江苏省如皋、如东2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学试题（含答案）

2019～2020学年度第一学期期中考试
高三数学（如皋、如东）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，则 ▲ ．
2．若，则的实部为 ▲ ．
3．已知，则 ▲ ．
4．已知函数，若，则实数 ▲ ．
5．双曲线的渐近线方程为，且过点，则其焦距为 ▲ ．
6．已知为直线上一点，且，则的最小值为 ▲ ．
7．若函数（）的图象关于直线对称，则θ ( ▲ ．
8．在棱长为6的正方体中，为棱的中点，
为线段上一点，则三棱锥的体积为 ▲ ．
9．已知，，若,
则实数的最大值为 ▲ ．
10．已知等差数列的公差为，且成等比数列，则该等比数列的公比为 ▲ ．

11．如图，已知点是曲线上一个动点，
则的最小值是 ▲ ．

12．已知，则 ▲ ．
13．已知椭圆的离心率，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则的值为 ▲ ．
14．已知函数，曲线上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求角；
（2）若，的面积 ，求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在直四棱柱中，已知底面是菱形，
点是侧棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
17．（本小题满分14分）
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，S8＝22．
（1）求an；
（2）若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列，其中k1＝1，且
k1＜k2＜…＜kn＜…．当q取最小值时，求{ kn}的通项公式．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、．设直线倾斜角的余弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（3）若圆的面积为，求圆的方程．
19．（本小题满分16分）
如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池
及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心
为，半径为，矩形的一边在上，矩形
的一边在上，点在圆周上，在直径上，
且，设．若每平方米游泳池的
造价与休息区造价之比为.
（1）记游泳池及休息区的总造价为，求的表达式；
（2）为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值.
20．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；
（3）当时，若直线是函数图象有两个交点，求实数的取值范围.
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵．
（1）求；
（2）求．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆的圆心坐标为，半径为2． 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设与圆的交点为， 与轴的交点为，求．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
已知，记．
（1）；
（2）求．
23．（本小题满分10分）
已知Sn＝1＋＋＋…＋．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn＝，试比较与Tn的大小，并给出证明．
答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，则 ▲ ．
2．【选做题】若，则的实部为 ▲ ．
1
【选做题】若为奇函数，则的值为 ▲ ．
1
3．已知，则 ▲ ．
4
4．已知函数，若，则实数 ▲ ．
-1
5．【选做题】双曲线的渐近线方程为，且过点，则其焦距为 ▲ ．
7
【选做题】若为角的终边上一点，则 ▲ ．
7
6．已知为直线上一点，且，则的最小值为 ▲ ．
7．若函数（）的图象关于直线对称，
则θ ( ▲ ．
8．在棱长为6的正方体中，为棱的中点，
为线段上一点，则三棱锥的体积为 ▲ ．
18
9．已知，，若,则实数的最大值为 ▲ ．
10．已知等差数列的公差为，且成等比数列，则的公比为 ▲ ．
2
11．如图，已知点是曲线上一个动点，
则的最小值是 ▲ ．

12．已知，则 ▲ ．
13．【选做题】已知椭圆的离心率，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则的值为 ▲ ．
【选做题】已知，若正实数满足，则的值为 ▲ ．
14．已知函数，曲线上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求角；
（2）若，的面积 ，求的值．
解：（1）由，及余弦定理得
，又，得．…………………………………………4分
因为△ABC为锐角三角形，所以，故． ………………………………6分
（2）因为，，根据余弦定理得
， ………………………………………………………………8分
又，解得 ．……① ………………………………10分
所以，即．
又，所以 ……② ………………………………………………………12分
根据①②得，，所以，的值为1． …………………………14分
（本小题求出酌情给分）
16．（本小题满分14分）
如图，在直四棱柱中，已知底面是菱形，
点是侧棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
（1）证明：连结交于点，连结，（答题纸上图中不作辅助线扣1分）
因为四边形是正方形，对角线交于点 ，
所以点是的中点，所以．
又因为点是侧棱的中点，所以．……………2分
在中，,
所以．……………4分
又因为，，（少扣2分）
所以平面．……………6分
（2）证明：连结.
因为为直四棱柱，（此条件不写扣4分）
所以侧棱垂直于底面，
又平面，所以．……………8分
因为底面是菱形，所以．……………10分
又，,所以．……………12分
又因为,所以，因为，
所以，（此结论不证明扣2分）
所以．……………14分
17．（本小题满分14分）
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，S8＝22．
（1）求an；
（2）若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{ak}，其中k1＝1，且
k1＜k2＜…＜kn＜…．当q取最小值时，求{ kn}的通项公式．
解：（1）设等差数列的公差为，则
，解得，…………2分
所以. …………6分
（2）法一：因为{ak}为公比q的等比数列，，所以
又，所以，即，所以.
又k1＝1，k1+1＝2，
所以是公比q的等比数列，所以. …………12分
因为，所以，且公比q为正整数，解得，
所以最小的公比．
所以． （未说明公比为正整数扣1分） …………14分
法二：因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，
若，则由，得，此时，由，
解得，所以，同理； …………8分
若，则由，得，此时，
另一方面，，所以，即， …………12分
所以对任何正整数，是数列的第项．所以最小的公比．（不检验扣2分）
所以．………………………………………………………………14分
18．（本小题满分16分）
【选做题】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、．设直线倾斜角的余弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（3）若圆的面积为，求圆的方程．
解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），（不设焦距直接写出扣2分）
因为直线的倾斜角的余弦值为，所以，………2分
于是，即，所以椭圆E的离心率 ……4分
（2）由可设，，则，
于是的方程为：，…………………………………………6分
故的中点到的距离， ……………………8分
又以为直径的圆的半径，即有，所以直线与以为直径的圆相切．
因为圆与以线段为直径的圆关于直线对称，
所以直线与圆相切． ………………………………………………………10分
（3）由圆的面积为知，圆半径为2，从而， …………………………12分
设的中点关于直线：的对称点为，
则解得． ……………………14分
所以，圆的方程为．…………………………………………16分.
【选做题】已知函数（）．
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）当时，求函数在上的最大值；
（3）对任意，恒有，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
若，则，令，解得；
若，则恒成立，所以.
所以，函数的单调增区间为.……………………4分
（2）若，当时，，.
令，解得或.………………………………………………6分
列表如下：
0
当时，函数取得最大值.……………………10分
（3）由（1）（2）得，.
①当即时，，即.
因为在上单调递增，所以当时，取得最小值.
所以，，解得.又，所以.…………………………12分
②当即时，
当时，，即.
与矛盾.
所以，实数的取值范围为．…………………16分
19．（本小题满分16分）
如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池
及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心
为，半径为，矩形的一边在上，矩形
的一边在上，点在圆周上，在直径上，
且，设．若每平方米游泳池的
造价与休息区造价之比为.
（1）记游泳池及休息区的总造价为，求的表达式；
（2）为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值.
解：（1）设游泳池每平方米的造价为，休息区每平方米造价为，则（不设扣2分）
在矩形中，，
所以，.……4分
在矩形中，，
所以，.……6分
所以，.……10分
（2）由（1）得，
，
因为，所以.
令，解得.因为，所以.………………12分
列表如下：
0
极大值
…………14分
所以，当时，总造价取得极大值，即最大值为.……16分
（不列表需写出导函数正负性及原函数单调性，缺一扣4分）
20．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；
（3）当时，若直线是函数图象有两个交点，求实数的取值范围.
解：（1）由，得，则
，
因为在上单调递增，所以，，，……2分
即，，令，在上单调递增，且能取到上一切实数，所以，故实数的取值范围为．……4分
（2）设切点为，则切线方程为，
因为直线是函数图象的切线，
所以，，所以，……6分
令， ，则
当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以．
所以的最小值为．………………8分
（3）当时，令，则．
当时，，在上单调递增，在上至多一个零点，…10分
故．令方程的大根为，则．
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
因为在上有两个零点，所以，
解得（构造函数，根据单调性求解），
所以．…………12分
取，则，
根据零点存在性定理，在上至少有一个零点，又在上单调递增，
所以在上只有一个零点．………14分
同理，在上只有一个零点．
综上，实数的取值范围为.………………16分
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵．
（1）求；
（2）求．
解：（1）因为，所以.…………4分
（2）因为，，所以.…………8分
所以.…………10分
（用逆变换求解逆矩阵需写出原变换及其逆变换）
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆的圆心坐标为，半径为2． 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设与圆的交点为， 与轴的交点为，求．
解：（1）设为圆上任意一点，则
圆的圆心坐标为，半径为2，得圆过极点，
所以，，即，
所以圆的极坐标方程为．…………4分
（2）由（1）得，即，
根据，得
，即．（*）…………6分
设,将直线的参数方程代入（*），整理得
所以，．……10分
（本小题用普通方程求解酌情给分）
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
已知，记．
（1）；
（2）求．
解： 由得.
同理，，…………………… 4分
（2）由（1）得，当时，，
当时，；
当时，，
当时，.………………………………6分
所以，
…………………………8分
所以，
． ………………………10分
23．（本小题满分10分）
已知Sn＝1＋＋＋…＋．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn＝，试比较与Tn的大小，并给出证明．
解：（1）S2＝1＋＝，S4＝1＋＋＋＝． ……………………………… 2分
（2）当n＝1，2时，T1＝＝，T2＝＝，所以，＝Tn．
当n＝3时，T3＝＝，S8＝1＋＋＋＋＋＋＋＝＞＝T3．
于是，猜想，当n≥3时，＞Tn． ……………………………… 4分
下面用数学归纳法证明：
①当n=3时，结论成立；
②假设n＝k(k≥3)时结论成立，即＞Tk；
当n＝k＋1时，＝＋＋＋…＋
＞＋（＋＋…＋）＋（＋＋…＋）
＞＋×2k－1＋×2k－1＝＋＋＝，
当n＝k＋1时，＞Tn．
根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n，都有＞Tn．
综上，当n＝1，2时，=Tn；当n≥3时，＞Tn． ……………………………… 10分