第3章 数系的扩充与复数的引入章末复习学案
文档属性
| 名称 | 第3章 数系的扩充与复数的引入章末复习学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 176.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-17 23:22:54 | ||
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文档简介
章末复习
学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ (r≥0，r∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．2i＋5的共轭复数为2i－5.( × )
2．若m，n∈R，m＋(n－1)i＝1＋i，则m＝1，n＝2.( √ )
3．若z1，z2为复数，且z1－z2>0，则z1>z2.( × )
4．复数z＝i(2＋i)对应的点在第二象限．( √ )
5．若|z－z1|＝r，则在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以z1的对应点为圆心，半径为r的圆．( √ )
6．设复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝.( √ )
类型一 复数的概念
例1 已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)要使z为实数，需a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
解得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)要使z为虚数，需a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
解得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)要使z为0，需a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，
解得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
引申探究
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由．
解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1 已知关于x的方程10i＋x＋1＝3x2＋ix＋2ix2有实数根，求实数a的值．
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
解 设方程的实数根为m，
则原方程可变为＋(2m2＋m－10)i＝0，
∴由复数相等的充要条件得
解得或
故实数a的值为11或－.
类型二 复数的四则运算
例2 已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)求的模．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又∵＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
(2)＝＝
＝＝－2＋i，
∴＝|－2＋i|＝＝.
反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用．
跟踪训练2 已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，z2＝，且|z2|＝5，求z2.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
解 z1＝z2(2＋i)，
(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，
因为|z2|＝5，所以|z2(5＋5i)|＝50，
所以z2(5＋5i)＝±50，
所以z2＝±＝±＝±(5－5i)．
类型三 方程思想
例3 已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|＝2|z|，求z为何值时，|z|有最小值并求出最小值．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的方程问题
解 (1)将b代入题中方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0，
整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0.
则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
复数z在复平面内对应的点为Z，
则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.
所以点Z在以(－1,1)为圆心，2为半径的圆上．
画图可知，z＝1－i时，|z|min＝.
反思与感悟 方程思想主要用来分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．在本章中方程思想主要体现在复数相等的充要条件及点的轨迹和复数方程等问题上．
跟踪训练3 已知复数z满足(z＋)－3z·i＝1－3i，求复数z.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的方程问题
解 方法一 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入已知等式中得2x－(3x2＋3y2)i＝1－3i，
∴解得
∴z＝±i.
方法二 ∵z＋∈R，z·∈R，
∴
∴z，是方程x2－x＋1＝0的两根，
解方程得z＝±i.
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的几何意义
答案 A
解析 ＝＝＝＝1＋3i，
所以它的实部为1，虚部为3，所以它在复平面内对应的点的坐标为(1,3)．故选A.
2．复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的几何意义
答案 A
解析 复数i(1－2i)＝2＋i，在复平面内对应的点的坐标是(2,1)，位于第一象限．故选A.
3．设复数z满足＝i，则|z|等于( )
A．1B.C.D．2
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
答案 A
解析 由＝i得z＝＝＝i，
则|z|＝1.故选A.
4．计算：2－20.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
解 2－20
＝[(1＋2i)＋(－i)5]2－
＝(1＋i)2－(－1)＝1＋2i.
5．已知集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面内所对应的点集表示的图形；
(2)求集合P中复数z的模的最大值和最小值．
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的方程问题
解 (1)由|z－1|≤1可知集合M在复平面内对应的点集所表示的图形是以点E(1,0)为圆心，1为半径的圆的内部和边界，由|z－1－i|＝|z－2|可知集合N在复平面
内对应的点集所表示的图形是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P表示的图形是圆E截直线l所得的一条线段AB，如图所示．
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则圆E的方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的方程为y＝x－1，
解方程组
得A，B，
则|OA|＝＝，
|OB|＝＝，
又点O到直线l的距离为，且<，
则在集合P中复数z的模的最大值为，最小值为.
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．
2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．
3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．
一、选择题
1．已知f(x)＝x3－1，设i是虚数单位，则复数的虚部是( )
A．－1B．1C．iD．0
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 B
解析 f(i)＝i3－1＝－i－1，＝＝＝＝－1＋i，虚部是1.
2．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )
A．－2B．4C．6D．－6
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案 D
解析 ＝＝＝＋i.若复数是纯虚数，则＝0，且≠0，所以a＝－6.故选D.
3．已知是复数z的共轭复数，z＋＋z·＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的方程问题
答案 A
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋＝2x，z·＝x2＋y2，所以由z＋＋z·＝0，得x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，故选A.
4．在复平面内，一个正方形OACB的三个顶点A，B，O对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的顶点C对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 D
解析 ∵＝＋，
∴C点对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i.
5．已知复数z＝x＋yi满足|z－1|＝x，那么z在复平面内对应的点(x，y)的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
考点 复数的几何意义的综合运用
题点 利用几何意义解决轨迹、图形问题
答案 D
解析 ∵z＝x＋yi满足|z－1|＝x，
∴(x－1)2＋y2＝x2，∴y2＝2x－1.故选D.
6．当z＝时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1B．－1C．iD．－i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 D
解析 ∵z2＝2＝＝－i，
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i50－i25＋1＝－i.
7．已知复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向左平移一个单位长度，向下平移一个单位长度，得到B点，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为( )
A．－1B．1C．iD．－i
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，A点旋转后的点为A′，B点对应的复数为z1，
则由图可知，点A′的坐标为(－b，a)，z1＝(－b－1)＋(a－1)i.
∵点B与点A恰好关于坐标原点对称，
∴∴∴z＝1.
8．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋1＋i|的最小值是( )
A．1B.C．2D.
考点 复数加减法的几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题
答案 A
解析 设在复平面内，复数z对应的点为Z.
∵|z＋i|＋|z－i|＝2，
∴点Z在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z＋1＋i|表示点Z到点(－1，－1)的距离．
易知最小值为1.
二、填空题
9．在复平面内，已知复数z＝x－i所对应的点在单位圆内，则实数x的取值范围是________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案
解析 ∵z对应的点Z在单位圆内，
∴<1，∴x2＋<1，
∴x2<，∴－10．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
考点 复数四则运算的综合运用
题点 复数的混合运算
答案 4
解析 ＋＝
?＋＝
?x(1＋i)＋y(1＋2i)＝(1＋3i)
?解得所以x＋y＝4.
11．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝________.
考点 复数四则运算的综合运用
题点 复数的混合运算
答案 1－i
解析 z＝＝＝＝1－i.
12．已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________．
考点 复数问题中转化与化归思想
题点 转化与化归思想的应用
答案
解析 z1·z2＝(cos θ－i)·(sin θ＋i)
＝(cos θsin θ＋1)＋i(cos θ－sin θ)，
∴实部为cos θsin θ＋1＝1＋sin 2θ≤，
故实部的最大值为；
虚部为cos θ－sin θ＝cos≤，
故虚部的最大值为.
三、解答题
13．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
考点 复数加减法的几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得，a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
四、探究与拓展
14．已知f(x)＝则f＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 3
解析 ∵f(1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴f＝f(2)＝1＋2＝3.
15．设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根．
(1)求z1；
(2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数2满足|z·2|＝125，求z.
考点 共轭复数的定义与应用
题点 与共轭复数有关的综合问题
解 (1)因为Δ＝62－4×25＝－64，
所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i.
(2)由|z·(a－i)|＝125，得125·＝125，
所以a＝±2.
当a＝－2时，z＝(－2＋i)2＝3－4i；
当a＝2时，z＝(2＋i)2＝3＋4i.
学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ (r≥0，r∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．2i＋5的共轭复数为2i－5.( × )
2．若m，n∈R，m＋(n－1)i＝1＋i，则m＝1，n＝2.( √ )
3．若z1，z2为复数，且z1－z2>0，则z1>z2.( × )
4．复数z＝i(2＋i)对应的点在第二象限．( √ )
5．若|z－z1|＝r，则在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以z1的对应点为圆心，半径为r的圆．( √ )
6．设复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝.( √ )
类型一 复数的概念
例1 已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)要使z为实数，需a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
解得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)要使z为虚数，需a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
解得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)要使z为0，需a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，
解得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
引申探究
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由．
解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1 已知关于x的方程10i＋x＋1＝3x2＋ix＋2ix2有实数根，求实数a的值．
考点 复数相等
题点 复数相等的条件
解 设方程的实数根为m，
则原方程可变为＋(2m2＋m－10)i＝0，
∴由复数相等的充要条件得
解得或
故实数a的值为11或－.
类型二 复数的四则运算
例2 已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)求的模．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又∵＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
(2)＝＝
＝＝－2＋i，
∴＝|－2＋i|＝＝.
反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用．
跟踪训练2 已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，z2＝，且|z2|＝5，求z2.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
解 z1＝z2(2＋i)，
(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，
因为|z2|＝5，所以|z2(5＋5i)|＝50，
所以z2(5＋5i)＝±50，
所以z2＝±＝±＝±(5－5i)．
类型三 方程思想
例3 已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|＝2|z|，求z为何值时，|z|有最小值并求出最小值．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的方程问题
解 (1)将b代入题中方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0，
整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0.
则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
复数z在复平面内对应的点为Z，
则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.
所以点Z在以(－1,1)为圆心，2为半径的圆上．
画图可知，z＝1－i时，|z|min＝.
反思与感悟 方程思想主要用来分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．在本章中方程思想主要体现在复数相等的充要条件及点的轨迹和复数方程等问题上．
跟踪训练3 已知复数z满足(z＋)－3z·i＝1－3i，求复数z.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的方程问题
解 方法一 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入已知等式中得2x－(3x2＋3y2)i＝1－3i，
∴解得
∴z＝±i.
方法二 ∵z＋∈R，z·∈R，
∴
∴z，是方程x2－x＋1＝0的两根，
解方程得z＝±i.
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的几何意义
答案 A
解析 ＝＝＝＝1＋3i，
所以它的实部为1，虚部为3，所以它在复平面内对应的点的坐标为(1,3)．故选A.
2．复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的几何意义
答案 A
解析 复数i(1－2i)＝2＋i，在复平面内对应的点的坐标是(2,1)，位于第一象限．故选A.
3．设复数z满足＝i，则|z|等于( )
A．1B.C.D．2
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
答案 A
解析 由＝i得z＝＝＝i，
则|z|＝1.故选A.
4．计算：2－20.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
解 2－20
＝[(1＋2i)＋(－i)5]2－
＝(1＋i)2－(－1)＝1＋2i.
5．已知集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面内所对应的点集表示的图形；
(2)求集合P中复数z的模的最大值和最小值．
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的方程问题
解 (1)由|z－1|≤1可知集合M在复平面内对应的点集所表示的图形是以点E(1,0)为圆心，1为半径的圆的内部和边界，由|z－1－i|＝|z－2|可知集合N在复平面
内对应的点集所表示的图形是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P表示的图形是圆E截直线l所得的一条线段AB，如图所示．
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则圆E的方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的方程为y＝x－1，
解方程组
得A，B，
则|OA|＝＝，
|OB|＝＝，
又点O到直线l的距离为，且<，
则在集合P中复数z的模的最大值为，最小值为.
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．
2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．
3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．
一、选择题
1．已知f(x)＝x3－1，设i是虚数单位，则复数的虚部是( )
A．－1B．1C．iD．0
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 B
解析 f(i)＝i3－1＝－i－1，＝＝＝＝－1＋i，虚部是1.
2．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )
A．－2B．4C．6D．－6
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案 D
解析 ＝＝＝＋i.若复数是纯虚数，则＝0，且≠0，所以a＝－6.故选D.
3．已知是复数z的共轭复数，z＋＋z·＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的方程问题
答案 A
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋＝2x，z·＝x2＋y2，所以由z＋＋z·＝0，得x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，故选A.
4．在复平面内，一个正方形OACB的三个顶点A，B，O对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的顶点C对应的复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 D
解析 ∵＝＋，
∴C点对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i.
5．已知复数z＝x＋yi满足|z－1|＝x，那么z在复平面内对应的点(x，y)的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
考点 复数的几何意义的综合运用
题点 利用几何意义解决轨迹、图形问题
答案 D
解析 ∵z＝x＋yi满足|z－1|＝x，
∴(x－1)2＋y2＝x2，∴y2＝2x－1.故选D.
6．当z＝时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1B．－1C．iD．－i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 D
解析 ∵z2＝2＝＝－i，
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i50－i25＋1＝－i.
7．已知复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向左平移一个单位长度，向下平移一个单位长度，得到B点，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为( )
A．－1B．1C．iD．－i
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，A点旋转后的点为A′，B点对应的复数为z1，
则由图可知，点A′的坐标为(－b，a)，z1＝(－b－1)＋(a－1)i.
∵点B与点A恰好关于坐标原点对称，
∴∴∴z＝1.
8．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋1＋i|的最小值是( )
A．1B.C．2D.
考点 复数加减法的几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题
答案 A
解析 设在复平面内，复数z对应的点为Z.
∵|z＋i|＋|z－i|＝2，
∴点Z在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z＋1＋i|表示点Z到点(－1，－1)的距离．
易知最小值为1.
二、填空题
9．在复平面内，已知复数z＝x－i所对应的点在单位圆内，则实数x的取值范围是________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案
解析 ∵z对应的点Z在单位圆内，
∴<1，∴x2＋<1，
∴x2<，∴－
考点 复数四则运算的综合运用
题点 复数的混合运算
答案 4
解析 ＋＝
?＋＝
?x(1＋i)＋y(1＋2i)＝(1＋3i)
?解得所以x＋y＝4.
11．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝________.
考点 复数四则运算的综合运用
题点 复数的混合运算
答案 1－i
解析 z＝＝＝＝1－i.
12．已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________．
考点 复数问题中转化与化归思想
题点 转化与化归思想的应用
答案
解析 z1·z2＝(cos θ－i)·(sin θ＋i)
＝(cos θsin θ＋1)＋i(cos θ－sin θ)，
∴实部为cos θsin θ＋1＝1＋sin 2θ≤，
故实部的最大值为；
虚部为cos θ－sin θ＝cos≤，
故虚部的最大值为.
三、解答题
13．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
考点 复数加减法的几何意义的应用
题点 与加减法几何意义有关的模的最值问题
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得，a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
四、探究与拓展
14．已知f(x)＝则f＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 3
解析 ∵f(1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴f＝f(2)＝1＋2＝3.
15．设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根．
(1)求z1；
(2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数2满足|z·2|＝125，求z.
考点 共轭复数的定义与应用
题点 与共轭复数有关的综合问题
解 (1)因为Δ＝62－4×25＝－64，
所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i.
(2)由|z·(a－i)|＝125，得125·＝125，
所以a＝±2.
当a＝－2时，z＝(－2＋i)2＝3－4i；
当a＝2时，z＝(2＋i)2＝3＋4i.