人教版高中物理必修一讲义资料，复习补习资料：19相遇和追及问题(基础)word版含答案

相遇和追及问题
【学习目标】
1、掌握追及及相遇问题的特点；
2、能熟练解决追及及相遇问题。
【要点梳理】
要点一、机动车的行驶安全问题：
要点诠释：
反应时间：人从发现情况到采取相应措施经过的时间为反应时间。
反应距离：在反应时间内机动车仍然以原来的速度v匀速行驶的距离。
刹车距离：从刹车开始，到机动车完全停下来，做匀减速运动所通过的距离。
停车距离与安全距离：反应距离和刹车距离之和为停车距离。停车距离的长短由反应距离和刹车距离共同决定。安全距离大于一定情况下的停车距离。
要点二、追及与相遇问题的概述
要点诠释：
追及与相遇问题的成因：
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．
追及问题的两类情况
(1)速度小者追速度大者
(2)速度大者追速度小者
说明:①表中的Δx是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；
②x0是开始追及以前两物体之间的距离；
③t2-t0=t0-t1；
④v1是前面物体的速度,v2是后面物体的速度.
特点归类：
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度．
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近．
相遇问题的常见情况
(1) 同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题.
(2) 相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇.
解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了.
要点三、追及、相遇问题的解题思路
要点诠释：
追及?相遇问题最基本的特征相同,都是在运动过程中两物体处在同一位置.
①根据对两物体运动过程的分析,画出物体运动情况的示意草图.
②根据两物体的运动性质,分别列出两个物体的位移方程,注意要将两个物体运动时间的关系反映在方程中;
③根据运动草图,结合实际运动情况,找出两个物体的位移关系;
④将以上方程联立为方程组求解,必要时,要对结果进行分析讨论.
要点四、分析追及相遇问题应注意的两个问题
要点诠释：
分析这类问题应注意的两个问题:
(1)一个条件:即两个物体的速度所满足的临界条件,例如两个物体距离最大或距离最小?后面的物体恰好追上前面的物体或恰好追不上前面的物体等情况下,速度所满足的条件.
常见的情形有三种:一是做初速度为零的匀加速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀速直线运动的物体乙,这种情况一定能追上,在追上之前,两物体的速度相等(即)时,两者之间的距离最大;二是做匀速直线运动的物体甲,追赶同方向的做匀加速直线运动的物体乙,这种情况不一定能追上,若能追上,则在相遇位置满足;若追不上,则两者之间有个最小距离,当两物体的速度相等时,距离最小;三是做匀减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体,情况和第二种情况相似.
(2)两个关系:即两个运动物体的时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两个物体位移之间的数值关系是解决问题的突破口.
要点五、追及、相遇问题的处理方法
方法一:临界条件法(物理法):当追者与被追者到达同一位置,两者速度相同,则恰能追上或恰追不上(也是二者避免碰撞的临界条件)。
方法二:判断法(数学方法):若追者甲和被追者乙最初相距d0令两者在t时相遇,则有,得到关于时间t的一元二次方程:当时,两者相撞或相遇两次;当时,两者恰好相遇或相撞;时,两者不会相撞或相遇。
方法三:图象法.利用速度时间图像可以直观形象的描述两物体的运动情况，通过分析图像，可以较方便的解决这类问题。
【典型例题】
类型一、机动车的行驶安全问题
例1、（2019 德州市期末考）2019年1月3日在京津高速上，司机驾驶小汽车以108km/h的速度匀速行驶，突然发现同一车道的正前方110m处停有一辆故障车，由于无法从其它车道避让，司机立即采取措施．司机从发现前方故障车到开始制动有1s的反应时间，制动后小汽车以大小为a=5m/s2的加速度刹车，请你通过计算判断这辆小汽车能否跟前方故障车发生追尾事故？请你给司机提出至少一条合理的可以防止和减少追尾的建议．
【答案】见解析
【解析】，司机在反应时间内做匀速运动，，
刹车后做匀减速运动的位移，
总位移，会发生追尾．
建议：1、不要超速，2、不要酒后驾驶，3、不要疲劳驾驶．
答：会发生追尾．建议：1、不要超速，2、不要酒后驾驶，3、不要疲劳驾驶．
【总结升华】决本题的关键知道汽车在反应时间内和刹车后的运动规律，结合运动学公式灵活求解，基础题．
举一反三
【变式】酒后驾车严重威胁交通安全．其主要原因是饮酒会使人的反应时间(从发现情况到实施操作制动的时间)变长，造成制动距离(从发现情况到汽车停止的距离)变长，假定汽车以108 km/h的速度匀速行驶，刹车时汽车的加速度大小为8 m/s2，正常人的反应时间为0.5 s，饮酒人的反应时间为1.5 s，试问：
(1)驾驶员饮酒后的反制距离比正常时多几米？
(2)饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止需多少时间？
【答案】　(1)30 m　(2)5.25 s
【解析】　(1)汽车匀速行驶v＝108 km/h＝30 m/s
正常情况下刹车与饮酒后刹车，从刹车到车停止这段时间的运动是一样的，设饮酒后的刹车距离比正常时多Δs，反应时间分别为则
代入数据得
(2)饮酒的驾驶员从实施操作制动到汽车停止所用时间
解得
所以饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止所需时间
解得
类型二、追及问题一：速度小者追赶同向速度大者
例2、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
【思路点拨】画好汽车和自行车的运动示意图是关键。
【答案】2s 6m
【解析】：
方法一：临界状态法
运动示意图如图：
汽车在追击自行车的过程中，由于汽车的速度小于自行车的速度，汽车与自行车之间的距离越来越大；当汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小。很显然，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则
∴

方法二：图象法
在同一个v-t图象中画出自行车和汽车的速度-时间图线，如图所示。其中Ⅰ表示自行车的速度图线，Ⅱ表示汽车的速度图线，自行车的位移等于图线Ⅰ与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移 则等于图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。
此时
方法三：二次函数极值法
设经过时间t汽车和自行车之间的距离，则

当时两车之间的距离有最大值，且
【点评】(1)在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析。
(2)分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
(3)解题思路和方法
举一反三
【相遇和追及问题例2】
【变式1】小轿车在十字路口等绿灯亮后，以1m/s2的加速度启动，恰在此时，一辆大卡车以7m/s的速度从旁超过，做同向匀速运动，问（1）小轿车追上大卡车时已通过多少路程？（2）两车间的距离最大时为多少？
【答案】98m 24.5m
【变式2】甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以10 m/s的速度匀速行驶，乙以2 m/s2的加速度由静止启动，求：
(1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？
(2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？
【答案】(1)10 s　2倍　(2)5 s　相等
【解析】(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为x1，乙车位移为x2，则x1＝x2，即，解得，因此.
(2)设追上前二者之间的距离为，则
由数学知识知：当时，两者相距最远，此时.
类型三、追及问题二：速度大者减速追赶同向速度小者
例3、火车以速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S处有另一列火车沿同方向以速度（对地、且）做匀速运动，司机立即以加速度紧急刹车，要使两车不相撞，应满足什么条件？
【思路点拨】理解两车不相撞的临界条件。
【答案】
【解析】方法一：设两车恰好相撞(或不相撞)，所用时间为t，此时两车速度相等

解之可得：
即，当时，两车不会相撞。
方法二：要使两车不相撞，其位移关系应为：
对任一时间t，不等式都成立的条件为
由此得
【点评】分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清两物体在位移、速度、时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与极值条件或临界条件相联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、解决相关的临界条件方程或用数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。
举一反三
【相遇和追及问题例3】
【变式】汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方s 处有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做匀减速运动，加速度大小为6m/s2，若汽车恰好不碰上自行车，则s大小为多少？
【答案】3m
类型四、相遇问题
例4、（2019 湛江市徐闻一中高三月考）如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车分别停在A、B两处，，现甲车开始以a1=2.5 m／s2的加速度向右做匀加速直线运动，当甲车运动t0=6 s时，乙车开始以a2=5 m／s2的加速度向右做匀加速直线运动，求两车相遇处到A处的距离。

【答案】125m和245m
【解析】甲车运动t0=6 s的位移为：，
说明t0=6 s甲车尚未追上乙车。
设此后甲车经过时间t与乙车相遇，
则有：，
代入数据并整理得：t2－12t+32=0，
解得：t1=4 s，t2=8 s，
①当t1=4 s时，甲车追上乙车，第一次相遇处到A的距离为，
②当t2=8 s时，乙车追上甲车，第二次相遇处到A的距离为。【总结升华】抓住相遇时的位移关系是解决此题的关键。
举一反三
【相遇和追及问题例7】
【变式】羚羊从静止开始奔跑，经过50m的距离能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持这速度4.0s。设猎豹距离羚羊x时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：
（1）猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？
（2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x值应在什么范围？
【答案】(1） 31.875m≤ x ≤ 55m （2）x ≤ 31.875m
【巩固练习】
一选择题：
1、（2019 山西忻州一中期末考）a、b、c三个物体在同一条直线上运动，三个物体的位移-时间图象如右图所示，图象c是一条抛物线，坐标原点是抛物线的顶点，下列说法中正确的是
A．a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同
B．a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度大小相同方向相反
C．在0~5 s的时间内，t=5 s时，a、b两个物体相距最远
D．物体c做匀加速运动，加速度为0.2 m/s2
2、（2019 沈阳市期末考）甲、乙两物体同时从同一位置出发沿同一直线运动，它们的v﹣t图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A． 甲做匀速直线运，乙做匀变速直线运动
B． 两物体两次相遇的时刻分别是1S末和4S末
C． 乙在前2s内做匀加速直线运动，2S后做匀减速直线运动
D． 第2s末乙物体的运动方向改变
3、（2019 福州一中高三月考）如图所示，A、B两物体相距s=7 m，物体A以vA=4 m／s的速度向右匀速运动。而物体B此时的速度vB=10 m／s，向右做匀减速运动，加速度a=－2 m／s2。那么物体A追上物体B所用的时间为（ ）

A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s
二解答题：
1、在十字路口，汽车以的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：
什么时候它们相距最远？最远距离是多少？
在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？
2、甲、乙两个同学在直跑道上练习4100m接力，他们在奔跑时有相同的最大速度。乙从静止开始全力奔跑需跑出25m才能达到最大速度，这一过程可看作匀变速运动。现甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则：
（1）乙在接力区须奔出多大距离？
（2）乙应在距离甲多远时起跑？
3、（2019 湖北孝感高级中学期末考）甲、乙两辆汽车沿平直公路同向匀速行驶，甲车在乙车前面，它们之间相距x0=40m，速度均为v0=10m/s。某时刻，甲车刹车作匀减速直线运动，加速度大小为5m/s2。从此时刻起，求：
（1）甲车经过多长时间停止运动；
（2）当甲车静止时，甲、乙两辆汽车之间的距离为多大；
（3）经多长时间两车相遇？
4、在水平直轨道上有两列火车A和B相距s。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动；而B车同时做初速度为0、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足的条件。
5、甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以v1=10m/s的速度做匀速运动，经过车站A时关闭油门以a1=4m/s2的加速度匀减速前进。2s后乙车与甲车同方向以a2=1m/s2的加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？
【相遇和追及问题例6】
6、高速公路给人们出行带来了方便，但是因为在高速公路上行驶的车辆的速度大，雾天往往出现十几辆车追尾连续相撞的车祸。已知轿车在高速公路正常行驶速率为120km/h。轿车刹车产生的最大加速度为8m/s2，如果某天有雾，能见度（观察者与能看见的最远目标间的距离）约为37m，设司机的反应时间为0.6s，为安全行驶，轿车行驶的最大速度是多少？
【相遇和追及问题例5】
7、（2019 临沂一中高三月考）近来我国高速公路发生多起有关客车相撞的严重交通事故，原因之一就是没有掌握好车距，据经验丰富的司机总结，在高速公路上，一般可按你的车速来确定与前车的距离，如车速为80 km／h，就应与前车保持80 m的距离，以此类推，现有一辆客车以大小v0=90 km／h的速度行驶，一般司机反应时间t=0.5 s（反应时间内车被视为匀速运动），刹车时最大加速度a1=5 m／s2求：
（1）若司机发现前车因故突然停车，则从司机发现危险到客车停止运动，该客车通过的最短路程？并说明按经验，车距保持90 m是否可行？
（2）若客车超载，刹车最大加速度减为a2=4 m／s2；司机为赶时间而超速，速度达到v1=144 km／h；且晚上疲劳驾驶，反应时间增为t＇=1.5 s，则从司机发现危险到客车停止运动，客车通过的最短路程?并说明在此情况下经验是否可靠？
8、公路上一辆汽车以=10m/s的速度匀速行驶，汽车行至A点时，一人为搭车，从距公路30m的C处开始以= 3 m/s的速度正对公路匀速跑去，司机见状途中刹车，汽车做匀减速运动，结果车和人同时到达B点，已知AB=80m，问：汽车在距A多远处开始刹车，刹车后汽车的加速度有多大？
【答案与解析】
一选择题：
1、BCD
解析：a、b两物体位移时间图像斜率大小相等方向相反，则二者做方向相反的匀速直线运动，在0-5s的时间内，t=5s时，a、b两物体相距最远，C做匀加速直线运动，代入位移时间公式，可解得
2、C
解析：A、甲图线与时间轴平行，做匀速直线运动，乙先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动，由于加速度改变，则乙做非匀变速直线运动．故A错误．
B、在1s末和4s末，两者速度相同，因为图线与时间轴围成的面积不等，则位移不等，两物体未相遇．故B错误．
C、乙在前2s内做匀加速直线运动，在后2s内做匀减速直线运动．故C正确．
D、0﹣6s内，甲乙的速度都为正值，速度方向不变．故D错误．
故选：C．
3、B
解析：物体A做匀速直线运动，位移为：xA=vAt=4t，物体B做匀减速直线运动减速过程的位移为：，设物体B速度减为零的时间为t1，有，在t1=5 s的时间内，物体B的位移为xB1=25 m，物体A的位移为xA1=20 m，由于xB1+s＞xA1，故物体A未追上物体B；5 s后，物体B静止不动，故物体A追上物体B的总时间为。故选B。
二解答题：
1、10s 25m 100m 10m/s
解析：①两车速度相等时相距最远，设所用时间为t


最远距离
②设汽车追上自行车所用时间为t／
　此时
　

此时距停车线距离

　此时汽车速度
　
2、16m 24m
解析：（1）设两人奔跑的最大速度为v0，则在乙从静止开始全力奔跑达到最大速度的过程，以及乙接棒时奔跑达到最大速度的80%的过程，分别应用匀变速直线运动速度—位移关系式，有 ，
由以上两式可解得乙在接力区须奔出的距离
??。
? （2）设乙在距甲为x0处开始起跑，到乙接棒时跑过的距离为，所经历的时间为t，则甲、乙两人在时间t内通过的位移有如下关系：
??，
又由平均速度求位移的公式可知乙的位移
，
从而由以上两式可解得
3、（1）10s；（2）2s
解析：（1）由，甲车停止运动的时间
（2）时间内，甲车的位移
乙车的位移
两车相距
（3）相遇时间
4、
解析： 要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与B车速度相等。设A、B两从相距s到A车追上B车时，A车的位移为xA，末速度为vA，所用时间为t；B车的位移为xB，末速度为vB，运动过程如图所示。

现用四种方法求解。
解法一（利用位移公式和速度公式求解）：
对A车有 ，。
对B车有 ，。
两车有 ，
追上时，两车刚好不相撞的条件是 ，
由以上各式联立解得 。
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是
解法二（利用速度公式和速度—位移关系式求解）：
两车刚好不相撞的临界条件是：即将追上时两车速度相等。设此速度为v，A车追上B车前，A车运动的时间为 ，
B车运动的时间为 ,
因为，所以 ，
即 ?。 ①
A车的位移 ，
B车的位移 ，
因为，所以 。
即 。 ②
①②两式联立解得 。
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是
。
解法三（利用判别式解）：
由解法一可知，即
，
整理得 ?。
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式＜0时，t无实数解，即两车不相撞。
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是
。
解法四（用速度图象解）：
如图所示，先作A、B两车的速度图象。
设经过时间t两车刚好不相撞，则对A车有
，
对B车有 ，
由以上两式联立解得 。
经时间t两车的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用速度图象中阴影部分的面积表示，由速度图象可知 。
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是
。
5、5s
解析 : 这里提供两种解法。
解法一（公式法）：
甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为
m/sm/s=2 m/s，
此时离甲车停止运动的时间 s=0.5s。
根据题设条件，乙车在0.5s内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时，甲车已经停止了运动。
甲车停止时离车站A的距离m=12.5m，
设乙走完这段路程所需的时间为t，由得
s=5s。
故乙车出发后经过5s追上甲车。
解法二（图象法）：
甲、乙两车运动的速度图象如图所示。
乙车追上甲车的条件是它们离开车站A的距离相等，即图线和时间轴所围的面积相等，加速度可用直线的斜率表示。由图象可得
，t=5s。
故乙车出发后经过5s追上甲车。
6、
解析：由题设知，轿车在司机发现目标到开始刹车的反应时间里做匀速直线运动，刹车后开始减速运动直至停下来。设轿车的最大速度为v
在反应时间内轿车行驶距离
刹车后至停下来轿车行驶距离
要保证轿车行驶安全必要求：
即
代入数值可解得：
7、
解析：（1）司机发现前方危险在反应时间内前进的距离x1=v0t=12.5 m
刹车时间前进的距离 ，
司机发现危险到客车停止运动，客车通过的最短路程x=x1+x2=75 m＜90 m，经验可行。
（2）若客车超载，司机发现前方危险在反应时间内前进的距离x3=v1t＇=60 m，刹车时间前进的距离，司机发现危险到客车停止运动，客车通过的最短路程x＇=x3+x4=260 m＞144 m，
在多种违章情况下，经验不可靠。所以要按交通规则行驶，经验才可行。
8、
解析：人从C到B用时，10s内汽车内A到B且停在B点。设汽车从A经开始刹车，有 ①
②
③
联立①②③式得：。