高中数学北师大版必修1学案：第3章指数函数和对数函数5对数函数5.1对数函数的概念5.2对数函数y＝log2x的图像和性质

5．1　对数函数的概念 5．2　对数函数y＝log2x的图像和性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系．
2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．(难点、易混点)
3．会画具体函数的图像．(重点)
1.通过对数函数的概念及反函数概念的学习，培养数学抽象素养．
2．通过对数函数y＝log2x的图像研究函数的性质，培养直观想象素养.
阅读教材P89～P90“分析理解”以上部分，完成下列问题．
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数．
2．两类特殊的对数函数
常用对数函数：y＝lg x，其底数为10.
自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数e.
3．反函数
阅读教材P90从“分析理解”～P91“练习”间的部分，完成下列问题．
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数．
4．函数y＝log2x的图像和性质
阅读教材P91～P93有关内容，完成下列问题．
图像特征
函数性质
过点(1,0)
当x＝1时，y＝0
在y轴的右侧
定义域是(0，＋∞)
向上、向下无限延伸
值域是R
在直线x＝1右侧，图像位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图像位于x轴下方
若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0
函数图像从左到右是上升的
在(0，＋∞)上是增函数
思考：(1)指数函数y＝2x与对数函数x＝log2y的图像有什么关系？
(2)指数函数y＝2x的图像与对数函数y＝log2x的图像有什么关系？
[提示]　(1)重合．
(2)关于直线y＝x对称．
1．函数y＝logax的图像如图所示，则a的值可以是(　　)
A.　　　　 B．2
C．e D．10
A　[y＝logax的图像是下降的，故a可以是.故选A.]
2．函数y＝log2(x－2)的定义域是________．
(2，＋∞)　[由x－2>0，得x>2，所以其定义域是(2，＋∞)．]
3．函数y＝log2(x2＋1)的值域是________．
[0，＋∞)　[由x2＋1≥1，得y≥0，所以，其值域是[0，＋∞)．]
4．对数函数f(x)的图像经过点，则f(3)＝________.
－1　[设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
因为对数函数f(x)的图像经过点，
所以f＝loga＝2.所以a2＝.
所以a＝＝＝.
所以f(x)＝logx.所以f(3)＝log3＝log＝－1.]
对数函数的概念
【例1】　下列函数中，哪些是对数函数？
(1)y＝loga(a>0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；
(5)y＝log6x.
[解]　(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．
(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．
(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．
(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．
(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．
判断一个函数是对数函数的方法
1．若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
1　[由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1.]
求函数的反函数
【例2】　求下列函数的反函数．
(1)y＝10x；　　　(2)y＝x；
(3)y＝logx; (4)y＝log2x.
[解]　(1)由y＝10x，得x＝lg y，∴其反函数为y＝lg x；
(2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx；
(3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x；
(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x.
反函数的求法
?1?由y＝ax?或y＝logax?，解得x＝logay?或x＝ay?；
?2?将x＝logay?或x＝ay?中的x与y互换位置，得y＝logax?或y＝ax?；
?3?由y＝ax?或y＝logax?的值域，写出y＝logax?或y＝ax?的定义域.
2．(1)已知函数y＝g(x)的图像与函数y＝log3x的图像关于直线y＝x对称，则g(2)的值为(　　)
A．9　　　　　　　 B．
C. D．log32
(2)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)＝(　　)
A．log2x B．logx
C．2－x D．x2
(1)A　(2)B　[(1)y＝g(x)与y＝log3x互为反函数，
故g(x)＝3x，
故g(2)＝32＝9.
(2)由题意知(a，)在y＝ax上，可得aa＝＝a，即a＝.
因为y＝x的反函数为y＝logx，
所以f(x)＝logx.]
函数y＝log2x的图像与性质
[探究问题]
1．求函数y＝log2|x|的定义域，并画出它的图像．
提示：函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}．
函数解析式可化为
y＝其图像如图所示．
(其特征是关于y轴对称)．
2．画出函数y＝|log2x|的图像，并写出它的单调区间．
提示：y＝|log2x|＝其图像如图所示，
增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1)．
【例3】　根据函数f(x)＝log2x的图像和性质求解以下问题：
(1)若f(x－1)>f(1)，求x的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在 x∈上的最值．
[思路探究]　可依据y＝log2x的图像，借助函数的单调性解不等式，求最值．
[解]　作出函数y＝log2x的图像如图．
(1)由图像知y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．
因为f(x－1)>f(1)，
所以x－1>1，
解得x>2，所以x的取值范围是(2，＋∞)．
(2)∵≤x≤，∴≤2x－1≤4，
∴log2≤log2(2x－1)≤log24，
所以－1≤log2(2x－1)≤2，
故函数y＝log2(2x－1)在x∈上的最小值为－1，最大值为2.
1．(变结论)将例题中的条件不变，试比较log2与log2的大小．
[解]　函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，
又∵>，∴log2>log2.
2．(变结论)将例题中的条件不变，解不等式log2(2－x)>0.
[解]　log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21，
∵函数y＝log2x为增函数，
∴2－x>1，∴x<1.
∴x的取值范围是(－∞，1)．
函数f?x?＝log2x是最基本的对数函数，它在?0，＋∞?上是单调递增的，利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小.
1．解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式．
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们定义域与值域相反，图像关于直线y＝x对称．
3．应注意数形结合思想在解题中的应用．

1．思考辨析
(1)函数y＝2log2x是对数函数．(　　)
(2)函数y＝3x的反函数是y＝x.(　　)
(3) 对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________．
　[由2－3x>0，得x<，所以，f(x)的定义域是.]
3．函数y＝logx的反函数是________．
y＝x　[由y＝logx，得x＝y，所以，其反函数为y＝x.]
4．求函数y＝log2(3＋2x－x2)的定义域和值域．
[解]　由3＋2x－x2>0，得x2－2x－3<0，∴－1u＝3＋2x－x2＝4－(x－1)2≤4，又y＝log2u是增函数．
∴y≤log24＝2，∴其值域为(－∞，2]．