3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学案
文档属性
| 名称 | 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 224.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-17 23:06:07 | ||
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文档简介
§3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
学习目标 1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质．
知识点一 复数代数形式的加减法
思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
思考2 若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
答案 不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
梳理 (1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二 复数加减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
答案 如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，
则＝(a，b)，＝(c，d)，
由平面向量的坐标运算，得＋＝(a＋c，b＋d)，
所以＋与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．
思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
答案 z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.
梳理
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )
2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ )
3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( × )
类型一 复数的加、减法运算
例1 计算：(1)＋；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
考点 复数的加减运算法则
题点 复数加减法的综合应用
解 (1)原式＝－i＝－i.
(2)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i.
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.
反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．
跟踪训练1 (1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.
考点 复数的加减运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 (1)6－2i (2)－a＋(4b－3)i (3)－4＋3i
解析 (1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，
∴解得
∴z＝－4＋3i.
类型二 复数加、减法的几何意义
例2 已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
(1)求z1－z2；
(2)在复平面内作出z1－z2的运算结果所对应的向量．
考点 复数的加减运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
解 (1)z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.
(2)在复平面内作z1－z2的运算结果所对应的向量，如图中所示的.
反思与感悟 复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算．
跟踪训练2 已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 C
解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，
故复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－3)，故选C.
类型三 复数加、减法及其几何意义的综合运用
例3 已知复数z的模为2，求复数1＋i＋z的模的最大值、最小值．
考点 复数加减法的几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题
解 由已知得，在复平面内复数z对应的点Z在以原点为圆心，半径为2的圆上．
设w＝1＋i＋z，∴z＝w－1－i，
∴|z|＝|w－(1＋i)|＝2，
∴在复平面内复数w对应的点在以(1，)为圆心，半径为2的圆上，且该圆过点(0,0)，
故|1＋i＋z|max＝4，|1＋i＋z|min＝0.
反思与感悟 在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即所对应的复数是zB－zA，所对应的复数是zA－zB，不可把被减数与减数弄错．
跟踪训练3 在平行四边形ABCD中，点A，B，C对应的复数分别为4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3i B．4＋8i
C．4－8i D．1＋4i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 C
解析 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i.
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
又＝，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.
1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( )
A．1 B．－i
C．5＋2i D．1－i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 A
解析 (3＋i)－(2＋i)＝1.
2．在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 C
解析 ＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，
故＋对应的复数为0.
3．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于( )
A．1B.C．2D．2
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 D
解析 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.
4．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2∈R)，则|z2－z1|＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案
解析 ∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，
∴z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，
∴|z2－z1|＝.
5．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则2z1＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 8＋2i
解析 两式相加得2z1＝8＋2i.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 A
解析 z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，
即 ∴x＝y＝1，则xy＝1.
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 C
解析 z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，
由题意知解得a＝－2.
3．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 D
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i，
则 解得
∴z＝＋i.
4．已知z1＝3－4i，z2＝－1＋2i，则复数z＝z1＋z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 D
解析 z＝z1＋z2＝3－4i＋(－1＋2i)＝2－2i，z在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限．
5．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1对应的向量是( )
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 A
解析 由题图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，故选A.
6．已知z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0B．1C.D.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 C
解析 由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是直线y＝－x，
∴|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，
故所求最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离.
7．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2B．4C．4D．8
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 C
解析 ∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi，
∴|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
∴x＝－2y＋3，∴2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝8×y＋4y≥4，
当且仅当8×y＝4y，
即y＝时，等号成立．
二、填空题
8．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝________.
考点 复数的加减法的运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 16i
解析 原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.
9．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是z＝________.
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 ＋i
解析 设这个复数为z＝x＋yi(x，y∈R)，
∴x＋yi＋＝5＋i，
∴∴
∴z＝x＋yi＝＋i.
10．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
考点 复数的加减法的运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 5－9i －8－7i
解析 z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又z＝13－2i，
所以解得
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.
11．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 －4
解析 因为＋＝，
所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以解得故a－b＝－4.
三、解答题
12．(1)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求x＋yi；
(2)已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，求实数a的值．
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
解 (1)∵z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i，
又z1＋z2＝5－6i，
∴∴∴x＋yi＝2＋8i.
(2)∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴解得a＝－1.
13．复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，m∈R.若z1＋z2>0，求实数m的值．
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
解 z1＋z2＝(－2mi)＋(－m＋m2i)＝(－m)＋(m2－2m)i.
∵z1＋z2>0，∴z1＋z2为实数且大于0，
∴解得m＝2.
四、探究与拓展
14．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.
考点 复数的加减法的运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 3
解析 z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]
＝＋[(a＋1)－(b＋2)]i＝＋(a－b－1)i＝4，
∴解得∴a＋b＝3.
15．设z为复数，D为满足条件||z|－1|＋|z|－1＝0的点Z所构成图形的边界．
(1)若复数ω＝z＋1－2i(其中z∈D)，试证明表示复数ω的点在某一个圆上运动，并写出此圆的复数方程；
(2)若满足条件＝的点所构成的图形D′与D有两个公共点A，B，OA，OB的倾斜角分别为α，β(O为原点)，求cos(α＋β)的值．
考点 复数加减法几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的综合应用
解 (1)由已知得||z|－1|＝－(|z|－1)，
∴|z|－1≤0，即|z|≤1，∴|z|＝1.
又∵ω＝z＋1－2i，
∴ω－1＋2i＝z，
∴|ω－(1－2i)|＝|z|＝，
∴ω所对应的点在以(1，－2)为圆心，为半径的圆上运动．
圆的复数方程为|ω－(1－2i)|＝.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵|z|＝1，∴x2＋y2＝1.①
由＝，得x＝－3y＋2.②
把②代入①整理得10y2－12y＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1·y2＝.
又x2＋y2＝1，
设x1＝cosα，x2＝cosβ，y1＝sinα，y2＝sinβ，
∴sinα·sinβ＝y1·y2＝，
cosα·cosβ＝x1·x2＝(－3y1＋2)(－3y2＋2)＝9y1y2－6(y1＋y2)＋4＝－.
∴cos(α＋β)＝－.
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
学习目标 1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质．
知识点一 复数代数形式的加减法
思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
思考2 若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
答案 不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
梳理 (1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二 复数加减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
答案 如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，
则＝(a，b)，＝(c，d)，
由平面向量的坐标运算，得＋＝(a＋c，b＋d)，
所以＋与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．
思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
答案 z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.
梳理
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )
2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ )
3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( × )
类型一 复数的加、减法运算
例1 计算：(1)＋；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
考点 复数的加减运算法则
题点 复数加减法的综合应用
解 (1)原式＝－i＝－i.
(2)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i.
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.
反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．
跟踪训练1 (1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.
考点 复数的加减运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 (1)6－2i (2)－a＋(4b－3)i (3)－4＋3i
解析 (1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，
∴解得
∴z＝－4＋3i.
类型二 复数加、减法的几何意义
例2 已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
(1)求z1－z2；
(2)在复平面内作出z1－z2的运算结果所对应的向量．
考点 复数的加减运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
解 (1)z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.
(2)在复平面内作z1－z2的运算结果所对应的向量，如图中所示的.
反思与感悟 复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算．
跟踪训练2 已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 C
解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，
故复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－3)，故选C.
类型三 复数加、减法及其几何意义的综合运用
例3 已知复数z的模为2，求复数1＋i＋z的模的最大值、最小值．
考点 复数加减法的几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题
解 由已知得，在复平面内复数z对应的点Z在以原点为圆心，半径为2的圆上．
设w＝1＋i＋z，∴z＝w－1－i，
∴|z|＝|w－(1＋i)|＝2，
∴在复平面内复数w对应的点在以(1，)为圆心，半径为2的圆上，且该圆过点(0,0)，
故|1＋i＋z|max＝4，|1＋i＋z|min＝0.
反思与感悟 在复平面内，任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去起点所对应的复数所得的差，即所对应的复数是zB－zA，所对应的复数是zA－zB，不可把被减数与减数弄错．
跟踪训练3 在平行四边形ABCD中，点A，B，C对应的复数分别为4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3i B．4＋8i
C．4－8i D．1＋4i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 C
解析 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i.
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
又＝，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.
1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为( )
A．1 B．－i
C．5＋2i D．1－i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 A
解析 (3＋i)－(2＋i)＝1.
2．在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 C
解析 ＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，
故＋对应的复数为0.
3．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于( )
A．1B.C．2D．2
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 D
解析 由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.
4．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2∈R)，则|z2－z1|＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案
解析 ∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，
∴z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，
∴|z2－z1|＝.
5．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则2z1＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 8＋2i
解析 两式相加得2z1＝8＋2i.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 A
解析 z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，
即 ∴x＝y＝1，则xy＝1.
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 C
解析 z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，
由题意知解得a＝－2.
3．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 D
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i，
则 解得
∴z＝＋i.
4．已知z1＝3－4i，z2＝－1＋2i，则复数z＝z1＋z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 D
解析 z＝z1＋z2＝3－4i＋(－1＋2i)＝2－2i，z在复平面内对应的点的坐标为(2，－2)，位于第四象限．
5．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1对应的向量是( )
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 A
解析 由题图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，故选A.
6．已知z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0B．1C.D.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 C
解析 由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是直线y＝－x，
∴|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，
故所求最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离.
7．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2B．4C．4D．8
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 C
解析 ∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi，
∴|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
∴x＝－2y＋3，∴2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝8×y＋4y≥4，
当且仅当8×y＝4y，
即y＝时，等号成立．
二、填空题
8．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝________.
考点 复数的加减法的运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 16i
解析 原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.
9．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是z＝________.
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
答案 ＋i
解析 设这个复数为z＝x＋yi(x，y∈R)，
∴x＋yi＋＝5＋i，
∴∴
∴z＝x＋yi＝＋i.
10．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
考点 复数的加减法的运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 5－9i －8－7i
解析 z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又z＝13－2i，
所以解得
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.
11．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 －4
解析 因为＋＝，
所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以解得故a－b＝－4.
三、解答题
12．(1)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求x＋yi；
(2)已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，求实数a的值．
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
解 (1)∵z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i，
又z1＋z2＝5－6i，
∴∴∴x＋yi＝2＋8i.
(2)∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴解得a＝－1.
13．复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，m∈R.若z1＋z2>0，求实数m的值．
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
解 z1＋z2＝(－2mi)＋(－m＋m2i)＝(－m)＋(m2－2m)i.
∵z1＋z2>0，∴z1＋z2为实数且大于0，
∴解得m＝2.
四、探究与拓展
14．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.
考点 复数的加减法的运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 3
解析 z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]
＝＋[(a＋1)－(b＋2)]i＝＋(a－b－1)i＝4，
∴解得∴a＋b＝3.
15．设z为复数，D为满足条件||z|－1|＋|z|－1＝0的点Z所构成图形的边界．
(1)若复数ω＝z＋1－2i(其中z∈D)，试证明表示复数ω的点在某一个圆上运动，并写出此圆的复数方程；
(2)若满足条件＝的点所构成的图形D′与D有两个公共点A，B，OA，OB的倾斜角分别为α，β(O为原点)，求cos(α＋β)的值．
考点 复数加减法几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的综合应用
解 (1)由已知得||z|－1|＝－(|z|－1)，
∴|z|－1≤0，即|z|≤1，∴|z|＝1.
又∵ω＝z＋1－2i，
∴ω－1＋2i＝z，
∴|ω－(1－2i)|＝|z|＝，
∴ω所对应的点在以(1，－2)为圆心，为半径的圆上运动．
圆的复数方程为|ω－(1－2i)|＝.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵|z|＝1，∴x2＋y2＝1.①
由＝，得x＝－3y＋2.②
把②代入①整理得10y2－12y＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1·y2＝.
又x2＋y2＝1，
设x1＝cosα，x2＝cosβ，y1＝sinα，y2＝sinβ，
∴sinα·sinβ＝y1·y2＝，
cosα·cosβ＝x1·x2＝(－3y1＋2)(－3y2＋2)＝9y1y2－6(y1＋y2)＋4＝－.
∴cos(α＋β)＝－.