2.1.2 演绎推理学案

2.1.2　演绎推理
学习目标　1.了解演绎推理的含义及其重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并进行一些简单的推理.3.利用具体实例，了解合情推理与演绎推理之间的区别和联系．
知识点一　演绎推理
思考1　分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．
答案　问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．
思考2　演绎推理的结论一定正确吗？
答案　所得结论不一定正确．
梳理　演绎推理的定义特点
定义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
知识点二　三段论
思考1　所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？
答案　分为三段．
大前提：所有的金属都能导电．
小前提：铜是金属．
结论：铜导电．
思考2　在用三段论证明“已知f(x)＝lg?，则f(x)是奇函数”时，大前提是什么？
答案　大前提为：奇函数的定义，即若对于函数f(x)的定义域中任意x，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．
梳理　三段论的一般模式
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况作出的判断
S是P
知识点三　演绎推理与合情推理的关系
区别
推理形式
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
部分→整体
个别→一般
特殊→特殊
一般→特殊
推理所得结论
不一定正确
不一定正确
不一定正确
联系
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理
1．演绎推理的结论一定正确．(　×　)
2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况作出的判断．(　√　)
3．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．(　√　)
类型一　演绎推理概念的理解
例1　(1)演绎推理是(　　)
A．由部分到整体、由个别到一般的推理
B．由特殊到特殊的推理
C．由一般到特殊的推理
D．由一般到一般的推理
考点　演绎推理的含义及方法
题点　演绎推理的含义
(2)《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　)
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
考点　演绎推理的含义及方法
题点　判断推理是否为演绎推理
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)由演绎推理的定义可知．
(2)这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用了五次三段论，属于演绎推理的形式．
反思与感悟　演绎推理是从一般到特殊的推理，这是它不同于其它推理的根本区别．
跟踪训练1　给出下列说法：
①演绎推理的特征为：前提为真时，结论一定为真；
②演绎推理的特征为：前提为真时，结论可能为真；
③由合情推理得到的结论一定为真；
④演绎推理和合情推理都可以用于证明；
⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明．
其中正确说法的序号为________．
考点　演绎推理的含义及方法
题点　演绎推理的含义
答案　②⑤
解析　结合合情推理与演绎推理的概念判断．
类型二　把演绎推理写成三段论
例2　将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
考点　三段论
题点　三段论的结构
解　(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形的对角线互相平分．结论
(2)等腰三角形的两底角相等，大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提
∠A＝∠B.结论
(3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提
当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论
反思与感悟　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
跟踪训练2　(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．
(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为
大前提：________________________________________________________________________.
小前提：________________________________________________________________________.
结论：________________________________________________________________________.
考点　三段论
题点　三段论的结构
答案　(1)②
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图象是一条直线
类型三　演绎推理的实际应用
例3　(1)“因为对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝是对数函数(小前提)，所以y＝是增函数(结论)”．上面的推理(　　)
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
考点　三段论
题点　大前提错误导致结论错误
答案　A
解析　对数函数y＝logax(x>0)不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
(2)用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.
考点　三段论
题点　三段论的应用
证明　如图所示，延长AB，DC交于点M.
平行线分线段成比例(大前提)，
在△AMD中，AD∥BC(小前提)，
＝(结论)．
等量代换(大前提)，
AB＝CD(小前提)，
MB＝MC(结论)．
在三角形中，等边对等角(大前提)，
MB＝MC(小前提)，
∠1＝∠2(结论)．
等量代换(大前提)，
∠ABC＝π－∠1，∠DCB＝π－∠2(小前提)，
∠ABC＝∠DCB(结论)．
反思与感悟　在进行演绎推理时，小前提往往是我们进行推理的条件，大前提是推理的依据，然后由条件依据大前提得出结论．三段论推理是演绎推理的一般模式，同时也是一种最常用的推理．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，有时把一个三段论的结论作为另一个三段论的前提．三段论的推理形式在几何证明中有着十分广泛的应用．
跟踪训练3　用三段论形式写出求解下列题目的主要解答过程．
已知不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，求实数a的值．
考点　三段论
题点　三段论的应用
解　推理的第一个关键环节：
大前提：若不等式f(x)<0的解集为(m，n)，
且f(m)，f(n)有意义，
则m，n是方程f(x)＝0的实数根．
小前提：不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，
且x＝－1与x＝2都使|ax＋2|－6有意义．
结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根，
所以|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．
推理的第二个关键环节：
大前提：如果|x|＝a，a>0，那么x＝±a.
小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6.
结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.
故可得出结论a＝－4.
1．指数函数y＝ax(a>1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数．以上推理(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．正确
考点　“三段论”及其应用
题点　小前提或推理形式错误导致结论错误
答案　B
解析　此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.
2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是(　　)
A．① B．②
C．③ D．①和②
考点　三段论
题点　三段论的结构
答案　B
解析　大前提为①，小前提为②，结论为③.
3．用演绎推理证明y＝x2，x∈(－∞，0)是减函数时，大前提是________．
考点　三段论
题点　三段论的结构
答案　减函数的定义
4．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
考点　三段论
题点　三段论的结构
答案　log2x－2≥0
解析　由三段论形式得，结论应为log2x－2≥0.
5．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)”．上面的推理中错误的是________．
考点　三段论
题点　大前提错误导致结论错误
答案　大前提
解析　大前提应为指数函数y＝ax(a>1)为增函数．
1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是明显的，则可以省略．
2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.
一、选择题
1．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是(　　)
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
考点　“三段论”及其应用
题点　三段论的结构
答案　B
解析　由三段论的一般模式知选B.
2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”以上三段论是(　　)
A．大前提错 B．小前提错
C．结论错 D．正确的
考点　演绎推理的应用
题点　演绎推理的正误判断
答案　D
解析　前提正确，推理形式及结论正确，故选D.
3．“平行于同一直线的两条直线平行，∵a∥b，b∥c，∴a∥c.”这个推理称为(　　)
A．合情推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
考点　三段论
题点　三段论的结构
答案　D
解析　符合三段论推理形式．
4．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”关于上述推理，下列说法中正确的是(　　)
A．小前提错 B．结论错
C．推理完全正确 D．大前提错
考点　演绎推理的应用
题点　演绎推理的正误判断
答案　C
解析　该推理完全正确．
5．“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理(　　)
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个自然数概念不一致
D．两个整数概念不一致
考点　演绎推理的应用
题点　演绎推理的正误判断
答案　A
解析　该三段论的推理是正确的．
6．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，由此推断各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n＝1,2,3)，由此归纳出{an}的通项公式
D．三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数，因此y＝tanα是周期函数
考点　演绎推理的含义及方法
题点　判断推理是否为演绎推理
答案　D
解析　A选项，某校高三共有8个班，1班51人，2班53人，由此推测各班都超过50人，属于归纳推理；
B选项，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，属于类比推理；
C选项，由an＋1＝(n＝1,2,3)归纳出{an}的通项公式，属于归纳推理；
D选项，具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理的三段论形式．
7．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四种说法：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中说法正确的是(　　)
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
考点　三段论
题点　三段论的结构
答案　A
解析　根据三段论的特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数．故①④正确．
8．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能等于0 D．可正也可负
考点　演绎推理的应用
题点　演绎推理在函数中的应用
答案　A
解析　不妨设x1－2<0，x2－2>0，
则x1<2，x2>2，∴2∴f(x2)－f(4－x1)，
从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，
∴f(x1)＋f(x2)<0.
9．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　　)
A．－1C．－考点　演绎推理的应用
题点　演绎推理在函数中的应用
答案　C
解析　由题意知，(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，
∴－x2＋x＋a2－a<1.
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
∴4a2－4a－3<0，解得－二、填空题
10．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为?，则实数a的取值范围为__________．
考点　演绎推理的应用
题点　演绎推理在函数中的应用
答案　[0,2]
解析　∵不等式ax2＋2ax＋2<0无解，
则不等式ax2＋2ax＋2≥0的解集为R.
∴当a＝0时，2≥0，显然成立，
当a≠0时，
解得0∴a的取值范围为[0,2]．
11.如图所示，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD.
证明：在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC>BC，①
所以AD>BD，②
于是∠ACD>∠BCD.③
则在上面的证明过程中错误的是________．(填序号)
考点　三段论
题点　小前提或推理形式错误导致结论错误
答案　③
解析　由AD>BD得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
三、解答题
12．用三段论证明：已知平面α∥平面β，直线l⊥平面α，l∩α＝A，求证：l⊥β.
考点　三段论
题点　三段论的应用
证明　如图所示，在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a.
①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提
α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提
所以a∥b.结论
②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提
l⊥α，且a?α，小前提
所以l⊥a.结论
③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，大前提
a∥b，且l⊥a，小前提
所以l⊥b.结论
④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提
因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提
所以l⊥β.结论
13.如图A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴旋转．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
考点　演绎推理的应用
题点　演绎推理在其它方面中的应用
解　(1)取AB的中点E，连接CE，DE，CD.
因为AC＝BC＝，AB＝2，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以CE⊥AB.
因为△ADB是等边三角形，
所以DE⊥AB.
又平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，DE?平面ADB，
所以DE⊥平面ABC，
又CE?平面ABC，所以DE⊥CE.
由已知得DE＝AB＝，CE＝1.
所以在Rt△CDE中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
当D在平面ABC内时，因为BC＝AC，AD＝BD，
所以C，D都在AB的垂直平分线上，
所以AB⊥CD.
当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE，AB⊥CE，
又DE∩CE＝E，DE，CE?平面CDE，
所以AB⊥平面CDE.
又CD?平面CDE，
所以AB⊥CD.
综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.
四、探究与拓展
14．若log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝log4[log2(log3z)]＝0，则x＋y＋z等于(　　)
A．123 B．105
C．89 D．58
考点　演绎推理的应用
题点　演绎推理在函数中的应用
答案　C
解析　log2[log3(log4x)]＝0?log3(log4x)＝1?log4x＝3?x＝43＝64；
log3[log4(log2y)]＝0?log4(log2y)＝1?log2y＝4?y＝24＝16；
log4[log2(log3z)]＝0?log2(log3z)＝1?log3z＝2?z＝32＝9.
故x＋y＋z＝89.
15.如图所示，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，M，N分别为腰AB，AC上的点，过点M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分．
(1)AM＋AN是否为定值？请说明理由．
(2)如何设计才能使四边形BMNC的面积最小？
考点　演绎推理的应用
题点　演绎推理在其它方面的应用
解　(1)AM＋AN是定值，理由如下：
△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，
所以AB＝AC＝.
因为M，N分别为AB，AC上的点，过点M，N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分，
所以AM＋AN＋MN＝MB＋BC＋NC＋MN.
所以AM＋AN＝MB＋BC＋NC，
又(AM＋AN)＋(MB＋BC＋NC)＝AM＋MB＋BC＋AN＋NC＝AB＋BC＋AC＝2＋2，
所以AM＋AN＝MB＋BC＋NC＝＋1，
所以AM＋AN为定值．
(2)当△AMN的面积最大时，四边形BMNC的面积最小．
由(1)知，AM＋AN＝＋1.
令AM＝x，则AN＝＋1－x，
故S△AMN＝AM·AN＝x(＋1－x)＝－[x2－(＋1)x]，
当x＝时，S△AMN有最大值，四边形BMNC的面积最小，
即当AM＝AN＝时，四边形BMNC的面积最小．