高中数学北师大版必修1学案：第4章函数应用2实际问题的函数建模

2．1　实际问题的函数刻画 2．2　用函数模型解决实际问题 2．3　函数建模案例
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)
2.能建立函数模型解决实际问题．(重、难点)
1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养.
2.通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养.
1．实际问题的函数刻画
阅读教材P120～P122整节课内容，完成下列问题．
在现实世界里，生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．
2．用函数模型解决实际问题
阅读教材P123～P125整节课的内容，完成下列问题．
(1)常用的函数模型
(2)数据拟合
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
思考：解决应用问题的关键是什么？
[提示]　将实际问题转化为数学问题．
1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(　　)
x
－2
－1
0
1
2
3
y
1
4
16
64
A.一次函数模型　　　 B．二次函数模型
C．对数函数模型 D．指数函数模型
[答案]　D
2．一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型为(　　)
A．分段函数　　　　　 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
A　[由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．]
3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是(　　)
B　[乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B.]
4．用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则铁框架的最大面积是________m2.
9　[设铁框架的一边长为x m，则其面积S＝＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.
由，得0所以，当x＝3时，S取最大值9.]
表格信息类建模问题
【例1】　某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
2015
2016
2017
2018
x(年)
0
1
2
3
生产总值(万亿元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值．
[解]　(1)根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋b.
把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7.
所以它的一个函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.677 7x＋8.206 7，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为
f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，
f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
(3)2019年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.677 7×4＋8.206 7＝10.917 5，
即预测2019年该国的国内生产总值约为10.917 5万亿元．
(1)根据表格信息，画出图像；
(2)根据图像特征，选定函数模型；
(3)用待定系数法求出函数解析式；
(4)检验模型．
1．(1)某学校开展研究性学习活动， 一组同学获得了下面的一组试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下5个模拟函数：(　　)
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝x＋1.74.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．
(2)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量(单位：千瓦时)
高峰电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时)
低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)
(1)④　(2)148.4　[(1)画出散点图如图所示．
由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．故填④.
(2)高峰时间段200千瓦时的电费为50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)，低谷时间段100千瓦时的电费为50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)，所以这个家庭该月应付电费为118.1＋30.3＝148.4(元)．]
图像信息解读问题
【例2】　如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像．
图1　　　　　图2　　　　　图3　　
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
[解]　(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利．
(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．
(3)斜率表示票价．
(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元．
1．这类问题应结合图像的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决．
2．挖掘图像中的信息是关键．
2．电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MN∥CD)．试问：
(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
[解]　由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，
则fA(x)＝
fB(x)＝
(1)当通话时间为2小时，A，B两种方案的话费分别为116元、168元．
(2)因为当x>500时，
fB(x＋1)－fB(x)＝(x＋1)＋18－x－18＝＝0.3，
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由题图可知，当0≤x≤60时，fA(x)当x>500时，fA(x)>fB(x)；
当60fB(x)，
即x＋80>168，解得x>.
综上，当通话时间在范围内，方案B比方案A优惠.
数据拟合
[探究问题]
1．建立拟合函数的步骤是什么？
提示：依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的拟合函数的探索步骤为：
(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；
(2)根据散点图设出比较接近的、可能的函数模型的解析式；
(3)利用待定系数法求出各解析式；
(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．
2．今有一组试验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)
A．u＝log2t　　　　 B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
提示：可以先描出各点(如图)，并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．
由图可知，图像不是直线上的点，排除选项D；图像不符合对数函数的图像特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，＝＝4，由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u＝能较好地体现这些数据关系．故选C.
【例3】　某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A，B两种商品各多少最合算．请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)
[思路探究]　先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型．
[解]　设投资额为x万元时，获得的利润为y万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．
设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a＞0)，
一次函数的解析式为y＝bx.
把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a＞0)，
得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示．
把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，
故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示．
令下月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得
W＝yA＋yB＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25xB，
其中xA＋xB＝12，
则W＝－0.152＋0.15· 2＋2.6(0≤xA≤12)，
则当xA＝≈3.2万元时，W取得最大值，
0．15·2＋2.6≈4.1万元，此时xB＝≈8.8(万元)．
即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．
此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：
?1?作图：根据已知数据作出散点图；
?2?选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；
?3?求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；
?4?利用所求得的函数模型解决问题.
3．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
x
…
30
40
45
50
…
y
…
60
30
15
0
…
(1)在所给的坐标系中(如图)，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．
[解]　根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)近似在同一条直线上，设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，
∴?
∴y＝－3x＋150(x∈N)．
经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，
故所求函数关系式为
y＝－3x＋150(x∈N)．
(2)依题意有P＝y(x－30)
＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化.
1．思考辨析
(1)在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义．(　　)
(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×
2．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a)，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为(　　)
A　　　　B　　　　C　　　D
C　[由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．故选C.]
3．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km)
0＜x≤500
500＜x≤1 000
1 000＜x≤1 500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　)
A．5.00元　　　　 B．6.00元
C．7.00元 D．8.00元
C　[由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元，故选C.]
4.要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图所示，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？
[解]　由题意得窗框总长l＝x＋x＋2y，
∴y＝，∴S＝x2＋xy
＝x2＋x·
＝－2＋.
由得x∈，
当x＝时，Smax＝，
此时y＝＝，
所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大．