高中数学北师大版必修1学案：第4章函数应用1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在

1．1　利用函数性质判定方程解的存在
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点)
2.掌握函数零点存在的判定方法．(重点)
3.能结合图像求解零点问题．(难点)
1.学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养.
2.通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养.
函数零点及判定定理
阅读教材P115～P116整节的内容，完成下列问题．
(1)函数的零点：
①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系．
(2)函数零点的判定定理：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
思考：(1)函数的零点是点吗？
(2)若f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？
[提示]　(1)不是点，是数．
(2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2,2)上有两个零点．
1．下列各图像表示的函数中没有零点的是(　　)
D　[选项A，B和C中，函数的图像与x轴有交点，而选项D中，函数图像与x轴没有交点，故该函数没有零点．]
2．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是(　　)
A．(0,1)　　　　　 B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
A　[∵f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，且f(x)在区间[0,1]上连续，
∴f(x)在(0,1)上至少有一个零点．
又f(x)在R上是增函数，
则f(x)有唯一零点．
故选A.]
3．若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，则a的值是________．
　[依题意，f(4)＝0，
即16a－2log24＝0，
解得a＝.]
4．函数y＝x－的零点是________．
±1　[由y＝0，得x－＝0，解得x＝±1.]
求函数的零点
【例1】　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；
(4)f(x)＝1－log3x.
[解]　(1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，
所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
函数零点的求法,求函数y＝f?x?的零点通常有两种方法：其一是令f?x?＝0，根据解方程f?x?＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f?x?的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
1．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
[解]　由题意知f(－3)＝0，
即(－3)2－3－a＝0，
a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.
所以函数f(x)其余的零点是2.
判断零点所在的区间
【例2】　(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
15
10
－7
6
－4
－5
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个　　　　　　 B．3个
C．4个 D．5个
(2)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C.和(3,4) D．(e，＋∞)
(1)B　(2)B　[(1)由已知数表可知f(2)·f(3)＝10×(－7)＜0，
f(3)·f(4)＝(－7)×6＜0，f(4)×f(5)＝6×(－4)<0，
故函数f(x)在(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别存在零点，故至少有3个零点．
(2)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，
∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2,3)内有零点．]
1．(变条件)已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在区间是(　　)
A．(3,4)　　　　　 B．(2,3)
C．(1,2) D．(0,1)
C　[因为f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，
所以f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点，
又f(x)仅有一个正零点，故选C.]
2．(变结论)探究1中，函数y＝f(x)有负零点吗？
[解]　当x≤－1时，f(x)＝x3－x－1＝x(x2－1)－1<－1，当－1因此，f(x)没有负零点．
1．确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．
2．若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的其他性质，如单调性．
函数零点个数的判定
【例3】　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数是________．
(1)B　(2)1　[(1)当x≤0时，令x2＋2x＋3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B.
(2)因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0；
所以f(1)·f(2)<0.
又f(x)＝ln x＋x2－3的图像在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点．
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，
所以零点只有1个．]
判断函数零点个数的三种方法
?1?方程法：若方程f?x?＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数.
?2?图像法：由f?x?＝g?x?－h?x?＝0，得g?x?＝h?x?，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g?x?和y2＝h?x?的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数.
?3?定理法：函数y＝f?x?的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f?a?·f?b?<0即可判断函数y＝f?x?在区间?a，b?内至少有一个零点.若函数y＝f?x?在区间?a，b?上是单调函数，则函数f?x?在区间?a，b?内只有一个零点.
3．(1)函数f(x)＝x3－x的零点个数是(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为________．
(1)B　(2){－2－，1,3}　[(1)如图所示，作出y＝x3与y＝x的图像，两个函数的图像，只有一个交点，所以函数只有一个零点，所以B项正确．]
(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，
令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝x2＋3x＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－3x，
则f(x)＝
∵g(x)＝f(x)－x＋3，
∴g(x)＝，令g(x)＝0，
当x≥0时，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，
当x<0时，－x2－4x＋3＝0，解得x＝－2－或x＝－2＋(舍去)
∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为{－2－，1,3}．
函数零点的分布
[探究问题]
1．当a>0时，画出函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间(m，n)内有两个零点图像，并根据图像的特征，写出参数a，b，c满足的条件．
提示：　　
2．对于探究1中的问题，将“a>0”改为“a<0”，进行探究．
提示：　
　当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
[思路探究]　分a＝0，a>0，a<0三种情况讨论列出关于a的不等式，最后求得结果．
[解]　(1)当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
(2)当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
∴即
解得(3)当a<0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1·x2＝<0，
x1，x2一正一负不符合题意．
综上，a的取值范围为.
(变条件)若本例中的方程至少有一个正根，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝0时，方程变为－2x＋1＝0，解得x＝，符合题意．
(2)当a＞0时，解得a≤1，故0＜a≤1.
(3)当a＜0时，因为f(0)＝1，故函数f(x)＝ax2－2x＋1与x轴一定有两个交点，故方程ax2－2x＋1＝0必有一个正根．
综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．
解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：
?1?首先画出符合题意的草图，转化为函数问题.
?2?结合草图考虑三个方面：
①开口方向；
②Δ与0的大小；
③对称轴与所给端点值的关系；
④端点的函数值与零的关系.
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数图像在区间[a，b]上是连续的；(2)定理不可逆；(3)在区间(a，b)内，函数至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
1．思考辨析
(1)零点即函数y＝f(x)的图像与x轴的交点．(　　)
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)有两个零点．(　　)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2．y＝x＋1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　)
A．－1，(－1,0)　　　 B．(－1,0)，0
C．(－1,0)，－1 D．－1，－1
C　[由y＝x＋1＝0，得x＝－1，
故交点坐标为(－1,0)，零点是－1.]
3．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则
①函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；
②函数f(x)在(3,5)内无零点；
③函数f(x)在(2,5)内有零点；
④函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；
⑤函数f(x)的零点必在(1,5)内．
以上说法错误的是________(将序号填在横线上)．
①②③　[由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内，①②③错误．]
4．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)y＝；(2)y＝x2－2x＋4；(3)y＝1－log5x.
[解]　(1)令y＝0，得＝0，无解．故函数不存在零点．
(2)令y＝0，得x2－2x＋4＝0，Δ＝4－4×4＝－12<0.故函数不存在零点．
(3)令y＝0，得1－log5x＝0，log5x＝1，解得x＝5.故函数的零点为5.