北师大版选修4-5第1章 3 第2课时 平均值不等式求最值学案

第2课时　平均值不等式求最值
学习目标　1.理解用平均值不等式求最值所需条件.2.会用平均值不等式求最值.3.能用平均值不等式解决简单的实际问题．
知识点　利用平均值不等式求最值
思考1　不等式＋≥2＝2中的等号能否取到？为什么？
答案　不能取到．若等号能取到需满足＝，得x2＋2＝1，该方程无实数解，故所给不等式中的等号不能取到．
思考2　在利用三元平均值不等式求最值时要注意满足什么条件？
答案　①三个实数均为正数；②三个正数的和(或积)为定值；③三个正数可以相等．
梳理　(1)设x，y都是正数，则有
①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
②若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
(2)设x，y，z都是正数，则有
①若x＋y＋z＝S(和为定值)，则当x＝y＝z时，积xyz取得最大值；
②若xyz＝P(积为定值)，则当x＝y＝z时，和x＋y＋z取得最小值3.
类型一　利用平均值不等式求最值
命题角度1　二元平均值不等式的应用
例1　(1)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，求＋的最小值；
(2)若x＜0，求f(x)＝＋3x的最大值．
解　(1)＋＝×1＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，
∴＋的最小值是8.
(2)∵x＜0，∴－x＞0, 故f(x)＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时，等号成立，∴f(x)的最大值是－12.
反思与感悟　在应用平均值不等式求最值时，分以下三步进行
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值．
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正．
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决．
跟踪训练1　已知x＞0，y＞0，且x＋2y＋xy＝30，求x·y的最大值．
解　由x＋2y＋xy＝30，得y＝(0＜x＜30)，
所以x·y＝·x＝＝＝34－.
因为x＋2＋≥2＝16.可得xy≤18，当且仅当x＋2＝，即x＝6，代入y＝，得y＝3时，x·y取最大值18.
命题角度2　三元平均值不等式的应用
例2　(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值；
(2)求函数y＝x＋(x＞1)的最小值．
解　(1)∵1＜x＜，∴3－2x＞0，x－1＞0.
又y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3＝3＝，
当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，
即x＝∈时，ymax＝.
(2)∵x＞1，∴x－1＞0，y＝x＋
＝(x－1)＋(x－1)＋＋1
≥3＋1＝4，
当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，即x＝3时等号成立，∴ymin＝4.
反思与感悟　(1)利用三元平均值不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用平均值不等式，要注意当三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均值不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
跟踪训练2　(1)求函数y＝(1－3x)2·x的最大值；
解　y＝(1－3x)2·x＝·(1－3x)·(1－3x)·6x≤·3＝，
当且仅当1－3x＝1－3x＝6x，即x＝时，ymax＝.
(2)已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．
解　∵y＝x(1－x2)，∴y2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤3＝，
当且仅当2x2＝1－x2，即x＝时取“＝”号．
∴y≤，即y的最大值为.
类型二　解决恒成立问题
例3　(1)设0(2)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0,2)恒成立，则a的取值范围是____________．
答案　(1)　(2)[－2，＋∞)
解析　(1)显然a>0，由题意，不等式a≥恒成立，
则a必须大于或等于的最大值．
方法一　∵2＝＝1＋≤2，
当且仅当x＝y时，等号成立，
∴的最大值为，故a≥，∴a的最小值为.
方法二　∵＝＋，2＋2＝1，
∴令＝cosθ，＝sinθ，
则＝cosθ＋sinθ＝sin≤，
当θ＝时，等号成立，
∴的最大值为.
又∵a≥恒成立，
∴a≥，即a的最小值为.
(2)∵x2＋ax＋1≥0，x∈(0,2)，
∴a≥－对于一切x∈(0,2)成立．
∵x＋≥2＝2，
当且仅当x＝1时等号成立，
∴－≤－2，
∴a≥－2.
反思与感悟　解决某些含参数的不等式恒成立问题时，可通过分离参数的方法，使参数与变量分别位于不等式两端，从而将问题转化为求关于变量的函数的最值，进而通过平均值不等式求出参数的取值范围．
跟踪训练3　设x>0，y>0，且x＋y＝4，要使不等式＋≥m恒成立，求实数m的取值范围．
解　由x>0，y>0，且x＋y＝4，
得＝1，所以＋＝·＝＝≥＝，
当且仅当＝，且x＋y＝4，
即x＝，y＝时，等号成立，所以＋≥，
所以要使题中不等式恒成立，需m≤.
类型三　利用平均值不等式解决实际问题
例4　某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林大约损失60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？
解　设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则t＝＝，
y＝灭火材料、劳务津贴费＋车辆、器械、装备费＋森林损失费
＝125tx＋100x＋60(500＋100t)
＝125x·＋100x＋30000＋
＝1250＋100(x－2＋2)＋30000＋
＝31450＋100(x－2)＋
≥31450＋2＝36450，
当且仅当100(x－2)＝，
即当x＝27时，y有最小值36450.
故应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．
反思与感悟　利用平均值不等式解决实际问题的步骤
(1)分析题意，建立函数(或不等式)模型．
(2)化简整理使表达式出现平均值不等式的结构形式．
(3)考查是否具备利用平均值不等式求解的条件．
跟踪训练4　有一块边长为36cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？
解　剪下的三个全等的四边形如图所示，
设A1F1＝x cm，则AF1＝x cm，
所以A1B1＝F1F2＝(36－2x)cm，
所以V＝(36－2x)2·x＝(6－x)(6－x)·2x.
因为0＜x＜6，所以6－x＞0.
又(6－x)＋(6－x)＋2x＝12，
所以当6－x＝2x，即x＝2时，V有最大值，
这时V最大＝·(4)3＝864(cm3)．
因为＝x·x＝x2＝12(cm2)．
所以此时三个四边形面积之和等于36cm2.
1．设x＞0，则f(x)＝4－x－的最大值为(　　)
A．4－ B．4－
C．不存在 D.
答案　D
解析　∵x＞0，∴f(x)＝4－x－＝4－≤4－3＝4－＝，当且仅当＝＝，即x＝1时，等号成立．
2．已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是(　　)
A．y＝x2＋2x＋≥3＝6
B．y＝2＋x＋≥3＝3
C．y＝2＋x＋≥4
D．y＝x(1－x)(1－2x)≤3＝
答案　C
解析　A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)和abc≤3(a，b，c∈R＋)时都不能保证等号成立，最值取不到．
C中，∵x＞0，
∴y＝2＋x＋＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案　A
解析　由已知，得y1＝，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)，费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋
≥2＝8.
当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．
4．已知a，b为正实数，且a＋2b＝1，则＋的最小值为________．
答案　3＋2
解析　(a＋2b)＝1＋＋＋2≥2＋3＝2＋3，
当且仅当a＝b时取等号．
5．已知a，b为实数，且a＞0，b＞0，则的最小值为________．
答案　9
解析　因为a＞0，b＞0，
所以a＋b＋≥3＝3＞0，①
同理可得a2＋＋≥3＞0，②
由①②及不等式的性质，得≥3×3＝9，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
1．利用平均值不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据．
2．求形如y＝ax2＋(x＞0，a＞0，b＞0)的函数的最小值，关键是拆为＝＋，则y＝ax2＋＝ax2＋＋≥3＝.求形如y＝ax＋(x＞0，a＞0，bc＞0)的函数的最小值，关键是拆ax为＋，则y＝ax＋＝＋＋≥3＝.
一、选择题
1．函数y＝x2(1－5x)(0≤x≤)的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　y＝x2(1－5x)＝(1－5x)×≤×3＝，
当且仅当x＝1－5x，即x＝时等号成立．
2．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由logxy＝－2，得y＝，而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝，当且仅当＝，即x＝时取等号．
3．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则p的取值范围为(　　)
A．(－∞，－9) B．(－9,9]
C．(－∞，9] D．[9，＋∞)
答案　D
解析　要使＋≥16恒成立，必有p＞0.
又∵＋＝·(sin2x＋cos2x)
＝1＋p＋＋≥1＋p＋2＝(＋1)2，
∴(＋1)2≥16，即＋1≥4，
∴≥3，∴p≥9.
4．设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值为(　　)
A．2B．3C．4D．6
答案　C
解析　∵ab2＝4a××≤43＝43＝4×13＝4，当且仅当a＝＝1时，等号成立．即ab2的最大值为4.
5．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则(　　)
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D．z≤y≤x
答案　B
解析　由a，b，c∈R＋，易知≥，即x≥y.
又z2＝，x2＝，
且x2＝≤＝，∴x2≤z2，则x≤z，
因此z≥x≥y.
6．设x，y，z＞0且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是(　　)
A．(－∞，lg6] B．(－∞，3lg2]
C．[lg6，＋∞) D．[3lg2，＋∞)
答案　B
解析　∵6＝x＋y＋z≥3，∴xyz≤8，∴lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)≤lg8＝3lg2.
二、填空题
7．已知x＞0，y＞0且满足x＋y＝6，则使不等式＋≥m恒成立的实数m的取值范围为________．
答案　
解析　因为x＞0，y＞0，＋＝×＝≥×(10＋6)＝.
当且仅当＝时等号成立，又x＋y＝6，得x＝，y＝.所以m的取值范围是.
8．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
答案　
解析　∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·≥
3·3＝9，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，
故2(a＋b＋c)·≥9.
又a＋b＋c＝1，∴＋＋≥.
9．已知a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，则＋＋的最小值为________．
答案　9
解析　因为a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，
所以＋＋＝(a＋2b＋3c)·≥3·3＝9，
当且仅当a＝2b＝3c＝时取等号．
因此＋＋的最小值为9.
10．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
答案　2
解析　2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a，
∵x－a＞0，
∴2x＋≥3＋2a＝3＋2a，
当且仅当x－a＝，即x＝a＋1时取等号．
∴2x＋的最小值为3＋2a.
由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
三、解答题
11．已知a，b，c均为正数，证明a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
解　因为a，b，c均为正数，由平均值不等式，
得a2＋b2＋c2≥3(abc)， ①
＋＋≥3(abc)，
所以2≥9(abc). ②
故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥3(abc)＋9(abc)，
又3(abc)＋9(abc)≥2＝6， ③
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立，
即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立，
所以原不等式成立．
12．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.
(1)求＋＋的最小值；
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2＜9.
(1)解　因为x＋y＋z≥3＞0，＋＋≥＞0，
所以(x＋y＋z)≥9，则＋＋≥3，
当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立，故＋＋的最小值为3.
(2)证明　x2＋y2＋z2＝≥＝＝3.
当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立，
又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)＜0，所以3≤x2＋y2＋z2＜9.
13.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3m，AD＝2m.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度为多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；
(3)若AN的长度不小于6m，则当AN的长度为多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
解　(1)设AN＝xm(x＞2)，则ND＝(x－2)m.
∵＝，∴＝，∴AM＝，
∴·x＞32，
∴3x2－32x＋64＞0，
∴(3x－8)(x－8)＞0，∴2＜x＜或x＞8.
∴AN的长的范围为∪(8，＋∞)．
(2)由(1)知，S矩形AMPN＝＝
＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24.
当且仅当x＝4时取等号．∴当AN的长度为4m时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24m2.
(3)由(2)得，S矩形AMPN＝3(x－2)＋＋12(x≥6)，
令x－2＝t(t≥4)，
则S矩形AMPN＝3t＋＋12(t≥4)．
设f(t)＝3t＋＋12(t≥4)，
则f′(t)＝3－，当t≥4时，f′(t)＞0，
∴函数f(t)在[4，＋∞)上是增加的，
∴f(t)min＝f(4)＝27，此时x＝6.
∴若AN的长度不小于6m，则当AN的长度是6m时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27m2.
四、探究与拓展
14．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为________．
答案　8
解析　∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，
则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝8，当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立．
15．设0＜θ＜π，求函数y＝sin(1＋cosθ)的最大值．
解　y＝sin (1＋cos θ )＝2sin cos2＞0(0＜θ＜π)，
y取最大值当且仅当y2取最大值．
y2＝4sin2·cos4＝4sin2·cos2·cos2＝2·2sin2·cos2·cos2
≤2·3＝2×3＝，
当2sin2＝cos2时取等号，此时tan2＝，tan ＝±，而tan ＝在θ∈(0，π)上有解，则y＝，故ymax＝.