3.1.2　复数的几何意义学案

3.1.2　复数的几何意义
学习目标　1.了解复数z、复平面内的点Z、向量之间的一一对应关系.2.理解并掌握复数的几何意义.3.通过对复数的几何意义的学习，了解“数与形”之间的联系，提高用数形结合思想解决问题的能力．
知识点一　复平面的定义
思考1　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
答案　任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．
思考2　判断下列命题的真假：
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．
答案　①②③正确，④⑤错误．因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以④错．因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，所以⑤错．
梳理　如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
知识点二　复数的几何意义
思考　平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？
答案　向量的起点是原点．
梳理　复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量是一一对应的．
知识点三　复数的模
思考　(1)复数的模一定是正数吗？
(2)若复数z满足|z|＝1，则在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？
答案　(1)不一定，复数的模是非负数，即|z|≥0.
当z＝0时，|z|＝0；
反之，当|z|＝0时，必有z＝0.
(2)点Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的一个圆．
梳理　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　√　)
2．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　×　)
类型一　复平面的相关概念
例1　(1)对于复平面，下列说法错误的是(　　)
A．实轴上的点都表示实数，表示实数的点都在实轴上
B．虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上
C．第一象限的点都表示实部为正数的虚数
D．实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
(2)下列命题为假命题的是(　　)
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
(3)向量＝(0，－3)对应的复数是________．
考点　复数的几何意义
题点　复数与向量的对应关系
(4)已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　(1)B　(2)D　(3)－3i　(4)
解析　(1)原点是虚轴上的点，但它表示实数．
(2)D中两个复数不一定能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错．
(3)易知向量对应的复数为－3i.
(4)|z|＝＝.
反思与感悟　确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．
跟踪训练1　已知复数z＝m－2－(4－m2)i，且复数z在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m的值为(　　)
A．0B．2C．－2D．±2
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　当点在虚轴上时，实部m－2＝0，∴m＝2.
类型二　复数的几何意义
例2　实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
引申探究　
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；(2)第四象限．
解　(1)当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．
(2)当实数x满足
即当2反思与感悟　按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练2　(1)当0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　D
解析　z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点为(m＋1，m－1)，
∵0∴点(m＋1，m－1)位于第四象限．
(2)已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
考点　复数的几何意义
题点　复数与向量的对应关系
解　因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．
因为与共线，所以存在实数k，使得＝k，
即(2a,1)＝(－3k,4k)，所以所以
故a的值为－.
类型三　复数的模
命题角度1　复数模的基本运算
例3　(1)如果复数z＝1＋ai满足条件|z|<2，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，2) B．(－2,2)
C．(－1,1) D．(－，)
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求复数
(2)若复数z＝sin－icos，则|z|＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　(1)D　(2)
解析　(1)因为|z|<2，所以<2，
则1＋a2<4，所以a2<3，
解得－(2)因为z＝－i，
所以|z|＝＝.
反思与感悟　复数的模的几何意义是复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加以理解．
跟踪训练3　设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝＋i，求z1与z2.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求复数
解　设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝＋i，
∴a＋c＝，且b＋d＝，
∴a＝－c，b＝－d，
∴z1＝＋i，z2＝c＋di.
∵|z1|＝|z2|＝1，
∴＝＝1，
解得或
∴z1＝－＋i，z2＝1或z1＝1，z2＝－＋i.
命题角度2　复数模的几何意义
例4　已知z＝cos＋isin，i为虚数单位，那么在平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹是(　　)
A．圆面
B．以点C为圆心，半径等于1的圆
C．满足方程x2＋y2＝1的曲线
D．满足方程(x－1)2＋(y－2)2＝的曲线
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决轨迹、图形
答案　B
解析　由z＝cos＋isin，
得|z|＝1，故到点C(1,2)的距离为1的点的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，
该方程表示以点C为圆心，半径等于1的圆．
反思与感悟　对于复数的模，可以从以下两个方面进行理解：一是任何复数的模都为一个非负的实数；二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离．
跟踪训练4　已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，复数z的虚部为，且|z|＝2，若复数z在复平面内对应的点在第二象限，则复数z＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用复数的模的定义求复数
答案　－1＋i
解析　由已知得∴
又∵复数z对应的点在第二象限，
∴a＝－1，则z＝－1＋i.
1．复数z与它的模相等的充要条件是(　　)
A．z为纯虚数 B．z是实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　D
解析　由z＝|z|，故z∈R且z≥0.
2．已知与x轴同方向的单位向量为e1，与y轴同方向的单位向量为e2，则它们对应的复数分别是(　　)
A．e1对应实数1，e2对应虚数i
B．e1对应虚数i，e2对应虚数i
C．e1对应实数1，e2对应虚数－i
D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i
考点　复数的几何意义
题点　复数与向量的对应关系
答案　A
解析　e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为________．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　－1或4
解析　由题意知m2－3m－4＝0，解得m＝－1或m＝4.
4．若复数z＝3a－6i的模为，则实数a的值为________．
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求复数
答案　±
解析　由|z|＝＝，解得a＝±.
5．已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求复数
解　方法一　∵z＝3＋ai(a∈R)，
∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，
∴a2<7，∴a∈(－，)．
方法二　由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
∴线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，
由图可知－1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法(即数形结合法)解决，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．
一、选择题
1．若＝(0，－3)，则对应的复数(　　)
A．等于0
B．等于－3
C．在虚轴上
D．既不在实轴上，也不在虚轴上
考点　复数的几何意义
题点　复数与向量的对应关系
答案　C
解析　对应的复数为－3i.
2．复数z＝－1＋2017i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　复数z＝－1＋2017i(i是虚数单位)在复平面内对应的点为(－1,2017)，位于第二象限．
3．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0 D．a＝0
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　C
解析　由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.
4．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)
A．1或3 B．1
C．3 D．2
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用模的定义求复数
答案　A
解析　由题意知|z|＝＝2，
解得m＝1或3.
5．复数z1＝1＋i，z2＝1－i在复平面内对应的点关于(　　)
A．实轴对称
B．虚轴对称
C．一、三象限的平分线对称
D．二、四象限的平分线对称
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　A
解析　由两复数实部相等，虚部互为相反数，得复数z1＝1＋i，z2＝1－i在复平面内对应的点关于实轴对称．
6．已知0A．(1,5) B．(1,3)
C．(1，) D．(1，)
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　C
解析　由已知得|z|＝.
由0∴|z|＝∈(1，)．故选C.
7．若A，B是锐角三角形ABC的两内角，则复数z＝(cosB－sinA)＋(sinB－cosA)i在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　∵A，B是锐角三角形ABC的两内角，
∴A＋B>，
∴A>－B，且A∈，∈，
∴sinA>sin，
即sinA>cosB，∴cosB－sinA<0.
同理可得sinB>cosA，
∴sinB－cosA>0，
∴z在复平面内所对应的点位于第二象限．
二、填空题
8．设z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面内的点Z(a，b)对应，当b＝________时，点Z位于实轴上．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　0
解析　当b＝0时，复数z＝a＋bi＝a为实数，其在复平面内对应的点落在实轴上．
9．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　5
解析　由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
10．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　由复数模的定义求复数
答案　－15－8i或15－8i
解析　设复数z＝a－8i(a∈R)，
∵＝17，∴a2＝225，
∴a＝±15，∴z＝－15－8i或15－8i.
11．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为________．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　13
解析　复数z＝－5－12i在复平面内对应的点为(－5，－12)，
所以所求距离d＝13.
三、解答题
12.在复平面内，A，B，C，D，E，F六个点的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)．指出各点表示的复数，并对这些复数进行归类．
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
解　由图中所给点的位置可得A点对应的复数为1＋i，B点对应的复数为3i，C点对应的复数为－2＋2i，D点对应的复数为－2－2i，E点对应的复数为－2i，F点对应的复数为2.
对复数进行分类可得，虚数有A点对应的复数1＋i，B点对应的复数3i，C点对应的复数－2＋2i，D点对应的复数－2－2i，E点对应的复数－2i.其中，纯虚数有B点对应的复数3i和E点对应的复数－2i.
实数有F点对应的复数2.
13．设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(?UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决轨迹、图形问题
解　因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，
由||z|－1|＝1－|z|得1－|z|≥0，
即|z|≤1，所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．
又B＝{z||z|<1，z∈C}，
所以?UB＝{z||z|≥1，z∈C}．
因为z∈A∩(?UB)等价于z∈A且z∈?UB，
所以解得|z|＝1.
由模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．
四、探究与拓展
14．已知z1，z2是复数，以下结论正确的是(　　)
①若z1＋z2＝0，则z1＝0，且z2＝0；
②若|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0，且z2＝0；
③若|z1|＝|z2|，则向量和重合．
A．仅②正确 B．仅②③正确
C．仅①②正确 D．仅③正确
考点　复数的几何意义
题点　复数与向量的对应关系
答案　A
解析　①z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2.②|z1|＋|z2|＝0，说明|z1|＝|z2|＝0，即z1＝z2＝0.③|z1|＝|z2|，说明||＝||，但与方向不一定相同．所以仅②正确．故选A.
15．设z＝a＋bi(a，b∈R)，求在复平面内满足下列条件的点的集合所组成的图形．
(1)|a|<2，且|b|<2；
(2)|z|≤2，且|b|>1；
(3)|z|＝2，且a>b.
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决轨迹、图形问题
解　(1)在复平面内，满足不等式|a|<2的点组成的图形是位于两条平行直线x＝±2之间的部分(不包括两条直线)，满足不等式|b|<2的点组成的图形是位于两条平行直线y＝±2之间的部分(不包括两条直线)，两者的公共部分即为所求，即以原点为中心，边长等于4，各边分别平行于坐标轴的正方形区域，但不包括边界，如图①所示．(2)不等式|z|≤2的解集对应的点的集合所组成的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆的内部及其边界，满足条件|b|>1的点的集合所组成的图形是直线y＝1以上及直线y＝－1以下的点组成的图形，两者的公共部分即为所求，即以原点为圆心，以2为半径的圆被直线y＝±1所截得的两个弓形区域，但不包括弦上的点，如图②所示．(3)方程|z|＝2的解集对应的点的集合所组成的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆周，满足条件a>b的点组成的图形是位于直线y＝x下方的半平面，其中不包括直线y＝x上的点，两者的公共部分即为所求，如图③所示．