高中数学北师大版必修1学案：第3章指数函数和对数函数5对数函数5.3对数函数的图像和性质

5.3　对数函数的图像和性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握对数函数的图像和性质．(重点)
2．掌握对数函数的图像和性质的应用．(难点)
3．体会数形结合的思想方法.
1.通过对对数函数图像和性质的应用，体会数学抽象素养．
2．通过数形结合思想的应用，提升直观想象素养.
对数函数的图像和性质
阅读教材P93～P96有关内容，完成下列问题．
思考：函数y＝logax与y＝logx的图像有什么关系？
[提示]　y＝logx＝＝－logax，所以，它们关于x轴对称．
1．如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取，，，，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为(　　)
A.，，，　　　　 B．，，，
C.，，， D．，，，
A　[先排c1，c2底的顺序，底都大于1，当x>1时图低的底大，c1，c2对应的a分别为，.然后考虑c3，c4底的顺序，底都小于1，当x<1时底大的图高，c3，c4对应的a分别为，.综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次为，，，.故选A.]
2．函数f(x)＝log2.5x的值域为________．
[答案]　R
3．函数y＝log2x2的单调递增区间是________．
(0，＋∞)　[由x2>0，得x≠0，令u＝x2，则u在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，则y＝log2x2的单调递增区间是(0，＋∞)．]
4．函数y＝的定义域是________．
(0,1]　[由logx≥0，得0比较大小
【例1】　比较大小：
(1)log0.31.8，log0.32.7；
(2)log67，log76；
(3)log3π，log20.8；
(4)log712，log812.
[思路探究]　(1)底数相同，可利用单调性比较；(2)与1比较；(3)与0比较；(4)可结合图像比较大小．
[解]　(1)考查对数函数y＝log0.3x，
∵0<0.3<1，
∴它在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.31.8>log0.32.7；
(2)∵log67>log66＝1，log76∴log67>log76；
(3)∵log3π>log31＝0，log20.8∴log3π>log20.8；
(4)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：
log712>log812.
法二：∵log712－log812＝－
＝>0，
∴log712>log812.
比较对数大小的思路
?1?底数相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；
?2?底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比较大小，也可通过换底公式比较大小；
?3?底数不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”.
1．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c>b>a　　　　 B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
D　[a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，
b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，
c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72.
∵log32＞log52＞log72，∴a＞b＞c，故选D.]
对数函数的图像及应用
【例2】　已知函数y＝loga(x＋b) （c>0，且a≠1）的图像如图所示．
(1)求实数a与b的值；
(2)函数y＝loga(x＋b)与y＝logax的图像有何关系？
[解]　(1)由图像可知，函数的图像过点(－3,0)与点(0,2)，所以得方程0＝loga(－3＋b)与2＝logab，解得a＝2，b＝4.
(2)函数y＝loga(x＋4)的图像可以由y＝logax的图像向左平移4个单位得到．
解决对数函数图像问题的注意事项
?1?明确对数函数图像的分布区域.对数函数的图像在第一、四象限.当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交.
?2?建立分类讨论的思想.在画对数函数图像之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0?3?牢记特殊点.对数函数y＝logax?a>0，且a≠1?的图像经过点：?1，0?，?a，1?和
2．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：
(1)y＝log3(x－2)；
(2)y＝|logx|.
[解]　(1)函数y＝log3(x－2)的图像可看作把函数y＝log3x的图像向右平移2个单位得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是增加的．
(2)y＝|logx|＝其图像如图②.
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1)上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的.
与logaf(x)型函数的单调性有关的问题
[探究问题]
1．求函数y＝log2(－x2＋2x＋3)的单调区间．
提示：由－x2＋2x＋3>0，得－1令u＝－x2＋2x＋3，则u在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．
又y＝log2u是增函数．
则y＝log2(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．
2．已知函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围．
提示：依题意，
解得2≤a<2＋2.
【例3】　已知函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
[思路探究]　从u＝6－ax是减函数及u>0入手，分析a满足的条件．
[解]　令u＝6－ax，
∵a>0且a≠1，∴u是减函数，
又f(x)在[0,2]上为减函数，
则y＝logau是增函数，
所以，a>1，
由u＝6－ax在[0,2]恒大于0，得6－2a>0.
解得a<3.
综上得1函数y＝logaf?x?的单调性可通过y＝logau与u＝f?x?的单调性来判断.当y＝logau与u＝f?x?的单调性相同时，y＝logaf?x?单调递增；当y＝logau与u＝f?x?的单调性相反时，y＝logaf?x?单调递减.
3．(1)已知log0.7(2x)(2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________．
(1)(1，＋∞)　(2)　[(1)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由log0.7(2x)得解得x>1.
即x的取值范围是(1，＋∞)．
(2)当01时，f(x)在[0,1]上为增函数，所以f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝，与a>1矛盾．综上，a＝.]
1．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图像，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
2．需要注意的问题
(1)由logaf(x)>logag(x)利用单调性去掉对数符号时，务必保证f(x)>0，g(x)>0，否则就扩大了自变量的取值范围．
(2)复合函数的单调性规律“同增异减”：内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数.
1．思考辨析
(1)对数函数y＝logax?a>0，且a≠1?在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(2)若logπm(3)对数函数y＝log2x与y＝logx的图像关于y轴对称．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2．已知loga<1，则a的取值范围是(　　)
A．0
C.1
D　[当0当a>1时，loga<1＝logaa，∴a>1.
综上得，01.]
3．函数y＝log2(x2－1)的递增区间是________．
(1，＋∞)　[由x2－1>0，得x>1，或x<－1.
令u＝x2－1，则u在(－∞，－1)上递减，在(1，＋∞)上递增，又y＝log2a是增函数，
则y＝log2(x2－1)的递增区间是(1，＋∞)．]
4．求函数y＝(logx)2＋logx的单调区间．
[解]　令u＝logx，则y＝u2＋u.
由y＝u2＋u＝2－，得y＝u2＋u在上单调递减，在上单调递增．
由logx≤－，得x≥；由logx≥－，得0又u＝logx是减函数．
则y＝(logx)2＋logx递增区间是[，＋∞)；递减区间是(0，]．