湘教版九年级数学上册 第2章 一元二次方程2.4 一元二次方程根与系数的关系教学课件（共24张）

(共24张PPT)

一元二次方程根与系数的关系
教学课件
湘教版九年级上册
01 新课导入
目录
03 典型例题
02 新知探究
04 拓展提高
05 课堂小结
06 作业布置
01 新课导入

新课导入
我们已经知道，一元二次方程 的根的值由方程的系数a，b，c来决定，根与系数之间还存在哪种关系呢？请同学们填写下列表格，认真观察，能不能发现其中的奥秘。
方程
0 2
-4 1
2 3
2
0
-3
-4
5
6
02 新知探究

新知探究
探索一元二次方程根与系数的关系

想一想：（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.



新知探究
想一想

（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？
解析：根据求根公式得


这样我们就得到一元二次方程两个实数根之间的关系了！

新知探究
小归纳

一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）


注意
满足上述关系的前提条件

b2-4ac≥0.

新知探究
一元二次方程根与系数关系的应用

利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.

新知探究

设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，
且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0
即 -8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
= 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
一元二次方程根与系数关系的应用

新知探究
小归纳

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.


归纳

新知探究
练一练

设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= , (2) x1·x2= ,
(3) ,
(4) .
4
1
14
12
03 典型例题


典型例题
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .
1
-2
-3
3.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1）(x1+1)(x2+1)；（2）求(x1-x2)2的值.


典型例题
解：(1)根据题意知
=
)+1
=
(2)根据题意知


4.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于 x1·x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.


典型例题
04 拓展提高

拓展提高
1. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
由根与系数的关系，得

拓展提高
2. 已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
解：(1)方程有实数根
∴ 的取值范围为＞0
(2)∵方程有实数根 x1,x2
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
解得m=8.
经检验m=8是原方程的解．
解
=
=4
=8 ≥0
05 课堂小结


课堂小结
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么

应 用



06 作业布置
完成课本习题 2.4 A、B组

作业布置
谢 谢 观 看