北师大版选修4-5第1章 3 第1课时 平均值不等式学案

§3　平均值不等式
第1课时　平均值不等式
学习目标　1.理解并掌握平均值不等式的特征结构.2.了解平均值不等式的推广.3.会用平均值不等式解决相关问题．
知识点一　二元平均值不等式
思考　回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件．
答案　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.
梳理　(1)重要不等式
定理1：对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
(2)二元平均值不等式
①定理2：对任意两个正数a，b，有≥(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
②定理2的应用：对两个正实数x，y，
(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；
(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值．
知识点二　三元平均值不等式
思考　类比二元平均值不等式：≥(a＞0，b＞0)，请写出a，b，c∈R＋时，三元平均值不等式．
答案　≥.
梳理　(1)定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．
(2)定理4：对任意三个正数a，b，c，有≥(当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．
(3)平均值不等式的推广
对于n个正数a1，a2，…，an(n≥2)，把数值，分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值，且有≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时取“＝”号.
类型一　平均值不等式成立的条件
例1　给出以下说法：①任意x>0，lgx＋≥2；②任意x∈R，ax＋≥2(a>0且a≠1)；③任意x∈，tanx＋≥2；④任意x∈R，sinx＋≥2.其中正确的是(　　)
A．③ B．③④
C．②③ D．①②③④
答案　C
解析　在①④中，lg x∈R，sin x∈[－1,1]，
不能确定lg x>0，sin x>0，因此①④错误；
在②中，ax>0，ax＋≥2＝2，
当且仅当x＝0时取等号，故②正确；
在③中，当x∈时，tan x>0，
有tan x＋≥2，
当且仅当x＝时取等号，故③正确．故选C.
反思与感悟　平均值不等式成立的条件
(1)各项均为正数．
(2)当且仅当各项均相等时，“＝”才能成立．
跟踪训练1　设a，b为实数，且ab>0，下列不等式中一定成立的个数是(　　)
①＋≥2；②a＋b≥2；③＋≥；④＋≥a＋b.
A．1B．2C．3D．4
答案　B
解析　∵ab>0，∴＋≥2＝2，①成立；
当a，b<0时，②不成立；
＋≥，③成立；
当a＝－1，b＝－2时，④不成立．
因此，①③成立，故选B.
类型二　用平均值不等式证明不等式
例2　已知a，b，c∈R＋.求证：a3＋b3＋c3＋≥2.
证明　∵a3＋b3＋c3＋≥3abc＋≥2.
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
∴a3＋b3＋c3＋≥2.
引申探究
1．若本例条件不变，求证：＋＋≥3.
证明　＋＋＝＋－3
≥3＋3－3＝6－3＝3，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
2．若本例条件不变，求证：(a＋b＋c)≥9.
证明　∵当a，b，c∈R＋时，a＋b＋c≥3，
∴(a＋b＋c)≥9，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
3．若本例条件不变，求证：(a＋b＋c)·≥.
证明　∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3，
＋＋≥3，
∴(a＋b＋c)≥，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
反思与感悟　证明不等式的方法
(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均值不等式证明．
(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．
跟踪训练2　(1)已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；
(2)设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明　(1)a4＋b4≥2a2b2，
同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，
将以上三个不等式相加，得
a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
(2)∵当a>0，b>0时，a＋b≥2，
∴＋≥2＝2c.
同理＋≥2＝2b，
＋≥2＝2a.
将以上三不等式相加，得2≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
类型三　证明不等式的技巧——“1”的代换
例3　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.
证明　方法一　∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
∴＋＋≥9.
方法二　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∴＋＋≥9.
引申探究
1．若本例条件不变，求证：＋＋≥1.
证明　∵a2＋b2≥2ab，
∴≥2a－b.
同理，≥2b－c，≥2c－a.
∴＋＋≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1，
∴＋＋≥1，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
2．若本例条件不变，求证：a2＋b2＋c2≥.
证明　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2ab＋2bc＋2ac，
即2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，
∴2(a2＋b2＋c2)＋a2＋b2＋c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝(a＋b＋c)2＝1，
∴a2＋b2＋c2≥，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
3．若本例条件不变，求证：＋＋≥.
证明　∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.
又a，b，c∈R＋，∴≥|a＋b|＝(a＋b)．
同理，≥(b＋c)，≥(a＋c)．
三式相加，得＋＋≥(a＋b＋c)＝，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
反思与感悟　用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．
跟踪训练3　已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求证：≥8.
证明　∵a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥.
同理－1≥，－1≥.
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘
得≥··＝8，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号.
1．下列不等式中，正确的个数是(　　)
①若a，b∈R，则≥；
②若x∈R，则x2＋2＋>2；
③若x∈R，则x2＋1＋≥2；
④若a，b∈R＋，则≥.
A．0B．1C．2D．3
答案　C
解析　显然①不正确；③正确；对②虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋＞2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.
2．下列不等式的证明过程正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≥2＝2
B．若x＞0，则cosx＋≥2＝2
C．若x＜0，则x＋≤2＝4
D．若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－≤－2＝－2
答案　D
解析　对于A，a，b必须同号；对于B，cos x不一定大于0；对于C，由x＜0，
得x＋＝－≤－2＝－4.
对于D，由ab＜0，得＜0，＜0，所以＋＝－≤－2＝－2.
3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)
A．2B．3C．4D．5
答案　C
解析　∵＋＝1过点(1,1)，
∴＋＝1.
∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b＝2时，等号成立．
4．当x＞1时，函数y＝x＋的最小值是________．
答案　3
解析　因为x＞1，所以y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，
且x＞1，即x＝2时等号成立．故函数的最小值为3.
5．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：a2＋b2≥.
证明　∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，
∴a2＋b2≥，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
1．应用平均值不等式证明问题时，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷．对于二元平均值不等式有以下结论．
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤(a，b∈R＋)．
(3)＋≥2(a，b同号)．
(4)(a＋b)≥4(a，b∈R＋)．
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
2．对于三元平均值不等式有以下结论．
(1)abc≤3.
(2)a3＋b3＋c3≥3abc.
(3)≤≤≤.
上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为a＝b＝c.
一、选择题
1．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8B．4C．1D.
答案　B
解析　∵是3a与3b的等比中项，
∴3a·3b＝3a＋b＝3，∴a＋b＝1.
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.
2．“a＝1”是“对任意正数x,2x＋≥1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当a＝1时，2x＋＝2x＋≥2(当且仅当x＝时取等号)，所以a＝1?2x＋≥1(x＞0)．反过来，对任意正数x，如当a＝2时，2x＋≥1恒成立，所以2x＋≥1?a＝1.
3．设0A．a2＋b2 B．a＋b
C．2ab D．2
答案　B
4．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
答案　D
解析　由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，
当且仅当＝，即a＝4＋2，b＝2＋3时取等号．故选D.
5．设a>0，b>0，且a＋b≤4，则有(　　)
A.≥ B.≥2
C.＋≥1 D.≤
答案　C
解析　∵a＋b≥2，∴≤2，B错误；
∵0又a＋b≤4，∴≥，D错误；
∵≥，
∴＋≥1.
6．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
答案　D
解析　当a＝b时，a2＋b2＝2ab，
∴选项A不恒成立；
当a<0，b<0时，B，C不成立；
选项D中，与均大于0，
∴＋≥2，等号成立的条件是a＝b.故选D.
二、填空题
7．若a＞0，b＞0，a＋b＝1，则的最小值是________．
答案　9
解析　因为＝·＝·
＝＝＝1＋.
由a＞0，b＞0，a＋b＝1，得ab≤2＝，
所以≥4，所以≥9，
当a＝b＝时取等号．
8．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
答案　≤
解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，
∴(a－b)(b－c)≤2＝2，
当且仅当a－b＝b－c时取等号，
∴≤.
9．M＝，N＝()x+y，P＝，其中0答案　P解析　∵N＝()x+y＝，且3x≠3y，
∴M>N，又0∴P＝<＝()x＋y＝N，
∴P10．当x>0时，有不等式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，….受此启发，可以推广为x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝________.
答案　nn
解析　由题意有x＋＝＋＋…＋＋≥(n＋1)·＝n＋1，所以a＝nn.
三、解答题
11．已知x>0，y>0，求证：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
证明　由均值不等式，得
分别当且仅当x＝y2＝1，x2＝y＝1时，“＝”成立．
因此(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9＝9xy，
当且仅当x＝y＝1时，“＝”成立．
12．已知a>1,0证明　∵a>1,0∴logab<0，logba<0，
∴－logab>0，－logba＝－>0，
∴(－logab)＋≥2＝2，
当且仅当a＝时取等号，
∴logab＋logba≤－2.
13．设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
证明　∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴2≤a＋b＝1，
∴≤，≥4，
∴＋＋＝(a＋b)＋≥2·2＋4＝8，
当且仅当a＝b＝时取等号．
四、探究与拓展
14．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：(1)＋＋≤；
(2)＋＋＜6.
证明　(1)∵≥，∴2≤a＋b.
同理2≤a＋c,2≤b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号同时成立．
∴(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2
≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(a＋c)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)＝3，
∴＋＋≤，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
(2)∵＝≤，
且由于3a＋2≠1，
∴等号不成立，∴＜.
同理＜，＜，
∴＋＋＜[3(a＋b＋c)＋9]＝6.
15．设单位圆的内接三角形的面积为，三边长分别为a，b，c，且不全相等，求证：＋＋>＋＋.
证明　∵三角形的面积S＝absinC＝，＝2，
∴abc＝1，
∴＋＋＝＋＋＝bc＋ac＋ab＝
≥c＋a＋b＝(＋＋)＝＋＋，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∵三边长a，b，c不全相等，
∴＋＋>＋＋.
§3　平均值不等式
第1课时　平均值不等式
学习目标　1.理解并掌握平均值不等式的特征结构.2.了解平均值不等式的推广.3.会用平均值不等式解决相关问题．
知识点一　二元平均值不等式
思考　回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件．
答案　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.
梳理　(1)重要不等式
定理1：对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
(2)二元平均值不等式
①定理2：对任意两个正数a，b，有≥(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
②定理2的应用：对两个正实数x，y，
(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；
(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值．
知识点二　三元平均值不等式
思考　类比二元平均值不等式：≥(a＞0，b＞0)，请写出a，b，c∈R＋时，三元平均值不等式．
答案　≥.
梳理　(1)定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．
(2)定理4：对任意三个正数a，b，c，有≥(当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．
(3)平均值不等式的推广
对于n个正数a1，a2，…，an(n≥2)，把数值，分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值，且有≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时取“＝”号.
类型一　平均值不等式成立的条件
例1　给出以下说法：①任意x>0，lgx＋≥2；②任意x∈R，ax＋≥2(a>0且a≠1)；③任意x∈，tanx＋≥2；④任意x∈R，sinx＋≥2.其中正确的是(　　)
A．③ B．③④
C．②③ D．①②③④
答案　C
解析　在①④中，lg x∈R，sin x∈[－1,1]，
不能确定lg x>0，sin x>0，因此①④错误；
在②中，ax>0，ax＋≥2＝2，
当且仅当x＝0时取等号，故②正确；
在③中，当x∈时，tan x>0，
有tan x＋≥2，
当且仅当x＝时取等号，故③正确．故选C.
反思与感悟　平均值不等式成立的条件
(1)各项均为正数．
(2)当且仅当各项均相等时，“＝”才能成立．
跟踪训练1　设a，b为实数，且ab>0，下列不等式中一定成立的个数是(　　)
①＋≥2；②a＋b≥2；③＋≥；④＋≥a＋b.
A．1B．2C．3D．4
答案　B
解析　∵ab>0，∴＋≥2＝2，①成立；
当a，b<0时，②不成立；
＋≥，③成立；
当a＝－1，b＝－2时，④不成立．
因此，①③成立，故选B.
类型二　用平均值不等式证明不等式
例2　已知a，b，c∈R＋.求证：a3＋b3＋c3＋≥2.
证明　∵a3＋b3＋c3＋≥3abc＋≥2.
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
∴a3＋b3＋c3＋≥2.
引申探究
1．若本例条件不变，求证：＋＋≥3.
证明　＋＋＝＋－3
≥3＋3－3＝6－3＝3，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
2．若本例条件不变，求证：(a＋b＋c)≥9.
证明　∵当a，b，c∈R＋时，a＋b＋c≥3，
∴(a＋b＋c)≥9，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
3．若本例条件不变，求证：(a＋b＋c)·≥.
证明　∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3，
＋＋≥3，
∴(a＋b＋c)≥，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
反思与感悟　证明不等式的方法
(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均值不等式证明．
(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．
跟踪训练2　(1)已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；
(2)设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明　(1)a4＋b4≥2a2b2，
同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，
将以上三个不等式相加，得
a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
(2)∵当a>0，b>0时，a＋b≥2，
∴＋≥2＝2c.
同理＋≥2＝2b，
＋≥2＝2a.
将以上三不等式相加，得2≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
类型三　证明不等式的技巧——“1”的代换
例3　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.
证明　方法一　∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
∴＋＋≥9.
方法二　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝(a＋b＋c)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∴＋＋≥9.
引申探究
1．若本例条件不变，求证：＋＋≥1.
证明　∵a2＋b2≥2ab，
∴≥2a－b.
同理，≥2b－c，≥2c－a.
∴＋＋≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1，
∴＋＋≥1，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
2．若本例条件不变，求证：a2＋b2＋c2≥.
证明　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2ab＋2bc＋2ac，
即2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，
∴2(a2＋b2＋c2)＋a2＋b2＋c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝(a＋b＋c)2＝1，
∴a2＋b2＋c2≥，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
3．若本例条件不变，求证：＋＋≥.
证明　∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.
又a，b，c∈R＋，∴≥|a＋b|＝(a＋b)．
同理，≥(b＋c)，≥(a＋c)．
三式相加，得＋＋≥(a＋b＋c)＝，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
反思与感悟　用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．
跟踪训练3　已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求证：≥8.
证明　∵a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥.
同理－1≥，－1≥.
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘
得≥··＝8，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号.
1．下列不等式中，正确的个数是(　　)
①若a，b∈R，则≥；
②若x∈R，则x2＋2＋>2；
③若x∈R，则x2＋1＋≥2；
④若a，b∈R＋，则≥.
A．0B．1C．2D．3
答案　C
解析　显然①不正确；③正确；对②虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋＞2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.
2．下列不等式的证明过程正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≥2＝2
B．若x＞0，则cosx＋≥2＝2
C．若x＜0，则x＋≤2＝4
D．若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－≤－2＝－2
答案　D
解析　对于A，a，b必须同号；对于B，cos x不一定大于0；对于C，由x＜0，
得x＋＝－≤－2＝－4.
对于D，由ab＜0，得＜0，＜0，所以＋＝－≤－2＝－2.
3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)
A．2B．3C．4D．5
答案　C
解析　∵＋＝1过点(1,1)，
∴＋＝1.
∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b＝2时，等号成立．
4．当x＞1时，函数y＝x＋的最小值是________．
答案　3
解析　因为x＞1，所以y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，
且x＞1，即x＝2时等号成立．故函数的最小值为3.
5．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：a2＋b2≥.
证明　∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，
∴a2＋b2≥，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
1．应用平均值不等式证明问题时，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷．对于二元平均值不等式有以下结论．
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤(a，b∈R＋)．
(3)＋≥2(a，b同号)．
(4)(a＋b)≥4(a，b∈R＋)．
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
2．对于三元平均值不等式有以下结论．
(1)abc≤3.
(2)a3＋b3＋c3≥3abc.
(3)≤≤≤.
上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为a＝b＝c.
一、选择题
1．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8B．4C．1D.
答案　B
解析　∵是3a与3b的等比中项，
∴3a·3b＝3a＋b＝3，∴a＋b＝1.
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.
2．“a＝1”是“对任意正数x,2x＋≥1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当a＝1时，2x＋＝2x＋≥2(当且仅当x＝时取等号)，所以a＝1?2x＋≥1(x＞0)．反过来，对任意正数x，如当a＝2时，2x＋≥1恒成立，所以2x＋≥1?a＝1.
3．设0A．a2＋b2 B．a＋b
C．2ab D．2
答案　B
4．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
答案　D
解析　由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，
当且仅当＝，即a＝4＋2，b＝2＋3时取等号．故选D.
5．设a>0，b>0，且a＋b≤4，则有(　　)
A.≥ B.≥2
C.＋≥1 D.≤
答案　C
解析　∵a＋b≥2，∴≤2，B错误；
∵0又a＋b≤4，∴≥，D错误；
∵≥，
∴＋≥1.
6．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
答案　D
解析　当a＝b时，a2＋b2＝2ab，
∴选项A不恒成立；
当a<0，b<0时，B，C不成立；
选项D中，与均大于0，
∴＋≥2，等号成立的条件是a＝b.故选D.
二、填空题
7．若a＞0，b＞0，a＋b＝1，则的最小值是________．
答案　9
解析　因为＝·＝·
＝＝＝1＋.
由a＞0，b＞0，a＋b＝1，得ab≤2＝，
所以≥4，所以≥9，
当a＝b＝时取等号．
8．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
答案　≤
解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，
∴(a－b)(b－c)≤2＝2，
当且仅当a－b＝b－c时取等号，
∴≤.
9．M＝，N＝()x+y，P＝，其中0答案　P解析　∵N＝()x+y＝，且3x≠3y，
∴M>N，又0∴P＝<＝()x＋y＝N，
∴P10．当x>0时，有不等式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，….受此启发，可以推广为x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝________.
答案　nn
解析　由题意有x＋＝＋＋…＋＋≥(n＋1)·＝n＋1，所以a＝nn.
三、解答题
11．已知x>0，y>0，求证：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
证明　由均值不等式，得
分别当且仅当x＝y2＝1，x2＝y＝1时，“＝”成立．
因此(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9＝9xy，
当且仅当x＝y＝1时，“＝”成立．
12．已知a>1,0证明　∵a>1,0∴logab<0，logba<0，
∴－logab>0，－logba＝－>0，
∴(－logab)＋≥2＝2，
当且仅当a＝时取等号，
∴logab＋logba≤－2.
13．设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
证明　∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴2≤a＋b＝1，
∴≤，≥4，
∴＋＋＝(a＋b)＋≥2·2＋4＝8，
当且仅当a＝b＝时取等号．
四、探究与拓展
14．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：(1)＋＋≤；
(2)＋＋＜6.
证明　(1)∵≥，∴2≤a＋b.
同理2≤a＋c,2≤b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号同时成立．
∴(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2
≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(a＋c)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)＝3，
∴＋＋≤，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
(2)∵＝≤，
且由于3a＋2≠1，
∴等号不成立，∴＜.
同理＜，＜，
∴＋＋＜[3(a＋b＋c)＋9]＝6.
15．设单位圆的内接三角形的面积为，三边长分别为a，b，c，且不全相等，求证：＋＋>＋＋.
证明　∵三角形的面积S＝absinC＝，＝2，
∴abc＝1，
∴＋＋＝＋＋＝bc＋ac＋ab＝
≥c＋a＋b＝(＋＋)＝＋＋，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∵三边长a，b，c不全相等，
∴＋＋>＋＋.