北师大版选修4-5第1章 1.2 不等式的性质学案

1.2　不等式的性质
学习目标　1.理解不等式的性质，并掌握不等式的性质.2.能运用不等式的性质证明简单的不等式、解决不等式的简单问题．
知识点　不等式的性质
(1)性质1(对称性)：如果a>b，那么b如果bb.
(2)性质2(传递性)：如果a>b，b>c，那么a>c.
(3)性质3(加法性质)：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
①移项法则：如果a＋b>c，那么a>c－b.
②推论(加法法则)：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(4)性质4(乘法性质)：如果a>b，c>0，那么ac>bc；
如果a>b，c<0，那么ac①推论1(乘法法则)：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
②推论2(平方法则)：如果a>b>0，那么a2>b2.
③推论3(乘方法则)：如果a>b>0，那么an>bn(n为正整数)．
④推论4(开方法则)：如果a>b>0，那么>(n为正整数).
类型一　不等式的性质的应用
例1　判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若a＞b＞0，则＜；
(2)若c＞a＞b＞0，则＞；
(3)若＞，则ad＞bc；
(4)设a，b为正实数，若a－＜b－，则a＜b.
解　(1)正确．因为a＞b＞0，所以ab＞0.
两边同乘以，得a·＞b·，得＞.
(2)正确．因为c－a＞0，c－b＞0，
且c－a＜c－b，所以＞＞0.
又a＞b＞0，所以＞.
(3)不正确．因为＞，所以－＞0，
即＞0，
所以或
即ad＞bc且cd＞0或ad＜bc且cd＜0.
(4)正确．因为a－＜b－，且a＞0，b＞0，所以a2b－b＜ab2－a?a2b－ab2－b＋a＜0?ab(a－b)＋(a－b)＜0?(a－b)(ab＋1)＜0，所以a－b＜0，即a＜b.
反思与感悟　(1)利用不等式的性质判断命题真假的技巧
①要判断一个命题为真命题，必须严格证明；
②要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果．其中，举反例在解选择题时用处很大．
(2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项
①倒数法则要求两数同号；
②两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；
③同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．
跟踪训练1　下列命题中正确的是________．(填序号)
①若a＞b＞0，c＞d＞0，那么＜；
②若a，b∈R，则a2＋b2＋5≥2(2a－b)；
③若a，b∈R，a＞b，则a2＞b2；
④若a，b∈R，a＞b，则＞.
答案　②④
解析　对于①，∵c＞d＞0，∴＞＞0，
∴＞＞0，∴＞，∴①不对；
对于②，a2＋b2＋5－(4a－2b)＝a2－4a＋b2＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2＋5≥2(2a－b)，∴②对；
对于③，由于a＞b不能保证a，b同时大于0，
∴a2＞b2不成立，∴③不对；
对于④，∵c2＋1＞0，∴由a＞b，可得＞，
∴④正确．
类型二　利用不等式的性质证明不等式
例2　已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜.
证明　∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，
∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜.
又0＜b＜a，
∴＜.
引申探究
1．若本例条件不变，求证：＜.
证明　∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0，
∴0＜＜.
∴＞＞0，
∴＞，即－＞－，
∴＜.
2．若本例条件不变，求证：＜.
证明　∵a＞b＞0，
∴＞＞0.
又∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0，
∴＞＞0.
∴＋＞＋＞0，
即＞＞0，
∴＞＞0，
∴＜.
反思与感悟　进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．
跟踪训练2　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥a＋b.
证明　＋－(a＋b)＝＋＝＋＝(a－b)(a＋b)·＝(a－b)2(a＋b)，
∵a＞0，b＞0，∴(a－b)2(a＋b)≥0，即＋≥a＋b.
类型三　利用不等式的性质求代数式范围
例3　设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，
即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b，
于是，得
解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即5≤f(－2)≤10.
反思与感悟　(1)应用同向不等式相加性质时不能多次使用，否则范围将会扩大．
(2)整体代换思想，是解这类问题常用的方法．
跟踪训练3　已知①－1≤a＋b≤1，②1≤a－b≤3，求3a－b的取值范围．
解　设3a－b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b.
∴∴
由①＋②×2，得－1＋2≤(a＋b)＋2(a－b)≤1＋3×2，
即1≤3a－b≤7.
1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是(　　)
A．a2＜b2 B．ab＜a2
C.＋＞2 D．|a|－|b|＝|a－b|
答案　A
解析　∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，
即(－a)2＞(－b)2，∴a2＞b2.
2．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
答案　C
解析　∵q?p，∴p是q的必要条件．但p?q，∴p不是q的充分条件．
3．若a＜0，－1＜b＜0，则有(　　)
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
答案　D
解析　∵－1＜b＜0，
∴b＜b2＜1.
∵a＜0，
∴ab＞ab2＞a.
4．下列命题中不正确的是(　　)
A．若＞，则a＞b
B．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞
D．若a＞b＞0，ac＞bd，则c＞d
答案　D
解析　只有当c＞0且d＞0时，才有a＞b＞0，ac＞bd?c＞d.
5．设角α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是(　　)
A．－π＜α－β＜0 B．－π＜α－β＜π
C．－＜α－β＜0 D．－＜α－β＜
答案　A
解析　∵－＜α＜β＜，
∴－＜－β＜且α－β＜0，∴－π＜α－β＜0.
1．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要做到有根有据，严格按照不等式的性质进行．
2．利用不等式的性质证明不等式，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证，则严格按不等式的性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．
一、选择题
1．已知a＞0＞b，c＜d＜0，给出下列不等式：
(1)ad＞bc；(2)a－c＞b－d；(3)a(d－c)＞b(d－c)．其中成立的个数是(　　)
A．0B．1C．2D．3
答案　C
解析　因为a＞0，b＜0，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，故(1)不成立；
因为a＞b，c＜d＜0，所以－c＞－d，所以a－c＞b－d，故(2)成立；
由c＜d＜0，知d－c＞0，又a＞0＞b，所以a(d－c)＞b(d－c)，故(3)成立．
2．已知实数a，b，c同时满足下列条件：
(1)abc>0；(2)ab＋bc＋ca<0；(3)a>b>c.
有下列判断：
①a>0；②b>0；③c>0；④bc>0.
其中正确的个数为(　　)
A．1B．2C．3D．4
答案　B
解析　∵abc>0，a>b>c，
∴a>0，bc>0.
又∵ab＋bc＋ca<0，∴b<0，c<0.
3．已知a，b为实数，则“a>b>1”是“<”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　∵a>b>1，∴a－1>b－1>0，
∴<.
取a＝－1，b＝2，有<，
但不满足a>b>1.
∴“a>b>1”是“<”的充分不必要条件，故选A.
4．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A.＜ B.＞
C．a＞b2 D．a2＞2b
答案　C
解析　∵－1＜b＜1，∴b2＜1＜a.
5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若＜＜，则(　　)
A．c＜a＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
答案　A
解析　由＜＜，可得＋1＜＋1＜＋1，即＜＜.又a，b，c∈(0，＋∞)，所以a＋b＞b＋c＞c＋a.由a＋b＞b＋c，可得a＞c；由b＋c＞c＋a，可得b＞a，于是有c＜a＜b.
6．设a，b∈(－∞，0)，则“a＞b”是“a－＞b－”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　C
解析　a，b∈(－∞，0)，
∵a＞b，∴＜，即－＞－，
∴a－＞b－，
∴“a＞b”是“a－＞b－”成立的充分条件．
又由a－＞b－?a－b＋－＞0?(a－b)＋＞0?(a－b)·＞0?a－b＞0?a＞b.
∴“a＞b”又是“a－＞b－”成立的必要条件．
故“a>b”是“a>>b－”成立的充要条件．
故“a>b”是“a－>b－”成立的充要条件．
二、填空题
7．已知a，b，c是实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小关系是__________．
答案　a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
解析　∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
8．若a，b，c均为实数，下列四个条件：
①ac2>bc2；②>；③a3>b3；④a－c>b－c.
其中能成为a>b的充分不必要条件的序号是________．
答案　①
解析　①由ac2>bc2?a>b，反之不成立，
∴ac2>bc2是a>b的充分不必要条件；
②∵>，∴－＝>0.
∵c的符号不能确定，
∴a，b的大小关系不确定；
③a3>b3是a>b的充要条件；
④a－c>b－c是a>b的充要条件．
9．在以下四个条件中：
①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.
其中能使<成立的序号为________．
答案　①②④
解析　①∵b>0>a，∴>0>；
②∵0>a>b，∴<<0；
③∵a>0>b，∴>0>；
④∵a>b>0，∴>>0.
10．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作为条件，剩下一个作为结论，则可组成________个正确命题．
答案　3
解析　若ab＞0，bc＞ad成立，
不等式bc＞ad两边同除以ab，得＞，
即ab＞0，bc＞ad?＞；
若ab＞0，＞成立，＞两边同乘以ab，
得bc＞ad，即ab＞0，＞?bc＞ad；
若＞，bc＞ad成立，由于－＝＞0，
又bc－ad＞0，故ab＞0，所以＞，bc＞ad?ab＞0.
综上，任两个作为条件都可推出第三个成立，故可组成3个正确命题．
三、解答题
11．已知a>b>c>d>0，且＝，求证：a＋d>b＋c.
证明　∵＝，∴＝.
∴(a－b)d＝(c－d)b.
又∵a>b>c>d>0，∴a－b>0，c－d>0，b>d>0且>1，
∴＝>1，∴a－b>c－d，即a＋d>b＋c.
12．已知a，b，c是正实数，求证：＋＋≥＋＋.
证明　由2＋2＋2≥0，
得2－2≥0.
所以＋＋≥＋＋.
13．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴＜.
又∵e＜0，∴＞.
四、探究与拓展
14．设x，y∈R，判定下列各题中，命题A与命题B的充分必要关系．
(1)命题A：命题B：
(2)命题A：命题B：
解　(1)若a>0且b>0，由实数的性质可知，a＋b>0，且ab>0.若ab>0?a，b同号，又a＋b>0?a，b同正，即a>0，b>0.所以命题A是命题B的充要条件．
(2)因为?x＋y>4，xy>4.(不等式的性质)
反之不然，如反例，当x＝6，y＝1时，有x＋y＝6＋1＝7>4，xy＝6>4，但x>2，y<2，即x>2，且y>2不成立，所以命题A是命题B的充分不必要条件．
15．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
解　设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
∴
解得λ1＝，λ2＝－.
∴－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，
∴－≤a＋3b≤1，即a＋3b的取值范围为.