北师大版选修4-5第2章 3.2 数学归纳法的应用学案

3.2　数学归纳法的应用
学习目标　1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳—猜想—证明的思想方法．
知识点一　用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式
思考1　用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？
答案　(1)归纳奠基：验证初始值．
(2)归纳递推：在假设n＝k成立的前提下，证明n＝k＋1时问题成立．
思考2　证明不等式与证明等式有什么不同？
答案　证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”．
梳理　利用数学归纳法证明不等式
在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k时命题成立，推导n＝k＋1命题成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．
知识点二　贝努利不等式
对任意实数x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥1＋nx.
类型一　数学归纳法与放缩法结合证明不等式
例1　证明：1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋，n≥2)．
证明　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝2－＝，由于＜，因此命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，命题成立，
即1＋＋＋…＋＜2－.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋＝2－，即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N＋，n≥2都成立．
反思与感悟　在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一．
跟踪训练1　用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)．
证明　(1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边＜右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k>1，k∈N＋)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋则当n＝k＋1时，有1＋＋＋…＋＋＋＋…＋所以当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．
类型二　利用数学归纳法证明与数列有关的不等式
例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N＋)．
(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；
(2)证明：S＋S＋…＋S≤－(n≥1且n∈N＋)．
(1)解　是等差数列，证明如下：
S1＝a1＝，所以＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.
所以－＝2.故是以2为首项，2为公差的等差数列，且＝2n.
(2)证明　①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，
即S＋S＋…＋S≤－成立，
则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－
＝－·＜－·＝－.
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，对任意n∈N＋不等式都成立．
反思与感悟　(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础．
(2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明．
跟踪训练2　设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对一切正整数n，有1＜an＜.
证明　(1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即1＜ak＜.
当n＝k＋1时，由递推公式知，ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1.
同时，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜，
故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜ak＋1＜.
综合(1)(2)可知，对一切正整数n，都有1＜an＜.
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证(　　)
A．n＝1B．n＝2　C．n＝3D．n＝4
答案　C
解析　由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
2．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N＋)”时，S1等于(　　)
A.B.C.＋D.＋＋
答案　D
解析　S1＝＋＋＝＋＋.
3．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－.假设当n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________．
答案　＋＋…＋＋＞－
解析　当n＝k＋1时，目标不等式为＋＋…＋＋＞－.
4．用数学归纳法证明：2n＋2＞n2，n∈N＋.
证明　(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边＞右边；
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边＞右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边＞右边．
因此当n＝1,2,3时，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，
即2k＋2＞k2.
当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2(因为k≥3，所以k－3≥0，k＋1＞0)．
所以2k＋1＋2＞(k＋1)2.
故当n＝k＋1时，原不等式也成立．
由(1)(2)知，原不等式对任何n∈N＋都成立．
数学归纳法证明不等式的技巧
(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”，才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．
(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．
一、选择题
1．对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立．
则上述证法(　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案　D
解析　证明过程中，当n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.
2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)的第一步需证明(　　)
A．1<2－
B．1＋<2－
C．1＋＋<2－
D．1＋＋＋<2－
答案　C
3．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为(　　)
A．12B．13C．14D．不存在
答案　B
解析　令f(n)＝＋＋…＋，取n＝2,3,4,5等值，发现f(n)是单调递增的，所以[f(n)]min＞，由f(2)＞，得m的最大值为13.
4．对于正整数n，下列不等式不正确的是(　　)
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n＜1－0.1n D．0.1n≥1－0.9n
答案　C
解析　由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(n∈N＋，x≥－1)，得
A中，当x＝2时，即3n≥1＋2n成立；
B中，当x＝－0.1时，0.9n≥1－0.1n成立；
D中，当x＝－0.9时，0.1n≥1－0.9n成立．
∴0.9n＜1－0.1n不成立．
5．若不等式对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立．若该不等式对n＝2成立，则下列结论正确的是(　　)
A．该不等式对所有正整数n都成立
B．该不等式对所有正偶数n都成立
C．该不等式对所有正奇数n都成立
D．该不等式对所有自然数n都成立
答案　B
解析　因为当n＝2时，不等式成立，且该不等式对n＝k＋2也成立，所以该不等式对所有的正偶数n都成立．
6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时，等式成立，则还需要用归纳假设再证(　　)
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
答案　B
解析　偶数k的后继偶数为k＋2，故应再证n＝k＋2时等式成立．
二、填空题
7．证明：＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，当n＝2时，要证明的式子为________________．
答案　2＜1＋＋＋＜3
解析　当n＝2时，要证明的式子为2＜1＋＋＋＜3.
8．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取________．
答案　5
解析　n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.
9．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为________．
答案　M≥N
解析　当n＝1时，M＝a＋b＝N.
当n＝2时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab＜M.
当n＝3时，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b＜M.
归纳得M≥N.
10．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：
(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2.
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)可知，对任何n∈N＋不等式都成立．
其中错误的步骤为________．(填序号)
答案　(2)
解析　在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．
如当k＝2时，k2＜2k＋1.
三、解答题
11．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立．
证明　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，
左边>右边，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时，不等式成立，
即…>，
那么当n＝k＋1时，
…>·
＝＝>
＝＝，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
12．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n＞1，且n∈N＋)，求证：S2n＞1＋.
证明　(1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝＞1＋，即n＝2时命题成立．
(2)假设当n＝k(k>1，k∈N＋)时，命题成立，
即＝1＋＋＋…＋＞1＋.
当n＝k＋1时，＝1＋＋＋…＋＋＋…＋
＞1＋＋＞1＋＋＝1＋＋＝1＋，
故当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，对n∈N＋，n>1，＞1＋成立．
13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若不等式··…·≤对任意n∈N＋恒成立，试猜想出实数m的最小值，并证明．
解　(1)设数列{an}的公差为d(d>0)，
由题意可知a1·a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2，
解得d＝1或d＝0(舍去)．
所以an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)不等式等价于···…·≤，
当n＝1时，m≥；当n＝2时，m≥；
而>，所以猜想，m的最小值为.
下面证不等式···…·≤对任意n∈N＋恒成立．
证明：①当n＝1时，≤＝，命题成立．
②假设当n＝k时，不等式···…·≤成立，
当n＝k＋1时，···…··≤·，
只需证·≤，
只需证≤，
只需证≤2k＋2，
只需证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，
即证3≤4，显然成立．
所以，对任意n∈N＋，不等式···…·≤恒成立．
四、探究与拓展
14．求证：＋＋…＋＜(n∈N＋)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1，
左边＜右边，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，
即＋＋…＋＜成立，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＜＋，
只需证＋＜即可，
即证－＞，
即证＞＋，
即证(－1)＞，而当k≥1时上式显然成立，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，不等式对所有n∈N＋都成立．