高中数学北师大版必修1学案：第3章指数函数和对数函数6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

§6　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点)
2.会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点)
1.通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养.
2.利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养.
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题．
(1)三种函数的增长趋势
当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．
当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
当x>0，n>1时，幂函数y＝xn也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快．
思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？
[提示]　指数函数
(2)三种函数的增长对比
对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax.
思考2：在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax[提示]　不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax1．下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2x　　　　　　 B．y＝3x
C．y＝5x D．y＝10x
D　[四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于1，D项中底数10最大，则函数y＝10x的增长速度最快．]
2．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是(　　)
A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x
C．x>2x>lg x D．x>lg x>2x
[答案]　A
3．如图所示曲线反映的是________函数模型的增长趋势．
[答案]　对数
4．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________．
[答案]　a>c>b
指数、对数、幂函数增长趋势的比较
【例1】　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小．
[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)．
∴1从图像上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)．
1．指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数
性质　
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
递增
递增
递增
增长的速度
先慢后快
先快后慢
随着n值的不同而不同
图象的变化
随x的增大越来越陡
随x的增大逐渐变缓
随着n值的不同而不同
2.指数、幂、对数比较大小
(1)常用方法
单调性法、图象法，中间搭桥法、作差(商)法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
1.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异．(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)
[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
建立函数模型解决实际问题
【例2】　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
[思路探究]　首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．
[解]　设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天所得回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．
∴投资1天到6天，应选方案一，投资7天方案一、二均可，投资8天到10天应选方案二，投资11天及其以上，应选方案三．
解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系.
2．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)
[解]　设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.
乙方案在10年后树木产量为
y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
y1－y2＝4a－4.98a<0，
因此，乙方案能获得更多的木材.
选择函数模型
[探究问题]
1．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是什么？
提示：由题中图像可知，该函数模型为指数模型．
2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数函数变化的变量是什么？
提示：由表中的数据变化知，是指数函数变化的变量是y2.
【例3】　20世纪90年代，气候变化专业委员会向各国政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中CO2体积分数增加，据测，1990年，1991年，1992年大气中CO2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位，若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO2体积分数增加的可比单位数y与年份增加数x(即当年数与1989年的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)，或g(x)＝abx＋c(a，b，c为常数且b>0，b≠1)．
(1)根据题目中的数据，求f(x)，g(x)的解析式；
(2)如果1994年大气中CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
[思路探究]　(1)列出方程组求系数，从而求解析式；
(2)由x＝5得出函数值，通过比较选择模拟函数．
[解]　(1)由题目中的数据得
解得
由解得
所以f(x)＝x2＋x, g(x)＝·－3.
(2)因为f(5)＝15，g(5)＝17.25，f(5)更接近16，
所以选用f(x)＝x2＋x作为模拟函数好．
解决函数应用题时的常用方法：
?1?先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型.
?2?将求出的函数通过数据比较确定出最适合的函数模型.
3．某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，
Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[解]　(1)由表中数据知，当时间t变化时，种植成本并不是单调的，
故只能选择Q＝at2＋bt＋c，即
所以
解得Q＝t2－t＋.
(2)Q＝(t－150)2＋－
＝(t－150)2＋100，
所以当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg.
三种函数模型的表达式及其增长特点的总结
(1)指数函数模型：表达式为f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0)，当b>1时，增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当0(2)对数函数模型：表达式为f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0)，当a>1时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当0(3)幂函数模型：表达式为f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1，α>0)，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型.
1．思考辨析
(1)y＝x10比y＝1.1x的增长速度更快些．(　　)
(2)对于任意的x>0，都有2x>log2x.(　　)
(3)对于任意的x，都有2x>x2.(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 633
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.1
6.61
6.95
7.20
7.40
其中关于x呈对数型函数变化的变量是______________，
呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________．
y3　y2　y1　[由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y3随x的增加增加越来越慢，属于对数函数变化．]
3．某商场2018年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q.
能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________.
③，x2－8x＋17　[①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为③，由f(1)＝10，f(3)＝2，得
，
解得p＝－8，q＝17，
所以，f(x)＝x2－8x＋17.]
4．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．
(1)当b＝时，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．
[解]　(1)b＝时 ，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2＝142＋，
∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝.