2.1.1 合情推理学案

§2.1　合情推理与演绎推理
2.1.1　合情推理
学习目标　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．
知识点一　归纳推理
思考　(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．
以上属于什么推理？
答案　属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．
梳理　(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
(2)特征：由部分到整体，由个别到一般．
知识点二　类比推理
思考　科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？
答案　类比推理．
梳理　(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．
(2)特征：由特殊到特殊的推理．
知识点三　合情推理
思考1　归纳推理与类比推理有何区别与联系？
答案　区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．
思考2　归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
答案　归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确．
梳理　(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理．
(2)推理的过程
―→―→―→
1．类比推理得到的结论可作为定理应用．(　×　)
2．由个别到一般的推理为归纳推理．(　√　)
3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　×　)
类型一　归纳推理及应用
命题角度1　图形中的归纳推理
例1　(1)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的①②③④，那么图中的⑤⑥所对应的运算结果是(　　)
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
(2)n个连续自然数按规律排列(如图所示)．
根据规律，从2016到2018，箭头的方向依次是(　　)
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
考点　归纳推理
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由图中①②③④得，A表示“|”，B表示“□”，C表示“—”，D表示“○”，故图中⑤⑥所对应的运算结果分别为B*D和A*C.
(2)观察数字排列的规律知，位置相同的数字是以4为公差的等差数列，故可知从2016到2018的箭头的方向依次为↓→.
反思与感悟　对于图形中的归纳推理，找准规律特征是解题的关键．
跟踪训练1　(1)设n棱柱有f(n)个对角面，则(n＋1)棱柱的对角面的个数f(n＋1)等于(　　)
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
(2)观察由火柴棒拼成的一系列图形(如图所示)，第n个图形是由n个正方形组成．
通过观察可以发现：在第4个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．
考点　归纳推理
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　(1)C　(2)13　3n＋1
解析　(1)对于n棱柱，由于过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能确定一个对角面，所以过每一条侧棱可确定(n－3)个对角面，所以过n条侧棱可确定n(n－3)个对角面，又因为这些对角面相互之间重复计算了，所以过n条侧棱共可确定个对角面，所以可得f(n＋1)－f(n)＝－＝n－1，故f(n＋1)＝f(n)＋n－1.
(2)第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火柴棒，第4个图形有13根火柴棒，…，猜想第n个图形有(3n＋1)根火柴棒．
命题角度2　数列中的归纳推理
例2　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试计算f(1)，f(2)，f(3)的值，并推测出f(n)的表达式．
考点　归纳推理
题点　归纳推理在数列中的应用
解　因为a1＝，a2＝，a3＝，
所以f(1)＝1－a1＝，
f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝×＝×＝，
f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝××＝，
推测f(n)＝(n∈N*)．
反思与感悟　数列中的归纳问题要充分利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，这是检验归纳猜想是否正确的根据．
跟踪训练2　若在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2(n∈N*)，则猜想an等于(　　)
A．2n－2－ B．2n－2
C．2n－1＋1 D．2n＋1－4
考点　归纳推理
题点　归纳推理在数列中的应用
答案　B
解析　∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
…，
猜想an＝2n－2(n∈N*)．
类型二　类比推理及应用
命题角度1　平面几何性质类比立体几何性质
例3　三角形的面积S＝(a＋b＋c)r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为(　　)
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为四面体内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高)
考点　类比推理
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c.类比：设四面体A－BCD的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
反思与感悟　平面问题类比空间问题时，注意性质的相同性和相似性，注意等面积类比等体积，线线距离类比线面距离或者面面距离．
跟踪训练3　类比平面上的命题“如果△ABC的三条边BC，CA，AB上的高分别为ha，hb，hc，△ABC内任意一点P到三条边BC，CA，AB的距离分别为Pa，Pb，Pc，那么＋＋＝1”．写出空间中的命题．
考点　类比推理
题点　平面几何与立体几何之间的类比
解　从四面体的四个顶点A，B，C，D分别向所对的面作垂线，垂线段长分别为ha，hb，hc，hd，P为四面体内任意一点，从点P向A，B，C，D四个顶点所对的面作垂线，垂线段长分别为Pa，Pb，Pc，Pd，那么＋＋＋＝1.
命题角度2　等差数列的性质类比等比数列的性质
例4　若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则由bn＝(n∈N*)构造的新数列{bn}也是等差数列．类比上述性质可得，若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则由dn＝________(n∈N*)构造的新数列{dn}也是等比数列．
考点　类比推理
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　
解析　由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性．等差数列与等比数列的类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想dn＝(n∈N*)．
反思与感悟　等差数列{an}和等比数列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加、减法运算对应等比数列的乘、除法运算，等差数列的乘、除法运算对应等比数列的乘方、开方运算．
跟踪训练4　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
考点　类比推理
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　　
解析　等差数列类比等比数列时，和类比积，减法类比除法．
故类比结论得设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列.
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为(　　)
A．28 B．32
C．33 D．27
考点　归纳推理
题点　归纳推理在数列中的应用
答案　B
解析　因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，
所以猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故选B.
2．若f(n)＝n2＋n＋21，n∈N*，则下列说法正确的是________．
①f(n)可以为偶数；
②f(n)一定为奇数；
③f(n)可能为质数；
④f(n)一定为合数．
考点　合情推理的应用
题点　合情推理在函数中的应用
答案　②③
解析　f(1)＝12＋1＋21＝23，f(2)＝22＋2＋21＝27，…，f(n)＝n(n＋1)＋21，
所以f(n)有质数，也有合数，一定不是偶数，
所以f(n)一定是奇数．
3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为正方形数，用图形表示如图所示，则第n个正方形中的点数是________．
考点　归纳推理
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　n2
解析　由题意知，第n个正方形中的点数为n2.
4．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正三棱锥的类似属性是
________________________________________________________________________.
考点　类比推理
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　各侧面与底面所成的二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等
解析　等腰三角形的底与腰可分别与正三棱锥的底面与侧面类比．
5．在Rt△ABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法可知，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.
考点　类比推理
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　
解析　通过类比可得R＝.
证明过程为：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2．合情推理的过程概括为
―→―→―→
一、选择题
1．下列使用类比推理得出的结论正确的是(　　)
A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
考点　类比推理
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　C
解析　显然A，B，D不正确，只有C正确．
2．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于(　　)
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
…
A．1111110 B．1111111
C．1111112 D．1111113
考点　归纳推理
题点　归纳推理在数阵中的应用
答案　B
解析　由数塔猜测应是各位都是1的七位数，
即1111111.
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
考点　合情推理的应用
题点　合情推理在函数中的应用
答案　D
解析　由所给函数及其导函数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)．
4．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是(　　)
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
考点　类比推理
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝(底×高)可推测扇形的面积S′等于(　　)
A．lr B.lr
C.lr D.
考点　类比推理
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　B
解析　扇形的弧长相当于三角形的底边长，扇形的半径相当于三角形的底边上的高，故类比三角形的面积公式可推得扇形的面积S′＝lr.
6．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
考点　类比推理
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　D
7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
1　2　3　4　5　…　2013　2014　2015　2016
　3　5　7　9　…………4027　4029　4031
81216………………8056　8060
20　28　……………………16116　
……………………………………
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　)
A．2017×22015 B．2017×22014
C．2016×22015 D．2016×22014
考点　归纳推理
题点　归纳推理在数阵中的应用
答案　B
解析　由题意知，数表的每一行都是等差数列，
且第1行公差为1，第2行公差为2，第3行公差为4，…，第2015行公差为22014，
故第1行的第一个数为：2×2－1，
第2行的第一个数为：3×20，
第3行的第一个数为：4×21，
…，
第n行的第一个数为：(n＋1)×2n－2，
第2016行只有M，
则M＝(1＋2016)·22014＝2017×22014，故选B.
8．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，可以得出推广结论x＋≥n＋1(n∈N*)，则a等于(　　)
A．2n B．n2
C．3n D．nn
考点　归纳推理
题点　归纳推理在数式中的应用
答案　D
解析　再续写一个不等式：x＋＝＋＋＋≥4＝4.由此可推得a＝nn.
9．已知>，>，>，…，若a>b>0且m>0，则与之间的大小关系为(　　)
A．相等 B．前者大
C．后者大 D．不确定
考点　合情推理的应用
题点　合情推理在不等式中的应用
答案　B
解析　观察题中不等式的特征，由归纳推理易得B正确．
二、填空题
10．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般结论为________________．
考点　合情推理的应用
题点　合情推理在函数中的应用
答案　f(2n)≥
解析　由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般性结论为f(2n)≥.
11．圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)在点P(x0，y0)处切线的方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2，由此类比，椭圆＋＝1(a>b>0)在点P(x0，y0)处切线的方程为______________．
考点　类比推理
题点　平面曲线之间的类比
答案　＋＝1
解析　类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：
椭圆＋＝1(a>b>0)在点P(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.
三、解答题
12．设a>0，且a≠1，f(x)＝.
(1)求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)；
(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．
考点　合情推理的应用
题点　合情推理在函数中的应用
解　(1)f(0)＋f(1)＝＋＝＝，
f(－1)＋f(2)＝＋＝＝.
(2)由(1)归纳得对一切实数x，
有f(x)＋f(1－x)＝.
证明：f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋＝＝＝.
13．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由．
题点　类比推理
题点　平面几何与立体几何之间的类比
解　类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
猜想正确．
如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC，AD?平面ACD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
四、探究与拓展
14．观察下列等式：
①cos2α＝2cos2α－1；
②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
考点　归纳推理
题点　归纳推理在数对中的应用
答案　962
解析　cosα的最高次项的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m＝128×4＝512；取α＝0，则cosα＝1，cos10α＝1，代入等式⑤，得1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350(1)；取α＝，则cosα＝，cos10α＝－，代入等式⑤，得－＝m10－1280×8＋1120×6＋n·4＋p·2－1，即n＋4p＝－200(2)．联立(1)(2)，得n＝－400，p＝50，∴m－n＋p＝512－(－400)＋50＝962.
15．已知正项数列{an}满足Sn＝(n∈N*)，求出a1，a2，a3，a4，并推测an.
考点　归纳推理
题点　归纳推理在数列中的应用
解　方法一　a1＝S1＝，
因为a1>0，所以a1＝1.
当n≥2时，Sn＝，
Sn－1＝，
两式相减，得an＝－，
即an－＝－，
所以a2－＝－2.
又因为a2>0，所以a2＝－1，a3－＝－2.
又因为a3>0，所以a3＝－，a4－＝－2.
又因为a4>0，所以a4＝2－.
将上面4个式子写成统一的形式：a1＝－，a2＝－，a3＝－，a4＝－，
由此可以归纳出an＝－(n∈N*)．
方法二　令n＝1，则S1＝，
即a1＝a1＋，
∴a＝1，
又∵a1>0，∴a1＝1.
令n＝2，则S2＝，
即a1＋a2＝，
∴1＋a2＝，
∴a＋2a2－1＝0，即(a2＋1)2＝2.
∵a2>0，∴a2＝－1，
令n＝3，则S3＝，
∴a1＋a2＋a3＝a3＋，则＋a3＝.
∴a＋2a3＝1，即(a3＋)2＝3.
∵a3>0，∴a3＝－.
令n＝4，则S4＝，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝a4＋，
即＋a4＝.
∴a＋2a4＝1，即(a4＋)2＝4.
∵a4>0，∴a4＝2－.
∴a1＝1＝－，a2＝－1＝－，
a3＝－，a4＝2－＝－.
归纳可得an＝－(n∈N*)．