2.2.1 综合法和分析法学案

§2.2　直接证明与间接证明
2.2.1　综合法和分析法
学习目标　1.结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法.
2.了解综合法和分析法的基本模式、思考过程及特点.3.掌握直接证明的一般步骤，会用综合法和分析法证明一些简单的问题.4.通过具体案例，体会数学证明的特点，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用．
知识点一　综合法
思考　(1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
(2)综合法的思维过程是怎样的？综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的充分条件还是必要条件？
答案　(1)综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
(2)综合法的思维过程是由已知走向求证，即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，达到待征明的结论或需求的问题．综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的必要条件，综合法的每一步推证都是由“已知”推出“新结论”，直至要证的结论，其实质是命题“p?q”中已知p寻找q，即寻找必要条件．
梳理　(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
(2)综合法的框图表示
―→―→―→…―→
(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)
知识点二　综合法的特点
1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理实质上是寻找它的必要条件．
2．用综合法证明不等式，其证明步骤严谨、逐层递进、条理清晰、形式简洁．
知识点三　分析法
思考　阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？
已知a，b>0，求证：≥.
证明：要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．
梳理　(1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．
(2)分析法的框图表示
―→―→―→…―→
知识点四　综合法与分析法的联系
思考　(1)综合法和分析法的本质区别是什么？
(2)在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？
答案　(1)综合法是由因导果法，每步寻找的是必要条件；而分析法是执果索因法，每步寻找的是充分条件．
(2)对于思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q，再根据结论的特点去转化条件，得到中间结论P.若P?Q，则结论得证．
在解题时常用分析法来探寻思路，用综合法来书写求解过程．
梳理　综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点：分析法是“执果索因”，它的优点是利于思考，解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法是“由因导果”，它的优点是易于表述、条理清晰、形式简洁，能较简捷地解决问题，缺点是不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程．
1．综合法是执果索因的逆推证法．(　×　)
2．分析法就是从结论推向已知．(　×　)
3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(　√　)
类型一　综合法
命题角度1　综合法在证明等式、不等式问题中的应用
例1　若＋＝1(a，b，x，y为正实数，且a≠b)，求证：x＋y≥(＋)2.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
证明　∵x，y，a，b>0，且＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，当且仅当＝时，等号成立．
反思与感悟　综合法证明不等式主要依据的是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)；②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，2≥ab，a2＋b2≥；③若a，b∈(0，＋∞)，则≥，特别是＋≥2.
跟踪训练1　若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
证明　因为a，b，c∈(0，＋∞)，
所以≥>0，≥>0，≥>0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立，
所以··>abc成立．
上式两边同时取常用对数，
得lg>lg(abc)，
所以lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.
命题角度2　综合法在立体几何中的应用
例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点．
(1)若线段AC上存在点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；
(2)证明：EF⊥A1C.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决图形问题
(1)解　点D是AC的中点，理由如下：
∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，
∴AB∥DE，
∵在△ABC中，E是BC的中点，
∴D是AC的中点．
(2)证明　∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝AA1，
∴四边形A1ACC1是菱形，
∴A1C⊥AC1，
∵AA1⊥底面ABC，AB?平面ABC，
∴AA1⊥AB，
又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C1C，
∴AB⊥平面AA1C1C，
∵A1C?平面AA1C1C，
∴AB⊥A1C.
∵AB∩AC1＝A，AB，AC1?平面ABC1，
∴A1C⊥平面ABC1，
又BC1?平面ABC1，
∴A1C⊥BC1.
又∵E，F分别为BC，CC1的中点，
∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C.
反思与感悟　把立体几何中线面平行、垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向．解答这类问题首先要判断线线之间的位置关系，然后利用几何体的性质进行推理或计算．
跟踪训练2　如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：(1)AF∥平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决图形问题
证明　如图，取CE的中点G，连接FG，BG.
(1)∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF＝DE.
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB.
又AB＝DE，∴GF＝AB.
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.
又CD∩DE＝D，CD，DE?平面CDE，
∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
又∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
类型二　分析法
例3　已知a>0，求证：－≥a＋－2.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证－≥a＋－2，
只需要证＋2≥a＋＋.
因为a>0，
故只需要证2≥2，
即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只需要证2≥，
只需要证4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
反思与感悟　分析法是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，综合法是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，综合法的实质是分析法的逆过程．利用分析法一定要注意证明命题的思维特点以及分析法步骤的特殊性，一定要恰当使用“要证”“只需证”“即证”等词语．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝3x－2x，证明：对任意x1，x2∈R，均有≥f.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证≥f，
即证，
即证－(x1＋x2)≥－(x1＋x2)，
只需证.
由于x1，x2∈R时，，
所以由基本不等式知，
显然成立，故原结论成立.
1．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　B
解析　因为a≠b，所以a＋b＝2>2，
所以ab<1，所以＝＝2－ab>1，
所以>1>ab.
2．函数f(x)＝(0考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　C
解析　取a＝，当x＝2时，f(2)＝－1<0，排除A，B；
当x＝－2时，f(－2)＝1>0，排除D，故选C.
3.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
考点　分析法及应用
题点　寻找结论成立的充分条件
答案　对角线互相垂直(答案不唯一)
解析　要证A1C⊥B1D1，
只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，
因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，
故只需证B1D1⊥A1C1即可．
4．在锐角△ABC中，＝3，＝x＋y，则＝________.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决图形问题
答案　3
解析　由题设可得＋＝3(－)，
即4＝3＋，
亦即＝＋，则x＝，y＝.
故＝3.
5．已知a，b，c都为正实数，求证：≥.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证≥，
只需证≥2，
只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以≥成立．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y≥0，则(　　)
A．x>0，y>0 B．x<0，y<0
C．x>0，y<0 D．x<0，y>0
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　A
解析　?
2．在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是(　　)
A．b2＋c2≥a2 B．b2＋c2>a2
C．b2＋c2≤a2 D．b2＋c2考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　D
解析　由余弦定理的推论，得cosA＝，
∵A为钝角，∴cosA<0，则b2＋c23．若P＝＋，Q＝＋ (a≥0)，则P与Q的大小关系为(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　C
解析　∵P2＝2a＋7＋2，
Q2＝2a＋7＋2，
∴P20，Q>0，∴P4．欲证－<－成立，只需证(　　)
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
答案　C
解析　根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，
∴只需证＋<＋，即证(＋)2<(＋)2.
5．若A，B为△ABC的内角，则A>B是sinA>sinB的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决图形问题
答案　C
解析　由正弦定理知＝＝2R，又A，B为三角形的内角，∴sinA>0，sinB>0，∴sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.
6．若loga(3a－1)>0，则a的取值范围是(　　)
A．a< B.C．a>1 D.1
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决不等式问题
答案　D
解析　∵loga(3a－1)>0，
∴loga(3a－1)>loga1，
当a>1时，则有3a－1>1，解得a>，∴a>1；
当0解得综上可知，a的取值范围是a>1或7．函数f(x)＝的大致图象是(　　)
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决函数问题
答案　B
解析　由函数解析式可得f(x)为偶函数，
当|x|≤1时，f(x)＝＝y≥0，
即x2＋y2＝1，
∵y≥0，∴图象取x轴及其上方部分，
当x>1时，f(x)＝单调递减，其图象在第一象限，故选B.
二、填空题
8．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为________．
考点　综合法及应用
题点　综合法解决图形问题
答案　25π
解析　由直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线知，该直六棱柱的外接球的直径为＝5，∴其外接球的表面积为4π×2＝25π.
9．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则＋＝________.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决图形问题
答案　1
解析　由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC，
∴c2＝a2＋b2－ab，①
＋＝＝，②
将①式代入②式，得＋＝1.
10．与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2的圆的标准方程为________________．
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决图形问题
答案　(x＋2)2＋(y－4)2＝20
解析　由题意知所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设所求圆的圆心为(a，－2a)(a<0)，又因为所求圆与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2，所以＝2，可得a2＝4，则a＝－2或a＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝20.
三、解答题
11．已知a>0，b>0且a＋b＝1，求证：＋≤2.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证＋≤2，
只需证a＋＋b＋＋2≤4，
又a＋b＝1，
即只需证明≤1.
而≤
＝＝1成立，
所以＋≤2成立．
12．求证：当x≥0时，sinx≤x.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证当x≥0时，sinx≤x，
只需证当x≥0时，sinx－x≤0即可．
设f(x)＝sinx－x，
则即证当x≥0时，f(x)max≤0.
∵f(x)＝sinx－x，∴f′(x)＝cosx－1，
∴当x≥0时，f′(x)≤0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，
∴当x≥0时，sinx－x≤0成立，∴原不等式成立．
13．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1(n∈N*)，求a1的值，并证明数列是等差数列．
考点　综合法及应用
题点　综合法解决数列问题
解　当n＝1时，a1＝S1＝2a1－22，解得a1＝4.
证明：由Sn＝2an－2n＋1，得Sn－1＝2an－1－2n(n≥2)，
两式相减，得an＝2an－2an－1－2n(n≥2)，
即an－2an－1＝2n(n≥2)，
于是－＝1(n≥2)．
又＝＝2，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列．
四、探究与拓展
14．若对x，y∈[1,2]，xy＝2，总有不等式2－x≥成立，则实数a的取值范围是________．
考点　综合法及应用
题点　综合法解决不等式问题
答案　(－∞，0]
解析　由题意知a≤(2－x)(4－y)恒成立，则只需a≤[(2－x)(4－y)]min，
(2－x)(4－y)＝8－4x－2y＋xy
＝8－(4x＋2y)＋2＝10－(4x＋2y)
＝10－.
令f(x)＝10－，x∈[1,2]，
则f′(x)＝－＝，f′(x)≤0，
故f(x)在x∈[1,2]上是减函数，
所以当x＝2时f(x)取最小值0，
即(2－x)(4－y)的最小值为0，所以a≤0.
15.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
考点　综合法及应用
题点　综合法解决图形问题
证明　(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知，EF∥BC.
∵EF?平面ABC，BC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1.
又A1D?平面A1B1C1，
∴A1D⊥CC1.
又A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C?平面BB1C1C，
∴A1D⊥平面BB1C1C.
又A1D?平面A1FD，
∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.