人教版高中物理必修一讲义资料，复习补习资料：30共点力作用下物体的平衡(基础)

求解平衡力的几种方法
【学习目标】
1.知道什么叫力的平衡，什么叫共点力作用下物体的平衡状态．
2.知道共点力作用下物体的平衡条件，并能用它处理简单的平衡问题．
【要点梳理】
要点一、共点力的平衡
1．共点力是作用于一点，或作用线相交于一点的几个力。
2、物体的平衡状态
（1）所谓平衡状态，就是物体的运动状态不变，具体表现为两种情况：静止状态和匀速直线运动状态
（2）对平衡状态的理解
①对于共点力作用下物体的平衡，不要认为只有静止才是平衡状态，匀速直线运动也是物体的平衡状态。因此，静止的物体一定平衡，但平衡的物体不一定静止。
②不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个过渡状态，加速度不为零。由此可见，静止的物体速度一定为零，但速度为零的物体不一定静止。因此，静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定处于平衡状态。
总之，共点力作用下的物体只要物体的加速度为零，它一定处于平衡状态，只要物体的加速度不为零，它一定处于非平衡状态。
3．共点力作用下物体的平衡条件是物体所受外力的合力为零。
A．最简单的是物体受两个共点力作用的情况。只要这两个力大小相等、方向相反，合力就为零，这就是所谓的二力平衡问题。
B．很多情况是物体在三个共点力作用下处于平衡状态。这时，三个力中的任意一个力总跟另外两个力的合力平衡。
C．不难想象如果一个物体在几个共点力作用下处于平衡状态，当撤消其中的一个力时，则其它几个力的合力一定与该力大小相等、方向相反，这时物体将在合力作用下改变原来的平衡状态。
要点二、研究共点力的平衡的方法
1．研究共点力作用下物体平衡问题的基本方法，是平行四边形法则及相关的三角形计算。
2．用正交分解法研究共点力的平衡问题，其平衡条件是合外力的正交分量均为零。
即
A．正交分解法把矢量运算转化为代数运算
B．应用正交分解法的重要环节是坐标系的建立。应使更多的力在坐标轴上，这样分解的力就少一些。
要点三、解决物体平衡问题的重要原理
1．内容
一个物体受到三个不平行的力的作用而平衡，则这三个力必将共点，而且表示这三个力的矢量线段将组成一个封闭的三角形。
2．求解
（1）若三个共点力使物体平衡，构成的矢量三角形是直角三角形，则可以用三角函数知识求解；若此矢量三角形不是直角三角形，还可以用正弦定理、余弦定理、或三角形相似性求解。
?（2）若平衡物体受到三个以上不平行且不共点的力作用，若可以忽略物体自身的大小和形状或不涉及转动问题时，可以用力的合成法，把其中作用线相交的力进行合成，从而将多力合成三力，把多力平衡转化为三力平衡，用以上叙述的三力平衡原理解决问题；也可以采用正交分解法，即把物体所受各力按两个特定的互相垂直的方向分解，再根据力的平衡条件，列出力的平衡方程求解。即：
这里要注意，互相垂直的两个方向即坐标系方向的选择原则是：要使坐标轴尽可能和更多的力相重合，以免去分解的麻烦。
要点四、应用共点力平衡条件解决问题的步骤
1、确定研究对象，分析物体的受力情况。注意只能分析物体受到的实际受力，不能算合力、分力，分析受力要完整准确；
2、根据实际情况，确定直角坐标系；
3、对各力沿坐标轴方向进行正交分解；
4、建立平衡方程，若各力作用在同一直线上，可直接用的代数式列方程，若几个力不在同一直线上，可用与联立列出方程组。
5、解方程，必要时对结果进行讨论。
【典型例题】
类型一、对平衡状态和平衡条件的理解
例1、（2019 四川校级模拟）若某一物体受共点力作用处于平衡状态，则该物体一定是（ ）
A.静止的
B.做匀速直线运动
C.各共点力的合力可能不为零
D.各共点力的合力为零
【思路点拨】平衡状态，是指静止状态或匀速直线运动状态。
【答案】D
【解析】平衡状态，是指静止状态或匀速直线运动状态，所以AB错误；物体处于平衡状态，受平衡力的作用，所以受到的合力为零，D正确。
【点评】在共点力的作用下，物体如果处于平衡状态，则该物体必同时具有以下两个特点：从运动状态来说，物体保持静止或者匀速直线运动，加速度为零；从受力情况来说，合力为零。
举一反三
【变式】如果两个力彼此平衡，则它们（ ）
A．必是作用力与反作用力 B．必是同种性质的力
C．必不是作用力与反作用力 D．必不是同种性质的力
【答案】C
【解析】作用在同一物体上的两个力，只要大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，就是一对平衡力，但这两个力可以是同种性质的力，也可不是。而作用力与反作用力是作用在两个相互作用的物体之间的力，必是同种性质的力，但两者作用在不同的物体上，根本谈不上平衡的问题。本题的正确选项应为C。
【点评】作用力和反作用力一定是同种性质的力，但平衡力可以是同种性质的力，也可以不是同种性质的力。
类型二、合成与分解法求单个物体的平衡
例2、如图所示,电灯的质量为m ,BO与顶板间的夹角为α,AO绳水平,求绳AO、BO受到的拉力F1 、F2 是多少？
【思路点拨】以结点O为研究对象，处于平衡状态，可以采用合成法、正交分解法或分解法求解。
【答案】
【解析】解法一:合成法
取电灯为研究对象。由共点力的平衡条件可知，F1和mg的合力F与F2大小相等、方向相反。从图示的平行四边形可求得：
解法二:正交分解法
取电灯作为研究对象,受三个共点力作用.如图，以水平方向为x轴,竖直方向为y轴,将F2 分解在X轴和Y轴方向进行分解,由平衡条件可知,FX合=0和FY合=0
（1）
（2）
由（2）式解得：
代入（1）式得:
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1
解法三：分解法
取电灯为研究对象，受三个共点力作用，如图所示，将重力G分解为F和F，由共点力平衡条件可知，F1 和F的合力必为零，F2 和F的合力必为零。所以

举一反三
【变式1】质量为m的物体，在与水平方向成角斜向上的外力F作用下拉物体使物体匀速运动，求物体与水平面之间的动摩擦因数μ=？
【答案】
【解析】物体受到重力、弹力、摩擦力、外力F四个力的作用。可以在水平和竖直方向建立坐标轴，将力F分解到坐标轴上，根据物体匀速运动，x、y轴上合力均为零。
x轴：
y轴：
由于物体与地面之间是滑动摩擦力，因此
整理得：
【求解力平衡的几种方法 例2】
【变式2】如图所示，A、B两物体用轻绳相连后跨过无摩擦的定滑轮，A物体在Q位置时处于静止状态。若将A物体移到P位置仍处于静止状态，则A物体由Q移到P后，作用于A物体上的力中增大的是（ ）
A．绳子对A物体的拉力
B．地面对A物体的支持力
C．地面对A物体的静摩擦力
D．A物体受到的重力
【答案】BC
类型三、单个物体的动态平衡
例3、如图所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA使连接点A向上移动，而保持O点的位置不变，则A点向上移动时 （ ）
A．绳OB的拉力逐渐增大 B．绳OB的拉力逐渐减小
C．绳OA的拉力先增大后减小 D．绳OA的拉力先减小后增大
【思路点拨】动态平衡问题中一定要清楚哪些力不变，哪些力方向不变，画出矢量三角形即可。
【答案】B、D
【解析】该题是动态平衡问题，处理这类问题要牢记一点，取结点O为研究对象，绳OA、OB的拉力的合力F与灯的重力G大小相等方向相反，始终不变。由平行四边形法则画出矢量图如下图，由图可知：在A点上移的过程中，TOA先变小后增大，TOB一直减小，所以答案B、D正确。
【点评】当一个力大小、方向不变，一个力方向不变，当另一个力方向发生改变，二者垂直时，方向改变的力是最小的。
举一反三
【变式1】如图所示，质量为m的光滑圆球用绳OA拴住，靠在竖直墙上，绳子与墙面之间夹角为，若OA绳缩短，使得角变大时，墙对球的弹力以及绳子拉力大小变化？
【答案】弹力变大，绳子拉力变大
【解析】在该题中，重力大小、方向不变，弹力方向不变， 绳子张力的大小和方向发生变化。
画出矢量图，可以看出墙对球的弹力变大，绳子拉力变大。
【求解力平衡的几种方法 例1】
【变式2】如图所示，将一个重物用两根等长的细绳OA、OB悬挂在半圆形的架子上，B点固定不动，悬点A由位置C向位置D移动，在这个过程中，重物对OA绳的拉力大小的变化情况是 （ ）
A．先减小后增大
B．先增大后减小
C．OA跟OC成30°角时，拉力最小
D．OA跟OC成60°角时，拉力最小
【答案】AD
类型四、单个物体平衡时摩擦力方向的考查
例4、如图所示位于斜面上的物块M在沿斜面向上的F作用下，处于静止状态，则斜面作用于物块的静摩擦力为（ ）
A．方向可能沿斜面向上 B．方向可能沿斜面向下
C．大小可能等于零 D．大小可能等于F
【思路点拨】静摩擦力是一个被动的力，它随外力的变化而变化。
【答案】ABCD
【解析】分析物体受力如图所示，这里有三个力必然存在，即重力mg、支持力N、推力F。由于力的大小关系不确定，推力F和重力的沿斜面向下的分力大小也就不确定，本题必须讨论几种可能性
把重力正交分解，沿斜面向下的分力为。
(1)当时，物体才能平衡，Ff 的方向沿斜面向下
(2)时，斜面对物块的静摩擦力为零
(3)当时，物块才能平衡，Ff 的方向沿斜面向上。
(4) F f 方向沿斜面向上时，大小可能等于F
选项A、B、C、D都有可能，故选ABCD
【点评】静摩擦力的方向一定与相对运动趋势的方向相反。
举一反三
【求解力平衡的几种方法 例3】
【变式1】如图所示，一个物体A静止于斜面上，现用一竖直向下的外力压物体A，下列说法正确的是（ ）
A．物体A所受的摩擦力可能减小
B．物体A对斜面的压力可能保持不变
C．不管F怎样增大，物体A总保持静止
D．当F增大到某一值时，物体可能沿斜面下滑
【答案】C
【变式2】物体A在水平力F1＝400N的作用下，沿倾角(＝60°的斜面匀速下滑，如图。物体A受的重力G＝400N,求斜面对物体A的支持力和A与斜面间的动摩擦因数(。
【答案】564N 0.27
【解析】 取物体A作为研究对象。物体A受到四个力的作用：竖直向下的重量G,水平向右的力F1,垂直于斜面斜向上方的支持力N，平行于斜面向上的滑动摩擦力f，如图乙。其中G和F1是已知的。由滑动摩擦定律f=(N可知，求得f和N就可以求出( 。
物体A在这四个共点力的作用下处于平衡状态。分别在平行和垂直于斜面的方向上列出物体的平衡方程，即可求出N和f。
取平行于斜面的方向为x轴，垂直于斜面的方向为y轴，分别在这两个方向上应用平衡条件求解。由平衡条件可知，在这两个方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零，即
(1)
(2)
由(2)式得

由（1）得

所求
μ= f/N =0.27
类型五、用相似三角形解平衡问题
例5、固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球，置于半球面上的A处，另一端通过定滑轮用力F缓慢地将小球从A点拉到B点，在此过程中，小球对半球的压力大小为FN，细线的拉力大小为T，其变化情况是：（ ）
A．FN变大，T不变 B．FN变大，T变大 C．FN不变，T变小 D．FN变大，T变小
【思路点拨】此题一般可采取相似三角形计算。
【答案】C
【解析】小球的受力情况如图所示，因缓慢运动，可认为小球在运动过程中所受合力始终为零，由合成法，FN、T、F构成一个闭合的三角形，其中F＝G，从图中的几何关系，不难看出，这三力所构成的三角形与△AOC相似，所以
在拉动过程中，AC变小，OC不变，R不变，所以FN 不变，T变小，选项C正确。
【点评】三个平衡力转化成一个闭合的三角形之后，如果三角形中没有直角，而装置所构成的三角形边长已知，且与力的三角形相似，应优先选用相似三角形法求解。
类型六、连接体物体的平衡
例6、（2019 山东模拟）如图，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平作用力下紧靠滑块A（A、B接触面竖直），此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数是，A与地面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A与B的质量之比为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】解决连接体问题常用的解题方法：整体法与隔离法结合。
【答案】B
【解析】以A、B整体受力分析，受重力、支持力、推力、和地面给的最大静摩擦力，根据平衡条件，有： （1）
再对物体B分析，受推力、重力、向左的支持力和向上的最大静摩擦力，根据平衡条件，有：
水平方向：
竖直方向：
其中：
联立有： （2）
联立（1）（2）解得：
【点评】处理连接体问题时一般优先考虑整体法，有时整体法和隔离法联合使用．
举一反三
【变式】如图所示，两个完全相同的重为G的球，两球与水平地面间的动摩擦因数都是μ，一根轻绳两端拴接在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为θ。问当F至少多大时，两球将发生滑动？
【答案】
【解析】首先选用整体法，由平衡条件得
　　　 ①
再隔离任一球，由平衡条件得
　 ②
　 ③
①②③联立解之
【巩固练习】
一、选择题：
1.下列几种情况中，物体处于平衡状态的是( )
A．静止在粗糙平面上的物体
B．沿光滑斜面自由下滑的物体
C．竖直上抛的物体在到达最高点时
D．在不光滑的水平面上做匀速直线运动的木块
2.某物体受四个力的作用而处于静止状态，保持其他三个力的大小和方向均不变，使另一个大小为F的力的方向转过90°，则欲使物体仍保持静止状态，必须再加上一个大小为多少的力( )
A．F B．F C．2F D．3F

3．下列哪组共点力作用在一个物体上，可以使物体保持平衡 （ ）
A．2N，4N，10N B．2N，3N，5N C．10N，10N，10N D．2N，3N，10N
4、（2019 广东模拟）如下列各图所示，倾角不同的光滑斜面固定于地面上，挡板垂直固定于斜面，四个相同的小球靠着挡板静止在斜面上，则球对斜面压力最小的是（ ）
5．如图在人向右运动的过程中，物体A缓慢上升，若人对地面的压力为FN，人受到的摩擦力为Ff，人拉绳的力为T，则人运动在中 （ ）
A． FN、Ff和T都增大 B． FN和Ff增大，T不变
C． FN、Ff和T都减小 D． FN增大，Ff减小，T不变
6.如图所示，有一均匀梯子AB斜靠在竖直墙上处于静止状态，假设墙面光滑，地面粗糙，则地面对梯子的作用力可能沿( )
A．F1的方向 B．F2的方向 C．F3的方向 D．F4的方向
7、（2019 南京校级模拟）如图，在木板上有一物体．在木板与水平面间的夹角缓慢增大的过程中，如果物体仍保持与板相对静止．则下列说法中错误的是（　　）
A．斜面对物体的弹力大小增加
B．斜面对物体的摩擦力大小增加
C．物体所受的弹力和重力的合力方向沿斜面向下
D．物体所受的合外力不变
8、（2019 海南会考模拟）如图所示，轻绳a、b将灯笼悬挂于O点，灯笼保持静止，所受重力为G，绳a、b对O点拉力的合力为F，F的大小和方向是（ ）
A．，方向竖直向上 B．，方向斜向上
C．，方向竖直向上 D．，方向斜向上
9、（2019 上海高考）如图，鸟沿虚线斜向上加速飞行，空气对其作用力可能是（ ）
A. B. C. D.
10、（2019 上海模拟）如图，一质量为m的正方体物块置于风洞内的水平面上，一面与风速垂直，当风速为v0时刚好能推动该物块。已知风对物块的推力F∝Sv2，其中v为风速、S为物块迎风面积。当风速度变为2 v0时，刚好能推动用同一材料做成的另一正方体物体，则该物块的质量为（ ）
A．4m B．8m C．32m D．64m
11．A、B、C三物块的质量分别为M，m和m0，作如图所示的连接。绳子不可伸长，且绳子和滑轮的质量、滑轮的摩擦均可不计。若B随A一起沿水平桌面做匀速运动，则可以断定（ ）
A．物块A与桌面之间有摩擦力，大小为m0g
B．物块A与B之间有摩擦力，大小为m0g
C．桌面对A，B对A，都有摩擦力，两者方向相同，合力为mog
D．桌面对A，B对A，都有摩擦力，两者方向相反，合力为m0g


二、计算题：
1．两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N点，MN两点间的距离为s，如图所示，已知两绳所能经受的最大拉力均为T，则每根绳的长度不得短于多少？
2．如图所示，静止在光滑水平面的木条上放一个质量为m的小金属块（可视为质点），金属块离木条右端距离为L，金属块与木板间动摩擦因数为μ。现用水平力向左拉动木条，设木条加速过程极短，可以认为木条在抽动过程中一直做匀速运动。要将金属块恰好停在木条的最右端，木条的速度v应为多大。

【答案与解析】
一、选择题：
1. AD
解析:物体处于平衡状态的条件是所受合力为零，其表现为静止或匀速直线运动，因而选项A、D正确．又因沿斜面自由下滑的物体，其加速度为a＝gsinθ；上抛运动的物体在最高点时v＝0，但a＝g，并非平衡状态，故选项B、C错误．
2. B
解析:物体受四个力作用而处于静止状态时，F与其余三个力的合力等大、反向，设为，当F转过时，与F夹角为90°，又，两力的合力，故需加一个大小为的力．
3．BC
解析：若第三个力在剩余两个力的合力范围中，则三个力的合力就可以为零，物体就可以保持平衡。
4、D
解析：设斜面的倾角为，将小球的重力分解为垂直斜面和垂直于挡板的两个力，如图所示：
球对斜面的压力大小等于，斜面倾角越大，压力越小，故D正确。
5．D
解析：A缓慢上升，说明绳子的拉力不变。绳子的方向与地面的夹角变小，因此绳子在竖直方向的分力变小，水平方向的分力变大，因此，弹力变大，摩擦力变小。
6.B
解析:对梯子受力分析知，梯子受竖直向下的重力G，墙施加的水平向右的弹力FN，另外地面施加的作用力，此三力不平行，故三力应共点，如图所示，F应与G、FN交于一点，所以可能的方向是沿F2的方向．
7、A
解析：木块相对木板静止，对物体进行受力分析：
A、根据平衡条件得：N=mgcosα，α增大，则N减小，故A错误；
B、由平衡条件静摩擦力f=mgsinα，由于木板从水平面绕B端逆时针缓慢转动，所以α逐渐增大，所以木块所受的静摩擦力逐渐增大，故B正确；
C、由平衡条件知，重力与弹力的合力一定与f等大反向，故物体所受的弹力和重力的合力方向沿斜面向下，故C正确；
D、物体始终处于平衡状态，合力为零保持不变．故D正确．
本题选错误的，故选：A
8、C
解析：以结点O为研究对象进行受力分析，受a、b对绳的拉力以及下面绳子的拉力。灯笼受力平衡，即最下面一根绳子对灯笼的拉力等于重力，结点O受力平衡，则绳子a、b对O点拉力与灯笼重力等大反向，即绳a、b对O点拉力的合力为F=G，方向竖直向上。
9、B
解析：小鸟沿虚线斜向上加速飞行，说明合外力方向沿虚线斜向上，小鸟受到两个力的作用，空气作用力和重力，如下图所示：

故选：B
10、D
一质量为m的正方体的边长为a，刚好被推动，在水平方向上受到风力和最大静摩擦力，最大静摩擦力与正压力成正比，设比例系数为μ，且二力大小相等，μmg=kSv02，得：μa3g=ka2v02，同理另一块质量为m′正方形的边长为b，刚好被推动时，有μb3g=kb2v02，解得b=4a，所以质量为m′正方形的体积是质量为m正方形体积的64倍，所以m′=64m，、故D正确，A、B、C错误。
11．A
解析：A和B一起匀速，以B为研究对象，可知A、B之间没有摩擦力。由于A沿水平桌面做匀速运动，A在水平方向受到绳子的拉力，因此，A一定受到桌面的摩擦力。
二、计算题：
1．Ts/
解析：设绳子拉力达最大T的两绳夹角为2θ如题图。则2Tcosθ＝mg，所以cosθ＝。此时对应的绳长最短为＝/sinθ＝/=Ts/
2．
解析：研究金属块，由初速度为零增加到v，通过的位移，
由于木板匀速，又，整理的：