2.2.2 反证法学案
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2.2.2 反证法
学习目标 1.了解间接证明的基本方法——反证法.2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点.3.结合已学过的数学实例，理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤，体会反证法在数学证明中的作用.4.通过具体实例，体会直接证明与间接证明的区别和联系．
知识点一 反证法的定义
思考 在用反证法推出矛盾的推导过程中，可以作为条件使用的是( )
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
答案 C
梳理 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种基本方法．
知识点二 反证法的理论依据
思考 反证法解题的实质是什么？
答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．
梳理 由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性．根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法．也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立．
知识点三 反证法的一般步骤
思考 (1)反证法常见的主要矛盾有哪些？
(2)反证法适用范围主要有哪些方面？
答案 (1)常见的主要矛盾有三类：与已知条件矛盾，与假设矛盾(自相矛盾)，与定义、定理、公理及事实矛盾．
(2)一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等．
梳理 反证法的证题步骤
(1)反设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立．
(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等．
(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而证明了结论成立．
1．反证法属于间接证明问题的方法．( √ )
2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( × )
3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．( √ )
类型一 反证法概念的理解
例1 反证法是( )
A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B．对其否命题的证明
C．对其逆命题的证明
D．分析法的证明方法
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 A
解析 反证法是先否定结论，在此基础上，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而证明了原命题成立．
反思与感悟 对于反证法，其实质是先否定结论，根据否定后的结论，连同题目条件，推出矛盾，从而侧面说明原命题成立．
跟踪训练1 (1)命题“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．aC．a＝b D．a≥b
(2)用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，则a，b，c中存在偶数”时，下列假设正确的是________．(填序号)
①假设a，b，c都是偶数；②假设a，b，c都不是偶数；③假设a，b，c至多有一个是偶数；④假设a，b，c至多有两个是偶数．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 (1)B (2)②
解析 (1)“a>b”的否定应为“a＝b或a(2)“a，b，c中存在偶数”的反面就是“a，b，c中没有偶数”，即“a，b，c都不是偶数”．
类型二 反证法的应用
命题角度1 证明一般性命题
例2 用反证法证明：已知a，b均为有理数，且和都是无理数，求证：＋是无理数．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设＋为有理数，易知(＋)(－)＝a－b，
由a>0，b>0，得＋>0，
∴－＝.
∵a，b为有理数，且＋为有理数，
∴为有理数，即－为有理数，
∴(＋)＋(－)为有理数，
即2为有理数，
从而也应为有理数，这与为无理数矛盾．
∴＋是无理数．
反思与感悟 用反证法证明数学命题步骤：
第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设綈q；
第二步，由綈q出发，应用正确的推理，得出矛盾；
第三步，断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题．
跟踪训练2 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设，，成等差数列，
则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.
又b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，
∴(－)2＝0，即＝，
从而a＝b＝c，这与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
命题角度2 证明“至多、至少、唯一性”问题
例3 若x，y均是正实数，且x＋y>2，求证：<2和<2中至少有一个成立．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设<2和<2都不成立，
∴≥2且≥2.
又∵x，y都是正实数，
∴相加得2＋x＋y≥2(x＋y)，
∴x＋y≤2，与x＋y>2矛盾，
∴假设不成立，原命题结论正确．
反思与感悟 常用的“原结论词”与“反设词”如下表：
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有n－1个
至少有n＋1个
跟踪训练3 已知函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根α，β，
即f(α)＝f(β)＝0，且α≠β，不妨设α>β，
∵f(x)在区间[a，b]上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，
∴f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
命题角度3 证明否定性命题
例4 已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，，不可能构成等差数列．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设，，成等差数列，则＝＋，
∴2ac＝bc＋ab.①
又a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c.②
∴2ac＝b(a＋c)＝b·2b，
∴b2＝ac.③
由②，得4b2＝(a＋c)2，
把③代入上式得4ac＝(a＋c)2，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c.
把a＝c代入②得b＝a，故a＝b＝c，
∴公差为0，这与已知矛盾．
∴，，不可能成等差数列．
反思与感悟 证明否定性问题常用反证法，例如证明异面直线，可以先假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
跟踪训练4 设0考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于，
则(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
所以(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a>，
即(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>.
因为(1－a)a≤2＝，(1－b)b≤2＝，(1－c)c≤2＝，
所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤，
这与(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>矛盾．
所以假设不成立，所以原结论成立.
1．以下各数不能构成等差数列的是( )
A．3,4,5 B.，，
C．3,6,9 D.，，
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 B
解析 假设，，成等差数列，则2＝＋，即12＝7＋2，此等式不成立，故，，不能构成等差数列．
2．异面直线在同一个平面上的射影不可能是( )
A．两条平行直线 B．两条相交直线
C．一个点与一条直线 D．同一条直线
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 D
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC，故排除C；BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC，故排除B；BA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A.故选D.
3．由四种命题的关系可知，反证法的实质是通过________来证明原命题的正确性．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 逆否命题
4．用反证法证明命题：“若a，b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是________________．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 a≠1或b≠1
解析 结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”．
5．证明：方程2x＝3有且仅有一个实根．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 ∵2x＝3，∴x＝，
∴方程2x＝3至少有一个实根．
设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，
则
由①－②得2(x1－x2)＝0，∴x1＝x2，
这与x1≠x2矛盾．
∴方程2x＝3有且仅有一个实根成立．
用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.
一、选择题
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 B
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 D
解析 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有2个偶数”．
3．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )
A．无解 B．两解
C．至少两解 D．无解或至少两解
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 D
解析 “唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面是“没有或至少有两个”．
4．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b为异面直线，则( )
A．a，b都与l相交
B．a，b中至少有一条与l相交
C．a，b中至多有一条与l相交
D．a，b都不与l相交
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 B
解析 逐一从假设选项成立入手分析，易得B正确．
5．“集合M不是集合N的子集”的充要条件是( )
A．若x∈M，则xD∈/N
B．若x∈N，则x∈M
C．存在x1∈M，使得x1∈N，且存在x2∈M，x2D∈/N
D．存在x0∈M，使得x0D∈/N
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 D
解析 若集合M是集合N的子集，则对任意的x∈M，都有x∈N，因此该命题的否定为：若存在x0∈M，使得x0D∈/N，则M不是N的子集．
6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 C
解析 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故选C.
7．若实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则( )
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2
D．a，b，c中至少有一个不小于
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 D
解析 假设a，b，c均小于，则a＋2b＋c<＋1＋＝2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于.
8．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“ay或xA．0个B．1个C．2个D．3个
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 B
解析 ①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
二、填空题
9．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设__________．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 x＝a或x＝b
10．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 ③
11．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是____________________________．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 a，b都不能被2整除
解析 根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”．
三、解答题
12．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证a，b，c中至少有一个是大于0的．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设a，b，c都不大于0，
则a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
∴a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，
∴假设不成立，
∴a，b，c中至少有一个是大于0的．
13．已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设p＋q>2，则p>2－q，将其两边立方，得
p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.
将p3＋q3＝2代入上式，得6q2－12q＋6<0，即6(q－1)2<0，与(q－1)2≥0矛盾，故p＋q≤2.
四、探究与拓展
14．若两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 (－∞，－2]∪[－1，＋∞)
解析 假设两个一元二次方程均无实根，
则有
即
解得－2所以a的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，＋∞)．
15．对于直线l：y＝kx＋1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为常数)对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
解 假设存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由?(3－k2)x2－2kx－2＝0.④
由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2，⑤
由④知x1＋x2＝，
代入⑤整理得ak＝3，与①矛盾．
故不存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称．
学习目标 1.了解间接证明的基本方法——反证法.2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点.3.结合已学过的数学实例，理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤，体会反证法在数学证明中的作用.4.通过具体实例，体会直接证明与间接证明的区别和联系．
知识点一 反证法的定义
思考 在用反证法推出矛盾的推导过程中，可以作为条件使用的是( )
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
答案 C
梳理 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种基本方法．
知识点二 反证法的理论依据
思考 反证法解题的实质是什么？
答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．
梳理 由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性．根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法．也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立．
知识点三 反证法的一般步骤
思考 (1)反证法常见的主要矛盾有哪些？
(2)反证法适用范围主要有哪些方面？
答案 (1)常见的主要矛盾有三类：与已知条件矛盾，与假设矛盾(自相矛盾)，与定义、定理、公理及事实矛盾．
(2)一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等．
梳理 反证法的证题步骤
(1)反设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立．
(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等．
(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而证明了结论成立．
1．反证法属于间接证明问题的方法．( √ )
2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( × )
3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．( √ )
类型一 反证法概念的理解
例1 反证法是( )
A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B．对其否命题的证明
C．对其逆命题的证明
D．分析法的证明方法
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 A
解析 反证法是先否定结论，在此基础上，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而证明了原命题成立．
反思与感悟 对于反证法，其实质是先否定结论，根据否定后的结论，连同题目条件，推出矛盾，从而侧面说明原命题成立．
跟踪训练1 (1)命题“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．aC．a＝b D．a≥b
(2)用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，则a，b，c中存在偶数”时，下列假设正确的是________．(填序号)
①假设a，b，c都是偶数；②假设a，b，c都不是偶数；③假设a，b，c至多有一个是偶数；④假设a，b，c至多有两个是偶数．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 (1)B (2)②
解析 (1)“a>b”的否定应为“a＝b或a
类型二 反证法的应用
命题角度1 证明一般性命题
例2 用反证法证明：已知a，b均为有理数，且和都是无理数，求证：＋是无理数．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设＋为有理数，易知(＋)(－)＝a－b，
由a>0，b>0，得＋>0，
∴－＝.
∵a，b为有理数，且＋为有理数，
∴为有理数，即－为有理数，
∴(＋)＋(－)为有理数，
即2为有理数，
从而也应为有理数，这与为无理数矛盾．
∴＋是无理数．
反思与感悟 用反证法证明数学命题步骤：
第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设綈q；
第二步，由綈q出发，应用正确的推理，得出矛盾；
第三步，断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题．
跟踪训练2 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设，，成等差数列，
则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.
又b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，
∴(－)2＝0，即＝，
从而a＝b＝c，这与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
命题角度2 证明“至多、至少、唯一性”问题
例3 若x，y均是正实数，且x＋y>2，求证：<2和<2中至少有一个成立．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设<2和<2都不成立，
∴≥2且≥2.
又∵x，y都是正实数，
∴相加得2＋x＋y≥2(x＋y)，
∴x＋y≤2，与x＋y>2矛盾，
∴假设不成立，原命题结论正确．
反思与感悟 常用的“原结论词”与“反设词”如下表：
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有n－1个
至少有n＋1个
跟踪训练3 已知函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根α，β，
即f(α)＝f(β)＝0，且α≠β，不妨设α>β，
∵f(x)在区间[a，b]上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，
∴f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
命题角度3 证明否定性命题
例4 已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，，不可能构成等差数列．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设，，成等差数列，则＝＋，
∴2ac＝bc＋ab.①
又a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c.②
∴2ac＝b(a＋c)＝b·2b，
∴b2＝ac.③
由②，得4b2＝(a＋c)2，
把③代入上式得4ac＝(a＋c)2，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c.
把a＝c代入②得b＝a，故a＝b＝c，
∴公差为0，这与已知矛盾．
∴，，不可能成等差数列．
反思与感悟 证明否定性问题常用反证法，例如证明异面直线，可以先假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
跟踪训练4 设0
题点 反证法的应用
证明 假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于，
则(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
所以(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a>，
即(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>.
因为(1－a)a≤2＝，(1－b)b≤2＝，(1－c)c≤2＝，
所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤，
这与(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>矛盾．
所以假设不成立，所以原结论成立.
1．以下各数不能构成等差数列的是( )
A．3,4,5 B.，，
C．3,6,9 D.，，
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 B
解析 假设，，成等差数列，则2＝＋，即12＝7＋2，此等式不成立，故，，不能构成等差数列．
2．异面直线在同一个平面上的射影不可能是( )
A．两条平行直线 B．两条相交直线
C．一个点与一条直线 D．同一条直线
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 D
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC，故排除C；BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC，故排除B；BA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A.故选D.
3．由四种命题的关系可知，反证法的实质是通过________来证明原命题的正确性．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 逆否命题
4．用反证法证明命题：“若a，b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是________________．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 a≠1或b≠1
解析 结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”．
5．证明：方程2x＝3有且仅有一个实根．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 ∵2x＝3，∴x＝，
∴方程2x＝3至少有一个实根．
设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，
则
由①－②得2(x1－x2)＝0，∴x1＝x2，
这与x1≠x2矛盾．
∴方程2x＝3有且仅有一个实根成立．
用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.
一、选择题
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 B
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 D
解析 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有2个偶数”．
3．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )
A．无解 B．两解
C．至少两解 D．无解或至少两解
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 D
解析 “唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面是“没有或至少有两个”．
4．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b为异面直线，则( )
A．a，b都与l相交
B．a，b中至少有一条与l相交
C．a，b中至多有一条与l相交
D．a，b都不与l相交
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 B
解析 逐一从假设选项成立入手分析，易得B正确．
5．“集合M不是集合N的子集”的充要条件是( )
A．若x∈M，则xD∈/N
B．若x∈N，则x∈M
C．存在x1∈M，使得x1∈N，且存在x2∈M，x2D∈/N
D．存在x0∈M，使得x0D∈/N
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 D
解析 若集合M是集合N的子集，则对任意的x∈M，都有x∈N，因此该命题的否定为：若存在x0∈M，使得x0D∈/N，则M不是N的子集．
6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 C
解析 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故选C.
7．若实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则( )
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2
D．a，b，c中至少有一个不小于
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 D
解析 假设a，b，c均小于，则a＋2b＋c<＋1＋＝2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于.
8．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“a
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 B
解析 ①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
二、填空题
9．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设__________．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 x＝a或x＝b
10．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 ③
11．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是____________________________．
考点 反证法及应用
题点 如何正确进行反设
答案 a，b都不能被2整除
解析 根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”．
三、解答题
12．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证a，b，c中至少有一个是大于0的．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设a，b，c都不大于0，
则a≤0，b≤0，c≤0，
∴a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
∴a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，
∴假设不成立，
∴a，b，c中至少有一个是大于0的．
13．已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2.
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设p＋q>2，则p>2－q，将其两边立方，得
p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.
将p3＋q3＝2代入上式，得6q2－12q＋6<0，即6(q－1)2<0，与(q－1)2≥0矛盾，故p＋q≤2.
四、探究与拓展
14．若两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 (－∞，－2]∪[－1，＋∞)
解析 假设两个一元二次方程均无实根，
则有
即
解得－2
15．对于直线l：y＝kx＋1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为常数)对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
解 假设存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由?(3－k2)x2－2kx－2＝0.④
由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2，⑤
由④知x1＋x2＝，
代入⑤整理得ak＝3，与①矛盾．
故不存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称．