3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案

3.2.2　复数代数形式的乘除运算
学习目标　1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则.2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.3.理解并掌握共轭复数的性质及应用．
知识点一　复数的乘法及运算律
思考　请你探究in(n∈N*)的取值情况及其规律．
答案　in(n∈N*)的取值只有i，－1，－i,1，且具有周期性，具体取值规律为：i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1，k∈N.
梳理　(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知识点二　共轭复数
思考　当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？
答案　当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数，且有z·＝|z|2＝||2.事实上，若z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z·＝(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2.
梳理　(1)共轭复数的概念
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．z的共轭复数用表示．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
(2)共轭复数的性质
①在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．
②实数的共轭复数是它本身，即z＝?z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．
③若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．
④a.z·＝|z|2＝||2；b.|z|＝||；c.z＋＝2a，z－＝2bi(z＝a＋bi，a，b∈R)．
知识点三　复数的除法法则
1．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则＝＝＋i.
复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.
2．实数的平方根
设a∈R，当a＝0时，a的平方根为0；当a>0时，a的平方根是两个实数±；当a<0时，a的平方根是两个共轭纯虚数±i.
3．虚数的平方根
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，x＋yi(x，y∈R)是z＝a＋bi的平方根，则有(x＋yi)2＝a＋bi，即x2－y2＋2xyi＝a＋bi，所以有解方程组求出x，y的值即可．
1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减．(　√　)
2．两个共轭复数的和与积是实数．(　√　)
3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　×　)
类型一　复数的乘、除法运算
命题角度1　复数乘、除法基本运算
例1　(1)i(1－i)2的值等于(　　)
A．－4B．2C．－2iD．4i
(2)若复数z满足(1－z)(1＋2i)＝i，则在复平面内表示复数z的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)若复数z满足(1＋i)·z＝2i(i为虚数单位)，则复数z＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　(1)B　(2)D　(3)1＋i
解析　(1)i(1－i)2＝i(－2i)＝2.
(2)由(1－z)(1＋2i)＝i，得z＝1－＝＝＝－i，在复平面内表示复数z的点的坐标为，位于第四象限．
(3)z＝＝＝＝1＋i.
反思与感悟　(1)两个复数代数形式乘法的一般运算方法：首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
③(1±i)2＝±2i.
跟踪训练1　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　2
解析　因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，
得a＝2，b＝1，所以＝2.
(2)已知复数z满足(z＋2)＝4＋3i，求z.
解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i.
得
解得或
所以z＝－i或z＝－i.
命题角度2　复数乘除法的灵活运算
例2　计算下列各式：
(1)i2016＋(＋i)8－50；
(2)6.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
解　(1)原式＝i4×504＋[2(1＋i)2]4－25
＝1＋(4i)4－i25＝257－i.
(2)原式＝2＝2＝(－1)2＝1.
反思与感悟　复数四则运算的解答策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算法则可以类比多项式的运算法则，除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．
(2)记住一些结论，如(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i等．
跟踪训练2　(1)2005等于(　　)
A．i B．－i
C．22005 D．－22005
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　A
解析　原式＝2004＝i.
(2)计算：
①＋2000＋；
②1＋in＋i2n＋…＋i2000n(n∈N*)．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
解　①原式＝＋(－i)1000＋
＝i＋1＋＋i＝＋i.
②当n＝4k(k∈N*)时，原式＝＝2001.
当n≠4k(k∈N*)时，
原式＝＝＝＝1.
类型二　复数运算的综合应用
例3　试判断方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根，并解该方程．
考点　复数乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
解　设x0是方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0的实根，
则x－(4－2i)x0＋3－2i＝0，
整理得(x－4x0＋3)＋(2x0－2)i＝0，
则
解得x0＝1，故该方程有实根．
根据根与系数的关系，得方程的两个根分别为1,3－2i.
反思与感悟　根据复数相等的充要条件解决复系数方程是否有实根问题时，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，化复数问题为实数问题来解决．
跟踪训练3　(1)复数2＋2i的平方根是(　　)
A.＋i B.±i
C．±＋i D．±(＋i)
(2)已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q的值为(　　)
A．22B．36C．38D．42
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)设复数2＋2i的平方根为x＋yi(x，y∈R)，
则x2－y2＋2xyi＝2＋2i，
∴解得或
∴所求平方根为＋i或－－i.
(2)∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，
即2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0.
由复数相等得解得
∴p＋q＝38.
类型三　共轭复数的概念及其应用
例4　(1)若z＝，则复数等于(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
(2)若复数z满足(2－i)z＝5i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模是________．
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　(1)D　(2)
解析　(1)∵z＝＝＝＝2－i，
∴＝2＋i.
(2)由已知z＝＝＝i(2＋i)＝－1＋2i，故||＝|z|＝.
反思与感悟　(1)已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
(2)共轭复数的常用性质：①z·＝|z|2＝||2；
②＝＋，＝－，＝·，＝(z2≠0)；
③若z∈R，则z＝，反之亦成立；若z为纯虚数，则z＋＝0，反之亦成立．
跟踪训练4　(1)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，则的共轭复数为________．
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　i
解析　m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，
可得m＝2，n＝－2，
＝＝＝＝－i.
所以它的共轭复数为i.
(2)已知复数z满足：z·＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.
1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于(　　)
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　A
解析　z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i.
2．若i是虚数单位，则等于(　　)
A.－i B.＋i
C.＋i D.－i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　B
解析　＝＝＝＋i.
3．计算：10＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　－1
解析　10＝10＝(－i)10＝－1.
4．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　
解析　＝＝
＝，
根据已知条件，得a＝.
5．计算：
(1)＋－；
(2)(＋i)5＋4＋7.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
解　(1)原式＝[(1＋i)2]3＋[(1－i)2]3·－
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
＝8＋8－16－16i
＝－16i.
(2)(＋i)5＋4＋7
＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋2＋i7
＝16(－1＋i)－－i
＝－＋(16－1)i.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
一、选择题
1．已知i为虚数单位，复数z＝在复平面内对应的点为(　　)
A. B.
C. D.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应
答案　B
解析　z＝＝＝－i，
故复数z在复平面内对应的点为.
2．已知i为虚数单位，则等于(　　)
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　C
解析　＝＝＝2－3i.
3．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于(　　)
A．20＋15i B．20－15i
C．－20－15i D．－20＋15i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　D
解析　(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i－6i＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i＋4i＋2＝－20＋15i.
4．已知i为虚数单位，则2015等于(　　)
A．－iB．－1C．iD．1
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　A
解析　2015＝i2015＝i503×4＋3＝i3＝－i.
5．已知i为虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于(　　)
A．－B.C．－2D．2
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
答案　D
解析　(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(2a＋1)i，
因为它为纯虚数，所以即a＝2.
6．若复数z满足(＋3i)z＝3i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)
A.－i B.＋i
C.－i D.＋i
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　C
解析　z＝＝＝，
则＝－i.
7．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}满足“对任意的x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b＋c＋d等于(　　)
A．1B．－1C．0D．i
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的未知数求解
答案　B
解析　由已知条件得b＝－1，c＝±i，d＝－c，
∴b＋c＋d＝－1.
二、填空题
8．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则＝________.
考点　共轭复数的定义与应用
题点　与共轭复数有关的综合问题
答案　－1＋2i
解析　∵z＝－1－i，∴＝－1＋i，
＝＝＝－1＋2i.
9．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　1
解析　根据已知可得2－ai＝b＋i，
∴即∴a＋b＝1.
10．若关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应
答案　二
解析　∵mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，
∴∴m<0，p>0.
故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
三、解答题
11．计算：(1)(4i－6)；
(2).
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
解　(1)(4i－6)
＝·4i＋·(－6)＋i·4i＋i·(－6)
＝2i－3－6－9i＝－9－7i.
(2)
＝
＝
＝－i(1＋2i)＝2－i.
12．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c∈R)．
(1)求b，c的值；
(2)试证明1－i也是方程的根．
考点　复数四则运算的综合运用
题点　与混合运算有关的方程问题
(1)解　∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(2＋b)i＝0，
∴解得
(2)证明　由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
∴(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，
∴1－i也是方程的根．
13．已知复数z1，z2满足条件|z1|＝2，|z2|＝3,3z1＋2z2＝6，求z1和z2.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
解　方法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
∵|z1|＝2，|z2|＝3，
∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝9.
由3z1＋2z2＝6得(3a＋2c)＋(3b＋2d)i＝6，
∴
由①得a＝，由②得b＝－d，
将其代入a2＋b2＝4，得c2＋d2＝6c.③
将③与c2＋d2＝9联立，解得c＝，d＝±，
再将c，d的值代入①②，得a＝1，b＝?.
∴或
方法二　由3z1＋2z2＝6得2z2＝6－3z1.
∵|z2|＝3，∴|2z2|＝6，
∴|6－3z1|＝6，即|2－z1|＝2.
设z1＝x＋yi(x，y∈R)，将其代入|2－z1|＝2得|2－x－yi|＝2，
即(2－x)2＋y2＝4.①
又∵|z1|＝2，∴x2＋y2＝4.②
由①②得x＝1，y＝±.
∴或
四、探究与拓展
14．下面关于复数z＝的结论正确的是(　　)
①|z|＝2；
②z2＝2i；
③z的共轭复数为1＋i；
④z的虚部为－1.
A．①②B．②③C．②④D．③④
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
答案　C
解析　因为z＝＝＝－1－i，
所以|z|＝＝，z2＝(－1－i)2＝2i，
z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，所以②④正确．
15．设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
考点　
题点　
解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋＝(x＋yi)＋
＝＋i.
∵z＋∈R，∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1.
又∵z－＝＋yi是纯虚数，
∴x－＝0且y≠0.
∴x＝，y＝±，因此复数z＝±i.