3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案

§3.1　数系的扩充和复数的概念
3.1.1　数系的扩充和复数的概念
学习目标　1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性.2.理解复数的有关概念及其代数形式.3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件.4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题．
知识点一　对虚数单位的理解
在实数集中，有些方程是无解的，例如x2＋1＝0，为此，人们引进一个新数i，并且规定：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1；
(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
知识点二　复数的概念与分类
思考　为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
梳理　(1)复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
(2)复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
知识点三　两个复数相等的充要条件
思考　由4>2能否推出4＋i>2＋i?
答案　不能．当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
梳理　在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
知识点四　复数的分类
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　×　)
2．复数z＝bi是纯虚数．(　×　)
3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　√　)
类型一　数系的扩充与复数的概念
例1　(1)在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)给出下列四个命题：
①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等；④若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．
其中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)i，(1－)i为纯虚数；2＋，0,0.618是实数；8＋5i是虚数．
(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不一定成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题．对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题．对于③，复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，因此③为假命题．对于④，当a＝－1时，(a＋1)i为实数，所以④为假命题，因此四个命题都是假命题．
反思与感悟　(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
跟踪训练1　下列命题：
①1＋i2＝0；
②若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
③两个虚数不能比较大小．
是真命题的为________．(填序号)
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　①③
解析　②当x＝i，y＝1时，x2＋y2＝0，所以②错．
所以①③正确．
类型二　复数的分类
例2　求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)虚数；(2)纯虚数．
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
解　(1)复数z是虚数的充要条件是
解得m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．
(2)复数z是纯虚数的充要条件是
解得即m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数．
引申探究
1．若本例条件不变，m为何值时，z为实数．
解　由已知得，复数z的实部为，
虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是
解得即m＝－2.
∴当m＝－2时，复数z是实数．
2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数．
答案　3或－2
解析　由题意知
解得m＝3或－2.
反思与感悟　根据复数的定义，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数．要充分理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的另一个必要条件是b≠0，计算中分母不为0也不可忽视．
跟踪训练2　已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)纯虚数．
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
解　(1)因为z是零，所以解得m＝1.
故当m＝1时，z是零．
(2)因为z是纯虚数，所以解得m＝0.
故当m＝0时，z是纯虚数．
类型三　复数相等及应用
例3　若关于x的方程(1＋i)x2－2(a＋i)x＋5－3i＝0(a∈R)有实数解，求a的值．
考点　复数相等
题点　利用复数相等解决一元二次方程
解　将原方程整理，得(x2－2ax＋5)＋(x2－2x－3)i＝0.
设方程的实数解为x0，代入上式得
(x－2ax0＋5)＋(x－2x0－3)i＝0.
由复数相等的充要条件，得
得a＝或a＝－3.
反思与感悟　已知两个复数相等求参数值的问题，可根据相等的定义将其转化为方程(组)来求解．当两个复数相等时，应先分清两个复数的实部与虚部，然后让实部与实部相等，虚部与虚部相等．
跟踪训练3　(1)满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为(　　)
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
考点　复数相等
题点　复数相等的条件
答案　A
解析　依题意得解得故选A.
(2)已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
考点　复数相等
题点　复数相等的条件
解　由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，
∴解得a＝－1.
1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是(　　)
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1 B．2
C．3 D．0
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　A
解析　易知①正确，②③错误，故选A.
2．下列各数中，纯虚数的个数是(　　)
2－，i，i2,5i＋8，i2＋1＋3i,0.618＋ai(a∈R)．
A．0 B．1
C．2 D．3
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　C
解析　由纯虚数的定义知，i，i2＋1＋3i＝3i是纯虚数．
3．复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，若z1＝z2，则θ等于(　　)
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
考点　复数相等
题点　复数相等的条件
答案　D
解析　由复数相等的充要条件可知，
∴cosθ＝，sinθ＝，
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
4．3i2＋7i的实部为________，虚部为________．
考点　复数的概念
题点　求复数的实部与虚部
答案　－3　7
解析　3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.
5．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　－1
解析　∵z<0，∴z为实数且小于0，∴
解得m＝－1.
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．
一、选择题
1．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　)
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－3
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．1的平方等于i
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　C
解析　对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D,1的平方仍为1.故选C.
2．i是虚数单位，i＋i2＋i3等于(　　)
A．－1 B．1
C．－i D．i
考点　虚数单位i及其性质
题点　虚数单位i的运算性质
答案　A
解析　i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.
3．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　　)
A．－3 B．3
C．－1 D．1
考点　复数相等
题点　复数相等的条件
答案　C
解析　易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，
则a＝－1.
4．复数i的虚部为(　　)
A．2 B．－
C．2－ D．0
考点　复数的概念
题点　求复数的实部与虚部
答案　C
5．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　)
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a≤0
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
答案　D
解析　复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.
6．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
答案　B
解析　因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，
所以解得a＝2.
7．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
考点　复数相等
题点　利用复数相等解决一元二次方程
答案　B
解析　由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得∴z＝3－i.
8．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)
A.B．2C．0D．1
考点　复数相等
题点　复数相等的条件
答案　D
解析　由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
二、填空题
9．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
考点　复数相等
题点　复数相等的条件
答案　－4
解析　易知解得a＝－4.
10．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹方程是__________．
考点　复数相等
题点　复数相等的条件
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析　由复数相等的充要条件知，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
11．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
答案　－2
解析　由解得m＝－2.
三、解答题
12．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
13．已知复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)若z是纯虚数，求a的值；
(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大，求a的取值范围．
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　复数z＝a2－1－(a2－3a＋2)i，a∈R.
(1)若z是纯虚数，可得a2－1＝0，a2－3a＋2≠0，
解得a＝－1.
(2)若z是虚数，且z的实部比虚部大，
可得a2－1>－a2＋3a－2≠0，
解得a>1或a<且a≠2.
所以a的取值范围为∪(1,2)∪(2，＋∞)．
四、探究与拓展
14．已知(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且m∈R，n∈N*，则m＋n＝________.
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
答案　1或2
解析　由题意得
由②，得m＝0或m＝3.
当m＝0时，由(m＋n)≥－1，得0∴n＝1或n＝2.
当m＝3时，由(m＋n)≥－1，得0∴－3∴m，n的值分别为m＝0，n＝1或m＝0，n＝2.
故m＋n的值为1或2.
15．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
考点　复数相等
题点　由复数相等解决一元二次方程问题
解　设a为方程的一个实数根，则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.
由复数相等的充要条件得
解得
故实数m的值为.