北师大版选修4-5第1章 5 不等式的应用学案

§5　不等式的应用
学习目标　1.了解不等式应用的广泛性.2.能用不等式解决一些生产及生活中的问题．
知识点一　平均值不等式
写出平均值不等式
(1)≥(a，b∈R＋)，当且仅当a＝b时，“＝”号成立．
(2)≥(a，b，c∈R＋)，当且仅当a＝b＝c时，“＝”号成立．
知识点二　不等式的应用
1．不等式的应用大致分为两类
(1)利用不等式研究函数的性质，求参数的取值范围．
(2)实际问题中建立不等式(或函数)模型，解决简单的实际问题．
2．解不等式应用问题的四个步骤
(1)审题，必要时画出示意图．
(2)建立不等式模型，即根据题意找出常数量和变量之间的不等关系．
(3)利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号．
(4)作出问题结论．
类型一　列不等式解实际应用题
例1　某学校为提高办学质量，决定为各班教室配置一台液晶电视机，经过学校研究，决定分别从两种质量相当的电视机品牌中选择功能相同的电视机型号．据了解，甲型号电视机为家电下乡政府补贴品牌，每台享受13%政府补贴优惠政策(即按原价的87%出售)，乙型号电视机的优惠条件是：不超过20台(含20台)时，每台按原价出售，超过20台时，超过的台数，每台按原价的77%出售．如果这两种型号的电视机原价相同，你觉得应该选择哪种型号的电视机更合算？
解　设学校要购买x(x∈N＋)台电视机，甲、乙两种型号的电视机售价总额分别为y甲元、y乙元，一台电视机的售价为a元，则y甲＝0.87ax，
y乙＝
当x≤20时，显然选甲型号电视机更合算．
当x>20时，y甲－y乙
＝0.87ax－[20a＋(x－20)×0.77a]
＝0.87ax－20a－0.77ax＋15.4a
＝0.1ax－4.6a.
故当x<46时，选甲型号电视机更合算；
当x＝46时，两种型号电视机售价总额相同；
当x>46时，选乙型号电视机更合算．
反思与感悟　利用不等式表示不等关系时，要注意以下两点
(1)根据题意，利用引入的变量表示出其他所涉及的变量．
(2)要准确地使用不等号，同时注意实际情况对表示各量的字母取值范围的限制．
跟踪训练1　某校园内有一边长为80m，宽为60m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，则花卉带宽度(单位：m)的范围是________________．
答案　(0,10]
解析　设花卉带的宽度为xm，则中间草坪的长为(80－2x)m，宽为(60－2x)m.
根据题意知(80－2x)(60－2x)≥×80×60，
即4x2－140×2x＋×80×60≥0，
整理得x2－70x＋60×10≥0，
即(x－60)(x－10)≥0，
所以0故所求花卉带宽度(单位：m)的范围为(0,10]．
类型二　实际应用问题中的最值问题
例2　如图，将边长为1的正六边形铁皮(图①)的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图②)．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．
　
解　设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0＜x＜1)，则OB1＝B1B2＝x，如图．
由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，
得OA1＝A1A2＝1，
∴A1B1＝OA1－OB1＝1－x.
作B1C1⊥A1A2于点C1，
在Rt△A1C1B1中，∠B1A1C1＝60°，则容器的高B1C1＝A1B1sin 60°＝(1－x)．于是容器的容积为V＝f(x)＝S·h＝·(1－x)＝x2(1－x)(0＜x＜1)．
则f(x)＝x2(1－x)＝·x·x(2－2x)≤·3＝，
当且仅当x＝x＝2－2x，即x＝时，Vmax＝.
故当正六棱柱容器的底面边长为时，最大容积为.
反思与感悟　利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤
(1)理解题意，设变量．设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)验证相等条件，得出结论．
跟踪训练2　已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，求当r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？
解　设内接圆柱的体积为V，
又R2＝r2＋，
∴r2＝R2－，
∴V＝πr2h＝πh＝(4R2－h2)·h
＝＝≤＝πR3，
当且仅当4R2－h2＝2h2，即h＝R时，等号成立，此时r＝R.
∴当h＝R，r＝R时，内接圆柱的体积最大，为πR3.
1．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v1，下山(原路返回)的速度为v2(v1≠v2)，乙上下山的速度都是(v1＋v2)(两人途中不停歇)，则甲、乙两人上下山所用时间t1，t2的关系为(　　)
A．t1>t2 B．t1C．t1＝t2 D．不能确定
答案　A
解析　设s为上山路程，则下山路程也为s.
t1＝＋>2＝，
t2＝＝<＝，∴t1>t2.
2．某城市为控制用水计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0A．先提价p%，再提价q%
B．先提价q%，再提价p%
C．两次都提价%
D．两次都提价%
答案　C
解析　由题可知，A，B提价均为(1＋p%)(1＋q%)－1，
C提价2－1，
D提价2－1.
由<<2－1<2－1，
故提价最多的方案是C.
3．汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0A．大B．小C．相等D．不能确定
答案　B
解析　设单程为s，则上坡时间t1＝，下坡时间t2＝，
平均速度为v＝＝＝<.
4．设甲、乙两地的距离为s，船在流水中在甲地和乙地来回行驶一次的平均速度为v1(v1>0)，已知船在静水中的速度为v2(v2>0)，试比较v1和v2的大小．
解　设水流速度为v(v>0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t＝＋＝，
∴平均速度v1＝＝.
∵v1>0，v2>0，
∴＝＝＝1－2<1，
∴v1利用不等式解决实际应用问题时应注意：
(1)要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值．
(2)分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量或不等式)．
(3)利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x取值范围的制约．
一、选择题
1．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0A．18B．27C．20D．16
答案　A
解析　平均销售量y＝＝＝t＋＋10≥18.
当且仅当t＝，即t＝4∈[1,30]时等号成立，
即平均销售量的最小值为18.
2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是(　　)
A．V≥π B．V≤π
C．V≥π D．V≤π
答案　B
解析　设圆柱的底面半径为r，
则高h＝＝3－2r.
∴V＝πr2(3－2r)＝πr·r(3－2r)≤π3＝π.
3．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意程度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为，则此人应选(　　)
A．1楼 B．2楼
C．3楼 D．4楼
答案　C
解析　此人不满意程度越小，楼层越好．
设y＝n＋，易知函数y＝x＋的递减区间为(0,2)，递增区间为[2，＋∞)．
当n＝2时，y＝6；当n＝3时，y＝5.
因此选3楼不满意度最小．
4．若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为(　　)
A．2B．3C．4D．5
答案　D
解析　因为a＋b＝1，所以α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝1＋1＋＋1＋≥5，
当且仅当a＝b＝时“＝”成立，
故选D.
5．若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－8]∪[0，＋∞) B．(－∞，－4]
C．[－8,4) D．(－∞，－8]
答案　D
解析　由9x＋(4＋a)·3x＋4＝0可得出a＝－－4≤－2－4＝－8，当且仅当3x＝2时“＝”成立，
∴a∈(－∞，－8]．
6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．0B．1C.D．3
答案　B
解析　由题意＝＝≤＝1，
当且仅当x＝2y时等号成立，
此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，
当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
二、填空题
7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________．
答案　
解析　设直角三角形的两直角边长分别为a，b，
则＋1＝a＋b＋≥2＋.
解得ab≤.
所以直角三角形面积S＝ab≤.
8．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N＋)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了________天．
答案　800
解析　日平均耗资为＝＋＋
≥2＋＝80＋，
当且仅当＝，即n＝800时取等号．
9．某产品的总成本c(万元)与产量x(台)之间满足的关系式为c＝300＋20x－x2，其中0答案　15
解析　由题意可知300＋20x－x2≤25x，解得x≥15或x≤－20(舍去)．
10．周长为20的矩形绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为________．
答案　50π
解析　设矩形的长为x，则宽为10－x，
则圆柱的侧面积S＝2πx·(10－x)(0∵x>0,10－x>0，∴S＝2πx·(10－x)≤2π·2＝2π×25＝50π，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时取等号．
11．制造一个容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，当圆柱形桶的底面半径为________米，高为________米时，所使用的材料成本最低．
答案　　
解析　设此圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，
则底面面积为πr2，侧面积为2πrh，
设原料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.
∵桶的容积为，∴πr2h＝，
∴rh＝，∴y＝30πr2＋π＝10π≥10π×3，
当且仅当3r2＝，即r＝时等号成立，此时h＝.
三、解答题
12．某小区要建一座八边形的休闲区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4 200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺草坪，造价为每平方米80元．
(1)设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的关系式；
(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值．
解　(1)设DQ长为y米，
则x2＋4xy＝200，
∴y＝，
∴S＝4200x2＋210×4xy＋80×2y2
＝38000＋4000x2＋.
(2)∵x>0，∴S≥38000＋2
＝118000，
当且仅当x＝时，等号成立，
∴Smin＝118000.
13．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求；
(2)现有两个奖励函数模型：①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
解　(1)公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10,1 000]时，①f(x)是增函数；
②f(x)≤恒成立；
③f(x)≤9恒成立．
(2)①对于函数模型f(x)＝＋2，
当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数，
则f(x)max＝f(1000)＝＋2＝＋2<9，
所以f(x)≤9恒成立．
因为函数＝＋在[10,1 000]上是减函数，
所以max＝＋>，
即f(x)≤不恒成立，
故该函数模型不符合公司要求．
②对于函数模型f(x)＝4lgx－3，
当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数，
则f(x)max＝f(1000)＝4lg1000－3＝9，
所以f(x)≤9恒成立．
设g(x)＝4lgx－3－，
则g′(x)＝－.
当x≥10时，g′(x)＝－≤＝<0，
所以g(x)在[10,1 000]上是减函数，
从而g(x)≤g(10)＝－1<0，
所以4lgx－3－<0，
即4lgx－3<，
所以f(x)≤恒成立，
故该函数模型符合公司要求．
四、探究与拓展
14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
答案　
解析　由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
又f(x)是偶函数，
所以由f(2|a－1|)＞f(－)＝f()知，2|a－1|＜，
即|a－1|＜，解得＜a＜.
15．等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，{}是公比为64的等比数列．
(1)求an与bn；
(2)证明：＋＋…＋<.
(1)解　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有 ①
由(6＋d)q＝64知，q为正有理数，又由q＝知，d为6的因数1,2,3,6之一，
解①得d＝2，q＝8.
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)证明　Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝(1－＋－＋－＋…＋－)
＝(1＋－－)<.