湘教版九年级数学上册 第2章 一元二次方程2.2.1 配方法解一元二次方程教学课件（共31张）

(共31张PPT)

配方法解一元二次方程
教学课件
湘教版九年级上册
01 新课导入
目录
03 典型例题
02 新知探究
04 拓展提高
05 课堂小结
06 作业布置
01 新课导入

新课导入
同学们还记得完全平方公式吗？让我们来填一填下列公式吧.
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
看来同学们对于之前的知识都掌握的不错呀，今天，我们就用完全平方公式来解决一元二次方程的根的问题，让我们一起在数学的海洋里遨游吧！
02 新知探究

新知探究

让我们来解2.1章的二元一次方程吧: x2-2500=0
解：
把方程写成 x2=2500
2.1 一元二次方程的根（直接开平方法）
这表明 x 是2500的平方根，根据平方根的意义，
可以得到
因此该方程的解为




对于实际问题而言解为负数不合题意，应当舍去，
因此我们得到该圆的半径为50cm
? 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根

新知探究

解下列方程: (x+3)2-36=0
解：
2.1 一元二次方程的根（直接开平方法）
把 x+3 看成一个整体，就有(x+3)2=36


解得 x=3 或 x= -9

? 上述这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法

新知探究

解方程: x2+6x+4=0
解：
配方得
x2+6x+32-32+4=0
由此得x+3=
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
方程配方的方法：
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
2.配方法解一元二次方程(二次项系数为1)
因此 (x+3)2=5
，

新知探究
2.配方法解一元二次方程(二次项系数为1)

根据导学中的完全平方公式，填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2 + 4x + = ( x + )2
（2）x2 - 6x + = ( x - )2
（3）x2+ 8x + = ( x + )2
（4）x2- x + = ( x - )2
22
2
32
3
42
4
同学们能总结这个规律吗？

新知探究

小归纳--配方的方法
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
即：
x2+px+( )2=(x+ )2
2.配方法解一元二次方程(二次项系数为1)

新知探究

用配方法解方程 x2+10x+9=0
解：配方，得
x2+10x+52－52+9=0
因此 (x+5)2=16
由此得 x+5=4 或 x+5=－4
解得 x1=－1, x2=－9
2.配方法解一元二次方程(二次项系数为1)
练一练

新知探究
3.配方法解一元二次方程(二次项系数不为1)

观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +8x－3 = 0.
方程①我们很容易用配方法来解 x2 + 6x + 8 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8 ,
配方，得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 , x2= -4.
如何来解
3x2 +8x－3 = 0.
对于二次项系数不为1 的我们又该怎么处理呢？

新知探究

3.配方法解一元二次方程(二次项系数不为1)
解方程②： 3x2 + 8x -3 = 0.
解：两边同除以3,得 x2 + x - 1=0.
配方,得 x2 + x + ( ) 2 - ( )2 - 1 = 0,
（x + ）2 - =0.
移项,得
x + =± ,
所以 x1= , x2 = -3 .
先把二次项的系数化为1再配方！

新知探究

解方程：
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
即
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
3.配方法解一元二次方程(二次项系数不为1)

新知探究

用配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
3.配方法解一元二次方程(二次项系数不为1)

新知探究
4.配方法规律总结

一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 ,方程的两个根为

②当p=0时,则(x+n)2=0 , x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.

新知探究
配方法的应用

一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：
h=15t - 5t2.
小球何时能达到10m高？
解：将 h = 10代入方程 15t - 5t2 =10.
两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2,
配方,得 t2 - 3t + ( )2= ( )2 - 2,
（t - ）2 =

新知探究
配方法的应用

移项,得 （t - ） =
即 t - = ,或 t - = .
所以 t1= 2 , t2 = 1 .
即在1s或2s时，小球可达10m高.
03 典型例题


典型例题
1.将一元二次方程x2-8x-5=0化成(x+a)2=b的形式，
则b等于( )
A.-13 B.13 C.-21 D.21
D
2.方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则
m的值为（ ）
A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2
C
3.解下列方程：

解：
方程的两根为


典型例题
解：移项二次项系数化为1，得
x2- x = ,
配方，得
x2- x + = + ,
即
( x- )2=
由此可得


典型例题

（2）


3.在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明的理由吗？


典型例题
解：设矩形的长为,则宽为

+1

∴ 矩形长为1m时面积最大，最大为1㎡
04 拓展提高

拓展提高
1. 解方程： (x + 1 )(x - 1) + 2(x + 3) = 8
解：方程化简，得 x2 + 2x + 5 = 8.
移项，得 x2 + 2x = 3,
配方，得 x2 + 2x + 1 = 3 + 1 ,
即 （x + 1）2 = 4.
开平方, 得 x + 1 = ±2.
解得 x1 = 1 , x2= －3.

拓展提高
2.已知 a, b, c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
05 课堂小结


课堂小结
用配方法解一元二次方程：
移项

把常数项移到方程的右边
配方

方程两边都加上一次项系数一半的平方
开方

方程两边开平方
求解

解一元一次方程
定解

写出原方程的解
06 作业布置
完成课本习题 P33 P35 练习

作业布置
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