高中数学北师大版必修1学案：第3章指数函数和对数函数章末复习课

第3章 指数函数和对数函数
指数、对数的运算
【例1】　计算：(1)lg 52＋lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2；
[解]　(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2
＝2＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
1．指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
2．对数运算的常用方法
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
1．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
4,2　[由logab＋logba＝，得logab＋＝，
∴(logab)2－logab＋1＝0，
解得logab＝或2，又a>b>1，则logab＝，
由ab＝ba，得b＝alogab，
∴b＝a，
∴logaa＝，即loga＋1＝，
∴loga＝－，
∴a－＝，
∴a＝4，b＝2.]
指(对)数函数的图像及应用
【例2】　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.
(1)画出函数f(x)的图像；
(2)根据图像写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
[解]　(1)先作出当x≥0时，f(x)＝x的图像，利用偶函数的图像关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图像．
(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
由于指数函数y＝ax?a>0，且a≠1?，对数函数y＝logax?a>0，且a≠1?的图像与性质都与a的取值有密切的关系，a变化时，函数的图像与性质也随之改变.因此，在求解问题时，当a的值不确定时，要对它进行分类讨论.
2．当0A.　　　　　　 B．
C. D．
B　[易知02，解得a>，
∴]
比较大小
【例3】　(1)三个数a＝0.67，b＝70.6，c＝log0.76的大小关系为(　　)
A．bC．c(　　)
A．bC．b(1)C　(2)A　[(1)结合y＝0.6x，y＝7x和y＝log0.7x的图象，可知01，c<0，故c比较两数?式?或几个数?式?大小问题是一个重要题型，它主要是考查幂函数、指数函数、对数函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用，常用的方法有单调性法、图像法、中间量搭桥法、作差法、作商法、分析转化法等.
3．若a>b>1,0A．acC．alogbcC　[对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c>0，所以y＝xc为增函数，又a>b>1，所以ac>bc，A错．对于选项B，abc指(对)数函数的性质及应用
[探究问题]
1．已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图像．
提示：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图像如图所示．
2．试写出函数f(x)＝log5|x|的值域及单调区间．
提示：由探究1的图像知f(x)的值域为R，递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)．
3．把探究1中的函数改为y＝logb(x－1)(b>0且b≠1)，试求该函数恒过的定点．
提示：令x－1＝1得x＝2，又y＝logb1＝0，故该函数恒过定点(2,0)．
　已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)探究函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
[思路探究]　(1)利用奇函数的定义求解；(2)利用复合函数单调性的判断方法判断．
[解]　(1)由f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，
即loga＝－loga
∴loga＋loga＝0，
loga＝0，
∴＝1，
∴(1－m2)x2＝0，
∴1－m2＝0，解得m±1.
又当m＝1时，＝＝－1，故m＝1不合题意．
所以m＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝loga＝loga.
函数u＝1＋在区间(1，＋∞)上单调递减．
∴当a>1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减；
当0求解与指?对?数函数有关的复合函数的问题时，需要弄清楚三个方面的问题：
?1?定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；
?2?底数与1的大小关系；
?3?复合函数的构成，如y＝af?x?是由y＝au与u＝f?x?构成的.
4．已知f(x)＝lg .
(1)若f(x)的定义域为(－∞，1)，求a的值；
(2)若f(x)在x∈(－∞，1)内恒有意义，求a的取值范围．
[解]　(1)由函数f(x)的定义域为(－∞，1)，得关于x的不等式1＋2x＋a·3x>0的解集为(－∞，1)，即a>－＝g(x)的解集为(－∞，1)．
∵g(x)在R上是增函数，
∴不等式g(1)>g(x)的解集为(－∞，1)，
∴a＝g(1)＝－1.
(2)由已知得，不等式1＋2x＋a·3x>0对x∈(－∞，1)恒成立，
即a>－＝g(x)对x∈(－∞，1)恒成立；
故a>g(x)max，∵g(x)在区间(－∞，1)上是增函数，
∴g(x)