ab D．ba
B [log5 3＝＝.]
3．log332·log227＝________.
15 [log332·log227＝·＝·＝15.]
4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半．(结果保留1个有效数字)
[解] 设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则y与x的关系式为y＝0.84x.依题意得0.84x＝0.5，化为对数式，得log0.840.5＝x，由换底公式知x＝，用科学计算器计算得x≈3.98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．