高中数学北师大版必修1学案：第4章函数应用章末复习课

第4章 函数应用
函数的零点及应用
【例1】　(1)设函数y＝x2与y＝x－2的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)　　C．(2,3) D．(3,4)
(2)函数f(x)＝x－的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
[思路探究]　(1)将其转化为函数的零点所在区间的判断．
(2)利用零点存在性定理及函数的单调性求解．
(1)B　(2)B　[(1)由消去y得x2＝x－2
令f(x)＝x2－，则x0是函数y＝f(x)的零点．
又f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，
由零点存在性定理知，x0∈(1,2)．故选B.
(2)因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以y＝f(x)至少有一个零点．
又因为y＝f(x)是增函数，
所以，y＝f(x)有唯一零点，故选B.]
确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断.
1．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
(0,1)　[在同一坐标系中作出
f(x)＝
及y＝k的图像(如下图)．
可知，当0＜k＜1时，y＝k与y＝f(x)的图像有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．]
二分法的应用
【例2】　用二分法求的近似值．(精度为0.1)
[解]　设x＝，则x2＝5，即x2－5＝0，
令f(x)＝x2－5.
因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29>0.
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5>0.
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以的近似值可取为2.25.
1．看清题目的精度，它决定着二分的次数．
2．根据f(a0)·f(b0)＜0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间．
3．初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大．
4．取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，an与bn按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．
2．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围是(　　)
A.　　　　 B．
C．(1,2) D．(2，＋∞)
B　[先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图像，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实数解时，k的范围为.
]
实际问题的函数建模
[探究问题]
1．图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：
①　　　②　　　③　　　④
情境A：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；
情境B：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；
情境C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度；
情境D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润．
其中情境A，B，C，D分别对应的图像是________．(填序号)
提示：①③④②
2．环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：
月数
1
2
3
4
…
污染度
60
31
13
0
…
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：
f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．
问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由．
提示：用h(x)模拟比较合理．理由：因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.
由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．
【例3】　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[思路探究]　
[解]　(1)由题意知：
当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20由已知得
解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20f(x)＝x(200－x)
＝－(x－100)2＋.
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
又1 200＜，所以当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
1．解函数应用题可归纳为四步：
(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．
其中“建模”是最关键的一步．建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型．
2．函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．
3．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示．
年序
最大积雪深度x/cm
灌溉面积y/hm2
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积y(hm2)随积雪深度x(cm)变化的图像；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图像；
(3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉的土地面积．
[解]　(1)描点作图如图甲．
甲　　　　　　乙
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b(a≠0)．取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝ax＋b，得
用计算器可算得a≈1.8，b≈2.4.
这样，我们得到一个函数模型y＝1.8x＋2.4.
作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.
化归与转化思想的应用
　设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实根的个数．
[思路探究]　先将对数方程转化为二次方程，再将参数a与未知数x分离，进一步转化为两函数图像交点的个数问题．
[解]　原方程可化为
即
画出函数y＝－x2＋5x－3，(1所以，当a<1，或a>时，无解；
当a＝，或1≤a<3时，一解；
当3≤a<时，两解．
转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的.
4．已知函数f(x)＝mx2－x－1在区间(0,1)内有零点，求实数m的取值范围．
[解]　令f(x)＝0，得mx2－x－1＝0.
又x∈(0,1)，则m＝2＋，
令t＝，则t∈(1，＋∞)，
∴m＝t2＋t＝2－，∴m>2.