北师大版选修4-5第1章 2.2 绝对值不等式的解法学案

2.2　绝对值不等式的解法
学习目标　1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解．
知识点一　|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
思考1　|x|≥2说明实数x有什么特征？
答案　因为x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2，所以x≥2或x≤－2.
思考2　若|2x－3|≤5，求x的取值范围．
答案　{x|－1≤x≤4}．
梳理　(1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法
①|x|＜a?
②|x|＞a?
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c，
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
知识点二　|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
思考　如何去掉|x－a|＋|x－b|的绝对值符号？
答案　采用零点分段法．即令|x－a|＋|x－b|＝0，得
x1＝a，x2＝b，(不妨设a＜b)
|x－a|＋|x－b|＝
梳理　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．
(2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．
(3)通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．
特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法．
类型一　|ax＋b|≤c(c>0)与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法
例1　解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.
解　(1)|5x－2|≥8?5x－2≥8或5x－2≤－8?x≥2或x≤－，
∴原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
由①得x－2≤－2或x－2≥2，
∴x≤0或x≥4，
由②得－4≤x－2≤4，
∴－2≤x≤6.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}．
反思与感悟　|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)当c＞0时，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，
|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为?；
(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为?.
跟踪训练1　解下列不等式：
(1)3≤|x－2|＜4；
(2)||x－1|－4|＜2.
解　(1)方法一　原不等式等价于
由①得x－2≤－3或x－2≥3，∴x≤－1或x≥5，
由②得－4＜x－2＜4，∴－2＜x＜6.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
方法二　3≤|x－2|＜4?3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3?5≤x＜6或－2＜x≤－1.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
(2)||x－1|－4|＜2?－2＜|x－1|－4＜2?2＜|x－1|＜6
????－5＜x＜－1或3＜x＜7.
∴不等式||x－1|－4|＜2的解集为{x|－5＜x＜－1或3＜x＜7}．
类型二　|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
例2　解关于x的不等式：|3x－2|＋|x－1|＞3.
解　方法一　分类(零点分段)讨论法
|3x－2|＝0，|x－1|＝0的根，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代数式|3x－2|＋|x－1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．
①因为当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＝2－3x＋1－x＝3－4x，
所以当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＞3?3－4x＞3?x＜0.
因此，不等式组的解集为{x|x＜0}．
②因为当＜x＜1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，
所以当＜x＜1时，|3x－2|＋|x－1|＞3?x＞2.
因此，不等式组的解集为?.
③因为当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，
所以当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＞3?4x－3＞3?x＞.
因此，不等式组的解集为.
于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，
即{x|x＜0}∪?∪＝.
方法二　构造函数f(x)＝|3x－2|＋|x－1|－3，则原不等式的解集为{x|f(x)＞0}．
f(x)＝
作出函数f(x)的图像，如图．
它是分段线性函数，函数的零点是0和.
由图像可知，当x∈(－∞，0)∪时，有f(x)＞0.
所以原不等式的解集是(－∞，0)∪.
反思与感悟　|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．
跟踪训练2　解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
解　方法一　|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到对应点－7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]．
方法二　令x＋7＝0，x－2＝0，得x＝－7，x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，∴x＜－7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，即9≤3不成立，
∴x∈?.
∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
方法三　将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，
构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，
即y＝
作出函数的图像，由图像可知，
当x≤－1时，y≤0，
即|x＋7|－|x－2|－3≤0，
所以，原不等式的解集为(－∞，－1]．
类型三　含绝对值不等式的恒成立问题
例3　已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)∵当a＝－3时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，
∴f(x)≤6等价于|2x＋1|＋|2x－3|－6≤0，
令g(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|－6，
令|2x＋1|＝0，|2x－3|＝0，得x1＝－，x2＝.
∴g(x)＝
作出y＝g(x)的图像，如图，
∴f(x)≤6的解集为[－1,2]．
(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|≥|(2x＋1)－(2x＋a)|＝|a－1|，
∴f(x)min＝|a－1|.
要使f(x)＞a恒成立，只需|a－1|＞a成立即可．
由|a－1|＞a，
得a－1＞a或a－1＜－a，
∴a＜，
∴a的取值范围是.
引申探究
若f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|且f(x)＜a恒成立，求a的取值范围．
解　∵f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|≤|(2x＋1)－(2x＋a)|＝|a－1|，∴f(x)max＝|a－1|.
∵f(x)＜a恒成立，
∴|a－1|＜a，
当a>0时，－a，
当a＝0时，|－1|<0，无解，当a<0时，无解，
∴a的取值范围是(，＋∞)．
反思与感悟　当不等式的解集为R或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题．f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a.
跟踪训练3　已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.根据以下情形分别求出m的取值范围．
(1)若不等式有解；
(2)若不等式的解集为R；
(3)若不等式的解集为?.
解　方法一　因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差，
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
则(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1，m的取值范围为(－∞，1).
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．
方法二　由||x＋2|－|x＋3||≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为?，则m∈[1，＋∞).
1．不等式|x＋1|＞3的解集是(　　)
A．{x|x＜－4或x＞2} B．{x|－4＜x＜2}
C．{x|x＜－4或x≥2} D．{x|－4≤x＜2}
答案　A
解析　|x＋1|＞3，则x＋1＞3或x＋1＜－3，
因此x＜－4或x＞2.
2．不等式＞0的解集为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　原不等式???
3．不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的所有实数解的集合是(　　)
A．(－3,2) B．(－1,3)
C．(－4,1) D．(－，)
答案　C
解析　|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离之和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到与－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x＋1|＋|x＋2|＜5的解集是(－4,1)．
4．已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|＜m有解，则m的取值范围是(　　)
A．m＞1B．m≥1C．m＞2D．m≥2
答案　C
解析　∵|x－5|＋|x－3|≥|(x－5)－(x－3)|＝2，∴m＞2.
5．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.
解　①当x≤－时，
|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x－(3x＋2)≥8
?－5x≥9?x≤－，∴x≤－.
②当－＜x＜时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x＋3x＋2≥8?x≥5，
∴x∈?.
③当x≥时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8?5x＋1≥8?5x≥7?x≥，∴x≥.
∴原不等式的解集为∪.
1．解不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c
(1)当c≥0时，|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可．
(2)当c＜0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为?，|ax＋b|≥c的解集为R.
2．解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即
①令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；
②把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
④这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．
一、选择题
1．不等式x2－|x|－2＜0(x∈R)的解集是(　　)
A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞1}
答案　A
解析　当x≥0时，不等式化为x2－x－2＜0，
解得－1＜x＜2，所以0≤x＜2；
当x＜0时，不等式化为x2＋x－2＜0，
解得－2＜x＜1，所以－2＜x＜0.
故原不等式的解集为{x|－2＜x＜2}．
2．若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是(　　)
A．0B．1C．－1D．2
答案　B
解析　∵|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，
∴|a－2|≥a，即a－2≥a或a－2≤－a，
∴a≤1.
3．设函数f(x)＝则使f(x)≥1的自变量x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]∪[0,4] B．(－∞，－2]∪[0,1]
C．(－∞，－2]∪[1,4] D．[－2,0]∪[1,4]
答案　A
4．若关于x的不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1,2]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案　A
解析　∵|x＋3|－|x－1|≤|4|＝4，
∴a2－3a≥4，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4.
5．当|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是(　　)
A．a＞－2 B．0＜a≤－2
C．a≥－2 D．以上都不正确
答案　B
解析　由|x－2|＜a，得a>0，且－a＋2＜x＜a＋2，
由|x2－4|＜1，得＜x＜或－＜x＜－.
∴即0＜a≤－2，
或无解．
二、填空题
6．不等式≥1成立的充要条件是________．
答案　|a|＞|b|
解析　≥1?≥0
?(|a|－|b|)·[|a＋b|－(|a|－|b|)]≥0(|a|≠|b|)．
而|a＋b|≥|a|－|b|，
∴|a＋b|－(|a|－|b|)≥0.
∴|a|－|b|＞0，即|a|＞|b|.
7．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________.
答案　－3
解析　∵|ax－2|＜3，∴－1＜ax＜5.
当a＞0时，－＜x＜，与已知条件不符；
当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
当a＜0时，＜x＜－，
又不等式的解集为，故a＝－3.
8．已知函数f(x)＝|x－a|＋a，g(x)＝4－x2，若存在x0∈R使g(x0)≥f(x0)，则a的取值范围是________．
答案　
解析　若存在x0∈R使g(x0)≥f(x0)，
则x2＋|x－a|＋a－4≤0有解．
当x≥a时，x2＋x－4≤0，显然有解；
当x＜a时，x2－x＋2a－4≤0，
由Δ＝1－4(2a－4)≥0，
解得a≤.
9．已知函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．
答案　[－1,1]
解析　由题意可知，|2x－1|＋x＋3≤5，
即|2x－1|≤2－x，
所以或
解得≤x≤1或－1≤x＜，
故x的取值范围是{x}．
10．已知集合A＝{x||x－4|＋|x－1|＜5}，B＝{x|a＜x＜6}且A∩B＝(2，b)，则a＋b＝_____.
答案　7
解析　|x－4|＋|x－1|表示数轴上一点到1,4两点的距离之和，根据1,4之间的距离为3，可得到与1,4距离和为5的点是0,5，所以|x－4|＋|x－1|<5的解集是{x|011．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a＝________.
答案　－4或8
解析　①当a≤2时，
f(x)＝
②当a＞2时，
f(x)＝
由①②可得f(x)min＝f(－)＝|－＋1|＝3，
解得a＝－4或8.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式|g(x)|＜5；
(2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．
解　(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，
即－7＜|x－1|＜3，得不等式的解集为{x|－2＜x＜4}．
(2)因为对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}．
又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，
所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5.
故实数a的取值范围为[－1，＋∞)∪(－∞，－5]．
13．已知a＋b＝1，对任意的a，b∈(0，＋∞)，＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，求x的取值范围.
解　因为a＞0，b＞0且a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9，
当且仅当a＝，b＝时，等号成立，
故＋的最小值为9，
因为对任意的a，b∈(0，＋∞)，
使＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，
所以|2x－1|－|x＋1|≤9，
当x≤－1时，2－x≤9，
所以－7≤x≤－1；
当－1＜x＜时，－3x≤9，
所以－1＜x＜；
当x≥时，x－2≤9，所以≤x≤11.
综上所述，x的取值范围是[－7,11]．
四、探究与拓展
14．(2018·全国Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝5－|x＋1|－|x－2|＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，
且当(x＋a)(x－2)≤0时等号成立．
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
15．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)画出函数y＝f(x)的图像；
(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
解　(1)当x≤1时，f(x)＝－(x－1)－(x－2)＝－2x＋3；
当1＜x≤2时，f(x)＝(x－1)－(x－2)＝1；
当x＞2时，f(x)＝(x－1)＋(x－2)＝2x－3.
所以f(x)＝
图像如图所示．
(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)，
得≥f(x)．
又因为≥＝2，
所以2≥f(x)，
解不等式2≥|x－1|＋|x－2|，得≤x≤.
即实数x的取值范围是