北师大版选修4-5第1章 1.1 实数大小的比较学案

§1　不等式的性质
1.1　实数大小的比较
学习目标　1.理解实数大小比较的理论依据.2.会进行两个实数大小的比较．
知识点一　作差法比较大小
思考　你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？
答案　作差，与0比较．
梳理　作差法
(1)比较两个实数的大小的基本方法是通过“作差”，确定差的符号．
(2)依据：a>b?a－b>0；
aa＝b?a－b＝0.
知识点二　作商法比较大小
思考　对于两个均为正数的数a，b，除作差外，还可用其他方法比较大小吗？
答案　还可以作商与1比较．
梳理　作商法
(1)对于a>0，b>0的两个数，求，比较与1的大小，从而确定a，b的大小，这种方法称为“作商法”．
(2)依据：
当a>b，b>0时，
>1?a>b；
＝1?a＝b；
<1?a类型一　作差比较大小
例1　(1)已知a＞b＞0，比较与的大小；
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解　(1)－＝＝.
因为a＞b＞0，
所以a－b＞0，b(b＋1)＞0，
所以＞0，
所以＞.
(2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
因为x＞1，
所以x－1＞0.
又因为2＋＞0，
所以(x－1)＞0，
所以x3－1＞2x2－2x.
反思与感悟　比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—得出结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．
跟踪训练1　已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，试比较m和n的大小．
解　m－n＝＋－＝－＝＝，
∵x，y均为正数，
∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n.(当x＝y时，等号成立)
类型二　作商比较大小
例2　设m，n是两个不相等的正数，试比较mmnn与mnnm的大小．
解　∵mmnn>0，mnnm>0，
∴＝mm－nnn－m＝m－n.
①当m>n时，>1且m－n>0，
∴m－n>1.
∴mmnn>mnnm.
②当m∴m－n>1，
∴mmnn>mnnm.
综上所述，mmnn>mnnm.
反思与感悟　(1)对于两个均大于0且多为因式积的形式，通常用作商法比较大小．
(2)步骤为：作商→变形化简→与1比较→得出结论．
跟踪训练2　比较1816与1618的大小．
解　＝16＝1616＝16.
∵∈(0,1)，∴16<1.
∵1618>0，∴1816<1618.
类型三　比较大小的实际应用
例3　甲、乙两辆车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行驶了一半路程，用速度b行驶了另一半的路程．若a≠b，试判断哪辆车先到．
解　设甲车用时为t1，乙车用时为t2，
A，B两地距离为s，则
对于甲：s＝·a＋·b，得t1＝；
对于乙：t2＝＋＝.
那么t1－t2＝－＝－<0，
故甲车先到．
反思与感悟　对于实际问题，首先应理清其数学模型，就本题而言，实质就是比较大小问题，谁用的时间少，谁先到．
跟踪训练3　在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________________．
答案　[10,30]
解析　设矩形的另一条边长为t，
由相似知识得＝，
∴t＝40－x，
∴(40－x)x≥300，
即x2－40x＋300≤0，
解得10≤x≤30.
1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
答案　D
解析　y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝－1.5＝21.5.
∵函数y＝2x是增函数，且1.8>1.5>1.44，
∴y1>y3>y2.
2．已知logm2A．1C．0答案　C
解析　∵logm2＝，logn2＝，
∴<<0，
∴log2n3．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是________．
答案　ab≠1或a≠－2
解析　∵x＞y，
∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5
＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，
∴ab≠1或a≠－2.
4．若x∈R，比较x2＋3与2x的大小．
解　∵x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，
∴x2＋3>2x.
5．已知x≠0，比较(x2－1)2与x4＋x2＋1的大小．
解　(x2－1)2－(x4＋x2＋1)＝x4－2x2＋1－x4－x2－1＝－3x2，
∵x≠0，∴－3x2<0，
即(x2－1)2－(x4＋x2＋1)<0，
∴(x2－1)2比较大小的常用方法及步骤
1．作差法：a≥b?a－b≥0，a≤b?a－b≤0.
一般步骤是作差→变形→判号→定论．
变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．
2．作商法：当a>0，b>0时，把比较a，b的大小转化为比较与1的大小关系，此即为求商比较法．
理论依据是不等式的性质：
若a>0，b>0，则≥1?a≥b，≤1?a≤b.
一般步骤为作商→变形→与1比较大小→定论．
一、选择题
1．若a，b∈R，则log(a2＋1)>log(b2＋1)是aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　D
解析　由log(a2＋1)>log(b2＋1)，
得a2＋1∴a22．设a≥b>0，P＝3a3＋2b3，Q＝3a2b＋2ab2，则P与Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．PC．P≥Q D．P＝Q
答案　C
解析　P－Q＝3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)
＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)
＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，
所以a－b≥0，a2≥b2>0.
所以3a2≥3b2＞2b2，
即3a2－2b2>0.
从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，
即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，
即P≥Q.
3．若a，b是任意实数且a>b，则(　　)
A．a2>b2 B.<1
C．lg(a－b)>0 D.a<b
答案　D
解析　∵f(x)＝x是减函数且a>b，
∴f(a)4．实数a，b，c，d满足条件：①a0；③(a－d)(b－d)<0，则有(　　)
A．aC．a答案　D
解析　∵(a－c)(b－c)>0，
∴a，b在c的同侧．
∵(a－d)(b－d)<0，
∴a，b在d的异侧．
∵a∴a，b，c，d标在数轴上，只有下面一种情况：
由此得出c5．已知a＞－1且b＞－1，则p＝＋与q＝＋的大小关系是(　　)
A．p＞q B．p＜q
C．p≥q D．p≤q
答案　C
解析　p－q＝＋＝＝≥0.
6．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
答案　B
解析　∵1则1<∴0则lg＝lge即c∴(lge)2同时c－b＝lge－(lge)2＝lge(1－2lge)＝lge·lg>0.
∴c>b，故选B.
二、填空题
7．已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是________．
答案　M＞N
解析　M－N＝＋＝.
∵0＜a＜，∴ab＜1，即1－ab＞0，
∴M－N＞0，∴M＞N.
8．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式：
①＞；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2.
其中不成立的是________．(填序号)
答案　①②③
解析　①中，－＝＝.
因为a－b＞0，a(a－1)的符号不确定，①不成立；
②中，取a＝2，b＝－2，则(a＋b)2＝0，(b＋1)2＞0，②不成立；③中，取a＝2，b＝－2，则(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立．
9．比较大小：log________log.
答案　>
解析　log－log＝－＝－＝＝>0，
所以log>log.
10．已知a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系为________．
答案　a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1
解析　(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)
＝a1b1－a1b2＋a2b2－a2b1
＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)
＝(a1－a2)(b1－b2)．
∵a1≤a2，b1≤b2，
∴a1－a2≤0，b1－b2≤0.
∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，
∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.
三、解答题
11．设a≠b，比较a2＋3b2与2b(a＋b)的大小．
解　(a2＋3b2)－2b(a＋b)＝a2＋3b2－2ab－2b2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
因为a≠b，所以a－b≠0，
从而(a－b)2>0.
于是a2＋3b2>2b(a＋b)．
12．当a≠0时，比较(a2＋a＋1)(a2－a＋1)与(a2＋a＋1)·(a2－a＋1)的大小．
解　∵(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝[(a2＋1)＋a][(a2＋1)－a]
＝(a2＋1)2－2a2＝a4＋2a2＋1－2a2＝a4＋1，
(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝[(a2＋1)＋a][(a2＋1)－a]
＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1，
∴(a2＋a＋1)(a2－a＋1)－(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝(a4＋1)－(a4＋a2＋1)＝－a2.
∵a≠0，∴a2>0，
∴－a2<0，
∴(a2＋a＋1)(a2－a＋1)<(a2＋a＋1)(a2－a＋1)．
13．已知a>b>0，比较与的大小．
解　∵－＝(a－b)＝.
∵a>b>0，∴a－b>0，
∴>0.∴－>0，
即>.
四、探究与拓展
14．设函数f(x)＝xsinx，x∈，若f(x1)>f(x2)，则x与x的关系为________．
答案　x>x
解析　由题意，得f(x)＝f(|x|)，且当x∈时，
f(|x|)为增函数，又由f(x1)>f(x2)，
得f(|x1|)>f(|x2|)，
故|x1|>|x2|，于是x>x.
15．若x＞y＞0，比较与的大小关系．
解　－＝＝＝.
因为x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，
x2＋1＞1，所以＞0.
所以＞＞0.故＞.