湘教版九年级数学上册第1章 反比例函数1.2 反比例函数的图像和性质教学课件（共31张）

(共31张PPT)

反比例函数的图形
和性质
教学课件
湘教版九年级上册
01 新课导入
目录
03 典型例题
02 新知探究
04 拓展提高
05 课堂小结
06 作业布置
01 新课导入

新课导入
我们已经学习了用“描点法”画一次函数的图像，并且知道一次函数的图象是一条直线，那么怎样画反比例函数 （ 为常数，）的图象呢？它的图象的形状是怎样的呢？




x
y
是这种用曲线组成的图象还是和一次函数一样是一条直线呢？
02 新知探究

新知探究
1.反比例函数的图象（k>0）

反比例函数的图像是什么样的呢？我们按照反比例系数的正负来区分讲解吧：
同学们能在直角坐标系中画出反比例函数 与 的图象吗？
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 .

新知探究

(1)列表--让取一些正实数和负实数并计算出相应的函数值y
－1
－2
－1.2
－2.4
－1.5
－3
－2
－4
－3
－6
－6
6
3
6
2
4
1.5
3
1.2
2.4
1
2
1.反比例函数的图象（k>0）
－12
12












－1
1
2
3
4
5
6
x
－2
－3
－4
－5
1
2
3
4
5
6
－1
－2
－3
－4
－5

新知探究

1.反比例函数的图象（k>0）
(2)描点--以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象．

*同样

新知探究

2.反比例函数的图象（k<0）
学完了k>0的反比例函数的图像，我们一起来画k<0的反比例函数图像吧！以 为例：
同样按照 列表→描点→连线
我们可以得到图像 ?




























y =
x
6


O
-1
1
1
-1

新知探究

同学们，根据画出的反比例图像来分析下它们的性质吧！
3.反比例函数的图象性质
k > 0 k < 0






y
x
O




y
x
O





y
x
O




y
x
O

*虚线非图像线，
表明增减关系用

新知探究

根据上图你能总结出来反比例函数的图象性质吗？
3.反比例函数的图象性质
k k > 0 k < 0
共同 双曲线，即由两支曲线组成
象限 分别位于一、三象限 分别位于二、四象限
增减性 每个象限内，y 随x 的增大而减小 每个象限内，y 随x 的增大而增大
其他特点 1.轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形
2.曲线的发展趋势靠近坐标轴，但不能和坐标轴相交
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性哟

新知探究





A.
x
y




C.
x
y
o




x
y
o
D.

o



y
x
B.
1. 反比例函数 的图象大致是 ( )
C
3.反比例函数的图象性质—练一练

新知探究

2. 点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2
(填“>”“<”或“=”).
<
3.反比例函数的图象性质—练一练
3. 如图，已知直线y=mx与双曲线 的一个交点坐标为
(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是 ( )




A. (1,3) B. (3,1)
C. (1,-3) D. (-1,3)
C
解析：双曲线关于原点中心对称，因此两个交点坐标互为相反数

新知探究




y
x
o
A
C
如图所示，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直x 轴于点C，且的面积是2，求该反比例函数的表达式。
解析：先设点A的坐标，然后用A的坐标表示的面积，进而求出k的值
3.反比例函数的图象性质—k的几何意义

新知探究

解：
3.反比例函数的图象性质—k的几何意义

新知探究



y
x
O



A
B
即：S△AOB = .
S□ABCO=|????|
对于反比例函数而言，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴与向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于值的一半，同理如图围成的矩形面积等于值
3.反比例函数的图象性质—k的几何意义

小归纳

C

新知探究

练习：如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .


y
x
O


P
A
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意
k＜0.
－12
3.反比例函数的图象性质—k的几何意义
03 典型例题


典型例题
1. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函
数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2
的大小关系为 ( )
A. y1 > y2
C. y1 < y2
B. y1 = y2
D. 无法确定
提示：可知反比例函数的解析式为 ，因为6＞0，且 A，B 两点均位于第一象限部分，根据 >5，可知y1，y2的大小关系.
C
考点：k > 0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小
2.已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.


典型例题
考点：k > 0 时，反函数图像位于第一、三象限，函数值 y 随 x 的增大而减小
(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个
函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.

因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .


典型例题
3. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)


典型例题
考点：k > 0 时，反函数图像位于第一、三象限，函数值 y 随 x 的增大而增大
4. 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
解：因为函数为反比例函数，所以
a2+a－7=－1，
又由于y 随 x 的增大而增大可知a－1<0．
解得 a=－3.


典型例题
5.如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上
任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___.

5




3
2
B
C
A
D


典型例题
解析: 根据反函数的几何意义，任一点与原点和坐标轴围成的矩形面积为|????|
因此S平行四边形ABCD =|2|+|-3|=5

04 拓展提高

拓展提高
点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)
的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为：－1＜a＜1．
05 课堂小结


课堂小结
k k > 0 k < 0
共同 双曲线，即由两支曲线组成
象限 分别位于一、三象限 分别位于二、四象限
增减性 每个象限内，y 随x 的增大而减小 每个象限内，y 随x 的增大而增大
其他特点 1.轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形
2.曲线的发展趋势靠近坐标轴，但不能和坐标轴相交
反比例函数的图象和性质
06 作业布置
完成课本习题1.2 A、B组

作业布置
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