北师大版选修4-5第2章 章末复习学案

章末复习
学习目标　1.梳理本章的重点知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式，并能够熟练应用.3.理解数学归纳法的基本思想，初步形成“归纳—猜想—证明”的思维模式．
1．柯西不等式
定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．
定理2：设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．即＝＝…＝时(规定ai＝0时，bi＝0)等号成立．
推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.
当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时等号成立．
2．排序不等式
定理1：设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc.
当且仅当a＝b(或c＝d)时取“＝”号．
定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组
a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn，
则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥
(乱序和)≥
(逆序和)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.
其中j1，j2，…，jn是1,2，…，n的任一排列方式，上式当且仅当a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)时取“＝”号．
3．贝努利不等式
对任何实数x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥1＋nx.
4．数学归纳法
数学归纳法原理是证明关于正整数n的命题．
步骤：(1)验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确．
(2)假设当n＝k时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确.
类型一　利用柯西不等式证明不等式
例1　已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：＋＋＋＞＋＋＋.
证明　由柯西不等式知，·
≥2，
于是＋＋＋≥＋＋＋.①
等号成立?＝＝＝?＝＝＝?a＝b＝c＝d.
又已知a，b，c，d不全相等，则①中等号不成立．
即＋＋＋＞＋＋＋.
反思与感悟　利用柯西不等式证题的技巧
(1)柯西不等式的一般形式为(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解．
(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会．
跟踪训练1　设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：2＋2＋2≥.
证明　∵左边＝(12＋12＋12)·
≥2＝2
＝2≥(1＋9)2＝.
等号成立的条件均为a＝b＝c＝，
∴原结论成立．
类型二　利用排序不等式证明不等式
例2　设A，B，C表示△ABC的三个内角弧度数，a，b，c表示其对边，求证：≥.
证明　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由排序不等式，得
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)
＝π(a＋b＋c)，得≥.
引申探究
若本例条件不变，求证：＜.
证明　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，
有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．
得＜.
反思与感悟　利用排序不等式证明不等式的策略
(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合．这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择．
(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．
跟踪训练2　设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10.
证明　由a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c，
于是a12≥b12≥c12，≥≥.
由排序不等式，得
＋＋≥＋＋＝＋＋.①
又因为a11≥b11≥c11，≤≤，
再次由排序不等式，得
＋＋≤＋＋.②
由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10.
等号成立的条件为a＝b＝c.
类型三　归纳—猜想—证明
例3　已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
(1)解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝
(2)证明　①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．
②假设当n＝k时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N＋)，
当n＝k＋1时，由已知条件和假设，有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2
＝5＋＝5×2k－1.
故当n＝k＋1时公式也成立．
由①②可知，对n≥2，n∈N＋均有an＝5×2n－2.
所以数列{an}的通项an＝
反思与感悟　利用数学归纳法解决探索型不等式的思路：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．
跟踪训练3　在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，并猜想an，bn的表达式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
(1)解　由条件可得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，
则a2＝2b1－a1＝6，b2＝＝9；
a3＝2b2－a2＝12，b3＝＝16；
a4＝2b3－a3＝20，b4＝＝25.
猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
(2)证明　①当n＝1时，由a1＝2，b1＝4知，结论正确．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论正确，
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，
bk＋1＝＝＝(k＋2)2.
即当n＝k＋1时结论正确．
由①②知猜想的结论正确．
类型四　利用柯西不等式或排序不等式求最值
例4　(1)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．
解　由柯西不等式，得
(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]
≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，
即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥，
当且仅当＝＝，
即x＝，y＝时，上式取等号．故x＝，y＝.
(2)设a1，a2，a3，a4，a5是互不相等的正整数，求M＝a1＋＋＋＋的最小值．
解　设b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一个排列，且b1＜b2＜b3＜b4＜b5.
因此b1≥1，b2≥2，b3≥3，b4≥4，b5≥5.
又1≥≥≥≥.
由排序不等式，得
a1＋＋＋＋≥b1＋＋＋＋
≥1×1＋2×＋3×＋4×＋5×＝1＋＋＋＋＝.
即M的最小值为.
反思与感悟　利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧
(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．
(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略．
跟踪训练4　已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．
解　＋＋≤＋＋
＝
≤＝.
故λ的取值范围是.
1．函数y＝2＋的最大值为(　　)
A.B．－C．－3D．3
答案　D
解析　y2＝(·＋1·)2
≤[()2＋12][()2＋()2]＝3×3＝9.
∴y≤3，y的最大值为3.
2．设x，y，m，n>0，且＋＝1，则u＝x＋y的最小值是(　　)
A．(＋)2 B.
C. D．(m＋n)2
答案　A
解析　根据柯西不等式，得x＋y＝(x＋y)≥2＝2，
当且仅当＝时，等号成立，
这时u取最小值(＋)2.
3．设a1，a2，…，an都是正数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，P＝ab＋ab＋…＋ab，Q＝a1＋a2＋…＋an，则P与Q的大小关系是(　　)
A．P＝Q B．P>Q
C．P答案　D
解析　设a1≥a2≥…≥an>0，
可知a≥a≥…≥a，a≥a≥…≥a.
由排序不等式，得
ab＋ab＋…＋ab≥aa＋aa＋aa，
即ab＋ab＋…＋ab≥a1＋a2＋…＋an.
∴P≥Q，当且仅当a1＝a2＝…＝an>0时等号成立．
4．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________________________．
答案　k3＋5k＋3k(k＋1)＋6
解析　(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3k2＋3k＋6
＝k3＋5k＋3k(k＋1)＋6.
5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋4＋…＋n2＝(n∈N＋)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上________________．
答案　(k2＋1)＋…＋(k＋1)2
解析　当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，所以增加了(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.
1．对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式．
2．参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想．
3．对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列．
4．数学归纳法是用来证明和正整数有关的命题的，要特别注意归纳奠基和归纳递推是必不可少的两个步骤．
一、选择题
1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则a的最大值是(　　)
A．1B．2C．3D．4
答案　B
解析　∵(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，
即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.
∴5－a2≥(3－a)2.
解得1≤a≤2.
验证：当a＝2时，等号成立．
2．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为(　　)
A.，， B.，，
C．1，， D．1，，
答案　B
解析　由柯西不等式，得(22＋32＋42)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋4z)2，
即x2＋y2＋z2≥.
当且仅当＝＝时，等号成立，
联立
可得x＝，y＝，z＝.
3．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为(　　)
A．4B．2C．1D.
答案　A
解析　＝·
≥2＝2＝22＝4.
4．已知a，b，x1，x2∈R＋，ab＝1，x1＋x2＝2，则M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)与4的大小关系是(　　)
A．M＞4B．M＜4　C．M≥4D．M≤4
答案　C
解析　M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]
≥[(x1＋x2)]2＝(x1＋x2)2＝4.
5．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n，不等式…＞成立时，当n＝2时验证的不等式是(　　)
A．1＋＞ B.＞
C.≥ D．以上都不对
答案　A
解析　当n＝2时，2n－1＝3,2n＋1＝5，∴1＋＞.
6．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立，其初始值至少应取(　　)
A．7B．8　C．9D．10
答案　B
解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.
二、填空题
7．设f(n)＝…，用数学归纳法证明f(n)≥3，在假设当n＝k时成立后，f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)＝f(k)·________________.
答案　
解析　f(k)＝…，
f(k＋1)＝…·，
∴f(k＋1)＝f(k)·.
8．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4·2n－1－2的第二步中，设当n＝k时结论成立，即ak＝4·2k－1－2，那么当n＝k＋1时，应证明等式_________成立．
答案　ak＋1＝4·2(k＋1)－1－2
9．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用含n的式子表示)．
答案　5　(n－2)(n＋1)
解析　f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，f(6)＝14，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
∴f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，f(6)－f(5)＝5，…，f(n)－f(n－1)＝n－1.
累加，得f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)＝(n－3)．
∴f(n)＝(n－2)(n＋1)．
10．如图，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形面积之和________空白部分的矩形面积之和．
答案　≥
解析　由题图可知，阴影部分的面积等于a1b1＋a2b2，而空白部分的面积等于a1b2＋a2b1，根据顺序和≥逆序和可知，答案为≥.
三、解答题
11．已知f(n)＝(2n＋7)×3n＋9(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(n)能被36整除．
证明　(1)当n＝1时，f(1)＝(2＋7)×3＋9＝36，能被36整除．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，f(k)＝(2k＋7)×3k＋9能被36整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]×3k＋1＋9＝(2k＋7)×3k＋1＋2×3k＋1＋9＝(2k＋7)×3k×3＋2×3k＋1＋9＝3[(2k＋7)×3k＋9]－27＋2×3k＋1＋9＝3[(2k＋7)×3k＋9]＋18(3k－1－1)．
由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，即当n＝k＋1时，f(k＋1)也能被36整除．
根据(1)和(2)可知，对一切正整数n，都有f(n)＝(2n＋7)×3n＋9能被36整除．
12．设x1，x2，…，xn∈R＋，且x1＋x2＋…＋xn＝1.求证：＋＋…＋≥.
证明　∵(n＋1)·
＝(1＋x1＋1＋x2＋…＋1＋xn)·
≥2＝(x1＋x2＋…＋xn)2＝1，
∴＋＋…＋≥.
13．已知a，b，c为正数，求证：≥abc.
证明　考虑到正数a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c>0，
则≤≤，bc≤ca≤ab，
由排序不等式知，顺序和≥乱序和，
∴＋＋≥＋＋，
即≥a＋b＋c.
∵a，b，c为正数，
∴两边同乘以，
得≥abc.
四、探究与拓展
14．上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是(　　)
A．f(n)＝n
B．f(n)＝f(n)＋f(n－2)
C．f(n)＝f(n)·f(n－2)
D．f(n)＝
答案　D
解析　当n≥3时，f(n)分两类，第一类，从第n－1层再上一层，有f(n－1)种方法；第二类，从第n－2层再一次上两层，有f(n－2)种方法，所以f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)，n≥3.
15．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，g(n)＝2(－1)(n∈N＋)．
(1)当n＝1,2,3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．
解　(1)f(1)＞g(1)，f(2)＞g(2)，f(3)＞g(3)．
(2)当n＝1时，f(1)＞g(1)；
当n＝2时，f(2)＞g(2)；
当n＝3时，f(3)＞g(3)．
猜想：f(n)＞g(n)(n∈N＋)，即1＋＋＋…＋＞2(－1)(n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)＞g(1)，
不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＞2(－1)．
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＞2(－1)＋＝2＋－2，
g(k＋1)＝2(－1)＝2－2，
所以只需证明2＋＞2，
即证2(k＋1)＋1＝2k＋3＞2，
即证(2k＋3)2＞4(k＋2)(k＋1)，
即证4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8，
此式显然成立．
所以，当n＝k＋1时不等式也成立．
综上①②可知，对n∈N＋，不等式都成立，
即1＋＋＋…＋＞2(－1)(n∈N＋)成立．