一 中国的热极——认识负数
一、正、负数的认识
1.零上温度、零下温度
零上温度和零下温度以0℃为分界线,比0℃高的温度是零上温度,比0℃低的温度是零下温度。
例如:零上5℃就是比0℃高5℃;零下5℃就是比0℃低5℃。因此,“零上温度”与“零下温度”是具有相反意义的两个量。
2.正数和负数的意义
为了表示具有相反意义的量,我们把一种意义的量规定为正,如用10, 1.2, 17……来表示,像这样的数叫作正数,它们都比0大,正数前面有时也可以写上“+”(正号);把另一种意义相反的量规定为负,并在数的前面写上“-”(负号)来表示,如-3,-5等,这样的数是负数。
0刻度线以上表示的是零上温度,离0刻度线的距离越近,温度越低;距离越远,温度越高。零下温度离0刻度线的距离越近,温度越高;距离越远,温度越低。正数都大于0。负数都小于0。正数都大于负数。
负数小于0和正数;正数大于0和负数;0是正、负数的分界线。
3.正数和负数的读法、写法
(1)读法:
一个数前面的“+”“-”叫作它们的符号。有“+”时,读作“正几”,省略“+”时,“几”读作“几”,如+3读作“正三”,3读作“三”;有“-”时,读作“负几”,不能省略“-”来读,如-3读作“负三”。
(2)写法:
①写正数时,要在数的前面加上“+”,也可以省去不写。通常写正数时,“+”省略。
②写负数时,要在所写数的前面加上“-”,负数的“-”不能省略不写。
二、0的意义
(1)0既不是正数,也不是负数,0没有符号。0是正数与负数的分界线。
(2)0不仅表示“没有”,还可以表示其他意义。如0℃是一个确定的温度,海拔0表示海平面的平均高度。
三、正数、负数表示具有相反意义的量在实际生活中的应用
描述具有相反意义的数量,可以用正、负数表示。如果规定其中一种量为正,那么另一种量就为负。
若题目中没有指明哪种意义的数量用正数表示、哪种意义的数量用负数表示,则通常根据习惯把表示“前进、上升、收入、零上、增加、超额、多出”的数量用正数表示,而把相反意义的数量用负数表示。
四、负数的作用
1.负数是在人为规定正方向的前提下出现的。
2.负数常用来表示和正数意义相反的量。
3.在选择用正数还是负数表示时,首先看是否规定了正方向。
通常写温度时,零上温度前加“+”,零下温度前加“-”。
无论是温度还是海拔高度,都要先确定0分界线,然后依据相反意义来分析分界线的零上和零下所表示的具体含义。
小数和分数也可以分为正、负数。它们的读法是先读“正”或“负”,再按照小数或分数的读法来读。
0是一个特殊的数,还可以表示“起点”。
相反意义的量:如“上升”和“下降”,“高于”和“低于”,“得到”和“失去”,“收入”和“支出”……
生活中许多地方都用到了负数,如记账时,如果收入150元,记作+150元,那么支出70元,应记作-70元。
七 包装盒——长方体和正方体
一、长方体和正方体
1.长方体的特征
(1)两个面相交的线叫作棱,三条棱相交的点叫作顶点。
(2)长方体有6个面,并且每个面都是长方形(特殊情况下有相对的两个面是正方形)。
(3)长方体有12条棱,相对的4条棱的长度相等。
(4)长方体有8个顶点。
(5)从一个方向观察一个长方体,最多能同时看到3个面,这3个面相交于一个顶点,相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。
长方体的棱长之和=长×4+宽×4+高×4=(长+宽+高)×4
2.正方体的特征
(1)正方体有6个面,它们是完全相同的正方形。
(2)正方体有12条棱,所有棱的长度都相等。
(3)正方体有8个顶点。
公式: 正方体的棱长之和=棱长×12
正方体的棱长=正方体的棱长之和÷12
二、长方体和正方体的表面积
1.长方体的表面积
长方体6个面的总面积,叫作它的表面积。
长方体有6个面,且相对的两个面完全相同。从一个方向观察一个长方体,最多能同时看到3个面,只要计算出这三个面的面积,就能算出长方体的表面积。
公式:
长方体前、后每个面的面积=长×高
长方体上、下每个面的面积=长×宽
长方体左、右每个面的面积=宽×高
长方体的表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2=(长×宽+宽×高+长×高)×2
2.正方体的表面积
(1)正方体6个面的总面积,叫作它的表面积。
(2)正方体6个面是完全相同的正方形,只要计算出一个面的面积,乘6就可算出正方体的表面积。
公式:
正方体的表面积=棱长×棱长×6
三、体积、容积单位及进率
1.体积、体积单位间的进率
(1)体积的意义:物体所占空间的大小叫作物体的体积。
(2)体积单位:常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分别为cm3、 dm3、 m3 。
①棱长为1厘米的正方体,体积是1立方厘米。
如:一个手指尖的体积大约是1立方厘米,1粒花生米的体积大约是1立方厘米。
②棱长为1分米的正方体,体积是1立方分米。
如:一个粉笔盒的体积大约是1立方分米。
③棱长为1米的正方体,体积是1立方米,如:装洗衣机的纸箱的体积大约是1立方米。
(3)体积单位之间的进率。
计量一个物体的体积,就要看这个物体含有多少个体积单位。
1分米=10厘米,两个正方体的棱长相等,体积就相等。
棱长是10厘米的正方体里有10×10×10=1000(个)棱长为1厘米的正方体,棱长是10厘米的正方体,体积是1000立方厘米。
1立方分米=1000立方厘米
用同样的方法可推出:
1立方米=1000立方分米
2. 容积及容积单位之间的进率
(1)容积的意义:容器所能容纳物体的体积,叫作它们的容积。
(2)容积单位有升和毫升,分别用字母L和mL表示。计量物体的大小一般用体积单位,计量液体的体积常用容积单位。
(3)1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1升=1000毫升
四、长方体和正方体的体积
1.推导体积公式
(1)计算一个物体的体积的大小,就要看这个物体含有“体积单位”的数量。把上图中的长方体和正方体切成以1立方厘米为体积单位的小正方体,数出含有“体积单位”的数量就知道了它们的体积大小。
(2)通过切割发现,长方体所含小正方体体积单位的个数,同它本身的长、宽、高有一定关系,每排小正方体的个数相当于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方体的高。所含体积单位的个数正好等于长方体长、宽、高的积。
2.长方体、正方体的体积公式
长方体的体积=长×宽×高,用字母表示:V=abh。
正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用字母表示:V=a·a·a=a3。
(1)也可以把a·a·a写作“a3”,读作“a的立方”,表示3个a相乘。正方体的体积公式一般写成:V=a3。
(2)长方体和正方体底面的面积叫作它们的底面积。用S表示底面积,V表示体积,高用h表示,则:
长方体(或正方体)的体积=底面积×高,用字母表示:V=Sh。
3.长方体、正方体体积公式的变形
长方体的高=体积÷(长×宽),即h=V÷(a×b)
长方体的宽=体积÷(长×高),即b=V÷(a×h)
长方体的长=体积÷(宽×高),即a=V÷(b×h)
4.长方体、正方体容器的容积计算
长方体或正方体容器的容积计算方法与体积的计算方法相同,但要从容器里面量长、宽、高。
5.等体积变化问题
生活中经常遇到一些物体(固体或液体)的形状发生了变化。但在变化的过程中,体积是没有变化的。如图所示用枚数相等的硬币分别摞成下面的形状,体积不变。
五、测量不规则物体的体积
1.用排水法可以测量不规则物体的体积,放入不规则物体(被完全淹没)后水面上升,上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
2.拿出放入水中的不规则物体(被完全淹没)水面下降,下降的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
长方体的6个面中,相对的两个面完全相同。
长方体的摆放方式不同,长、宽、高也不同。
正方体是特殊的长方体。
计算长方体某个面的面积时,注意根据相对的4条棱的长度相等,把长方体的长、宽、高对应到要计算的面上。对于看不到的面要利用“相对的两个面完全相同”转化到能看到的面上。
简记长方体表面积公式:长、宽、高交叉相乘再相加,最后加括号乘2。
无论是计算长方体的表面积,还是计算正方体的表面积,都要根据实际情况进行计算,注意面的个数是几个。
所有的物体都占有一定的空间。
立方厘米、立方分米、立方米,都是计量物体体积的单位,在计量一个物体的体积是多少时,就是看被测量的物体包含多少个什么样的体积单位,从而知道物体的体积是多少。
用棱长是1厘米的小正方体拼图形。用了几个小正方体,拼成的图形的体积就是几立方厘米。
高级单位化低级单位乘进率;低级单位化高级单位除以进率。
在填合适的单位时,先看该物体装的是液体还是固体,液体用容积单位,固体用体积单位,再看该物体的大小,大则用升或立方米作单位,小则用毫升或立方厘米作单位。
把物体切割成若干个体积单位的大小,最后看切割成多少个体积单位,就能知道物体的体积具体是多少。通过这种方式,可以探索出切割数量与长方体或正方体体积之间的规律。
特别要理解的是若切割出2个体积单位,则物体的体积就是2(立方厘米、立方分米或立方米),若切割出17个,则物体的体积就是17(立方厘米、立方分米或立方米),以此类推。
已知长方体(正方体)的长、宽、高(棱长),就可以直接运用长方体(正方体)的体积公式进行计算。
V=abh、V=a3、V=Sh这三个公式是相互联系的,前两个公式是第三个公式的基础。长方体体积公式中的长×宽就是长方体的底面积,正方体体积公式中的棱长×棱长是正方体的底面积,可以把另一条棱长看作高。因此第三个公式,包括了前两个公式。用这个公式既可以求长方体和正方体的体积,今后还可以用这个公式求其他柱体的体积。
在解答形状变化问题时,要抓住体积不变这个关键点进行解答。
用排水法测量不规则物体的体积,根据水的体积不变,而物体占用水的空间,则排开水的体积就等于物体占水的空间,即物体的体积。
三 剪纸中的数学——分数加减法(一)
一、公因数和最大公因数
1.公因数和最大公因数的意义
几个数公有的因数,叫作这几个数的公因数;其中最大的一个叫作它们的最大公因数。如1、2、4是8和12的公有的因数,叫作它们的公因数。其中4是最大的公因数,叫作它们的最大公因数。
2.找公因数的方法
用列举法找公因数:先分别写出每个数的因数,再找出它们的公因数。
一个数的因数,可以从最小的因数1找起,一直找到它本身。
3.找最大公因数的方法
(1)列举法:可以先列举出每个数的因数,再从中找出它们的公因数,最后找出最大的一个;也可以先列举出其中一个的因数,再从中找出另一个的因数,即它们的公因数,最后找出最大的一个。
(2)短除法:用两个数的公有因数依次作除数去除这两个数,除到只有公因数1为止。
12和18的最大公因数是2×3=6。
(3)口算法:当两个数成倍数关系时,它们的最大公因数是较小的数。
4.因数、公因数、最大公因数三者之间的区别和联系
因数是针对一个数来说的,公因数是指两个或两个以上的数公有的因数,最大公因数是指公因数里面最大的那一个,公因数与最大公因数离不开因数。
二、同分母分数加减法
1. 同分母分数加法的计算方法
分母不变,分子相加。计算结果一般要约成最简分数。
2.运用分数的基本性质,把一个分数化成同它相等,但分子、分母都比较小的分数,叫作约分。
约分的依据:分数的基本性质。
3. 分子和分母只有公因数1的分数,叫作最简分数。
约分常用的方法:
(1)逐次约分法
用分子和分母的公因数(1除外)去除分子、分母,经过几次约分,直至化成最简分数。
(2)一次约分法
①分数的分子和分母成倍数关系的,分数的分子和分母直接除以分子,可将分数化成最简分数。
②分数的分子、分母不成倍数关系的,分子、分母同时除以它们的最大公因数,可以直接将这个分数化成最简分数。
(3)分子和分母是整百、整十数的分数的约分方法
分子和分母是整百、整十数的分数约分时,先去掉分子和分母末尾相同个数的0,再约成最简分数。
如: 150010000=31510020=320
4. 同分母分数减法的计算方法
分母不变,只把分子相减。一般要把计算结果约成最简分数。
运用同分母分数的加法解决问题时,要先分析题意,在理解题意的基础上列式计算。
约分的方法就是分子和分母同时除以它们的公因数。约分时通常要约成最简分数。
三、同分母分数连加、连减及加减混合运算
1.同分母分数连加的计算方法
按照从左往右的顺序依次计算或按照同分母分数加法的计算方法(分母不变,分子连加)计算。
同分母分数连加时,运用加法的交换律和结合律可使计算简便。
2.同分母分数连减的计算方法
同分母分数连减的计算方法:按照从左往右的顺序依次计算或直接用被减数的分子减两个减数的分子,分母不变。
同分母分数连减,若出现整数,先把整数化成与减数同分母的分数,再进行计算。
3. 同分母分数的加减混合运算
(1)同分母分数的加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同,有括号的,先算括号里面的;没有括号的按从左往右的顺序依次计算。
(2)整数运算定律对于分数同样适用,因此,在计算分数混合运算时,可以灵活运用运算定律进行简便计算。
四、公倍数和最小公倍数
1.公倍数和最小公倍数的意义
几个数公有的倍数,叫作这几个数的公倍数;其中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。
2.找公倍数和最小公倍数的方法
(1)根据公倍数和最小公倍数的意义找
先分别写出每个数的倍数,再找出它们的公倍数和最小公倍数。
(2)短除法
用这两个数公有的质因数依次去除这两个数,一直除到两个商只有公因数1为止,然后把所有商和除数连乘起来,所得的积就是这两个数的最小公倍数。
(3)倍数关系:如果两个数有倍数关系,那么较大数是这两个数的最小公倍数。
(4)先用短除法求出两个数的最小公倍数,再用这个最小公倍数分别乘2、3、4、5、6……直到所得到的积接近所规定的极限(找两个自然数的公倍数,必须先确定要求的公倍数的范围)。
(5)只有公因数1的两个数的最小公倍数是这两个数的乘积。
五、分数与小数的互化
1. 把小数化成分数的方法
根据小数的意义,可以把有限小数直接写成分母是10、100、1000……的分数。
可以把小于1的一位小数化成十分之几,把两位小数化成百分之几,把三位小数化成分千分之几……依次类推。
如:0.8=810=45、0.07=7100、1.3=1310。
原来是几位小数,就在1后面写几个0作分母,把原来的小数点去掉作分子,能化简的要化简。
2. 把整数部分大于0的小数化成分数的方法
把整数部分大于0的小数化成分数的方法:可以直接按照小数化分数的方法进行;也可以用小数的整数部分作带分数的整数部分,小数的小数部分按照小数化分数的方法化成分数作带分数的分数部分。
3. 把分数化成小数
根据分数与除法的关系,用分数的分子除以分母,即可把分数化成小数。
把分母是10、100、1000……的分数化成小数,可以直接去掉分母,看分母中1后面有几个0,就从分子的末尾向左数出几位,点上小数点,位数不够的用0补。
把分母不是10、100、1000……的分数化成小数有两种方法:
(1)根据分数的基本性质先化成分母是10、100、1000……的分数,再化成小数;(2)直接用分子除以分母,除不尽的,根据需要按“四舍五入法”保留几位小数。
4.把带分数化成小数的方法
带分数的整数部分作为小数的整数部分,把分数部分化成小数,作为小数的小数部分。
5.小数与分数的大小比较
比较分数和小数的大小时,一般把分数化成小数来比较。
找一个数的因数,依次用1、2、3、4、5……去除这个数。在能整除的时候,除数和商都是这个数的因数;不能整除时,除数和商都不是这个数的因数。
警示: 公因数一定是自然数,而且几个自然数的公因数的个数是有限的。
两个数或几个数的最小公因数一定是1。
警示:用短除法求两个数的最大公因数时,一定要除到所得的两个商是互质数(只有公因数1)为止。
用短除法求两个数的最大公因数时,不能多乘一个公因数也不能少乘一个公因数。
约分时常见的错误:
(1)逐次约分时一定要约到分子和分母只有公因数1为止,否则结果不是最简分数,如:3654用9约分为46就不是最终结果,还要再约一次等于23。(2)逐次约分时,首先要尝试使用2、3、5、7去约分,当用2、3、5、7不能约分时,要尝试用大质数:11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47去约分,如:351可用3约分为117。
易错警示:
同分母分数连加、连减、加减混合运算的结果不是最简分数的,要化成最简分数。
易错点:
简算同分母分数的加减混合算式时,要注意运算符号的变化。
计算结果分子是0的分数等于0。
口诀:同分母,最简单,
只把分子相加减;
分母不变要牢记,
算出结果要化简。
计算同分母分数加减混合算式时,利用加法交换律把加法部分前移,使计算更方便。
易错警示:
0不能作为几个数的最小公倍数。
公倍数的个数:由于没有最大的自然数,倍数的个数是无限的,因此,任何几个自然数的公倍数的个数也是无限的。
易错点:求三个数的最小公倍数。
求三个数的最小公倍数时,可先求出其中两个数的最小公倍数,再用求出的这个数与另一个数,求出这三个数的最小公倍数。
把小数化成分数时,要看清楚原来的小数是几位小数,还要注意结果能化简的要化简。
把整数部分大于0的小数化成分数时,要注意不要漏掉整数部分,要注意最后结果能化简的要化简。
把分数化成小数,用分数的分子除以分母,除不尽时,如果没有特殊要求,得用“四舍五入法”保留三位小数。
不管是先把分数化成小数比较大小,还是先把小数化成分数比较大小,最后都要比较原来的数。
二 校园艺术节——分数的意义和性质
一、分数的意义和性质
1.单位“1”
一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体,可以用自然数1来表示,通常把它叫作单位“1”。
2.分数
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,叫作分数。
确定分数时,用单位“1”平均分成的份数作分母,取的份数作分子。
3.分数单位的意义
把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数,叫作这个分数的分数单位。
总结:
(1)一个分数的分母是几,这个分数的分数单位就是几分之一。
(2)一个分数的分子是几,它就有几个这样的分数单位。
比如,315的分数单位是115,它有3个这样的分数单位。
二、真分数、假分数和带分数
分数可以分成:真分数,假分数,带分数。
1.真分数
分子比分母小的分数叫作真分数。真分数小于1。真分数取的份数小于分成的份数,即取的部分小于单位“1”。如12,35,59等等都是真分数,它们都小于1。
2.假分数
分子比分母大或分子和分母相等的分数,叫作假分数。假分数的特征:分数值大于1或等于1,即取得份数大于或等于单位“1”(分成的份数)。
判断一个分数是真分数还是假分数的方法:
方法一:根据真分数与假分数的意义进行判断。分子小于分母的分数是真分数,分子大于或等于分母的分数是假分数。
方法二:根据真分数与假分数的特征判断(即根据分数值进行判断)。
3.带分数
分子不是分母倍数的假分数还可以写成整数与真分数合成的数,通常叫作带分数。
形式为整数+真分数。
如:
(1)带分数的写法
先写整数部分,再写分数部分。分数部分的分数线与整数的中间对齐。
(2)带分数的读法
先读带分数的整数部分,再读分数部分。整数部分和分数部分的中间要加个“又”字。
如:235读作:二又五分之三。
(3)带分数的分数单位
一个带分数的分数部分的分母是几,这个分数的分数单位就是几分之一。带分数的分数单位只与分数部分的分母有关。
4.分数大小的比较
(1)分母相同时,分子大则分数大。分母相同也就是单位“1”被平均分成的份数相同;分子大表示取的份数多。
(2)分子相同,则分母小的分数大。分子相同即取的份数相同;分母小表示单位“1”被平均分成的份数少,分的份数越少,每一份就越多。
(3)整数部分不同的带分数,整数部分大的带分数就比较大。
5.用直线上的点表示分数
分数可以用直线上的点表示,直线上0和1之间的线段表示单位“1”。把表示单位“1”的线段平均分成几份,从0开始的第一个点就表示几分之一;第二个点就表示几分之二;第三个点就表示几分之三……依此类推。当取的份数大于或等于0~1被平均分的份数时,要用假分数或带分数表示。
如图所示:
三、分数与除法的关系
1.分数与除法的关系
两个整数相除,可以用分数表示商,即分数与除法之间的关系表示:
被除数÷除数=被除数除数
如果用a表示被除数,b表示除数(b≠0),则分数与除法之间的关系为a÷b=ab (b≠0)。
反过来说,也可以把分数看作两个数相除,分数的分子相当于被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号,分数值相当于商。
分数与除法的联系与区别
联系
区别
分数
分子
分数线
分母(不能为0)
分数值
分数是一种数
除法
被除数
除号
除数(不能为0)
商
除法是一种运算
2.假分数化带分数
(1)把假分数化成整数:用假分数的分子除以分母,能整除的,所得的商就是整数。
(2)把假分数化成带分数,用假分数的分子除以分母,所得的整数为带分数左边的整数部分,余数作分子,分母不变。
拓展:
(1)将带分数化为假分数:分母不变,用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子。
(2)能化成整数的假分数,它们的分子都是分母的倍数。反过来,分子是分母的倍数的假分数都能化成整数。非0自然数能化成分母是1,2,3……的假分数,也可以看成分母是1的假分数。
四、分数的基本性质
1. 分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。这是分数的基本性质。
2.分数的基本性质与商不变的性质的联系
除法里的被除数相当于分数的分子,除号相当于分数中的分数线,除数相当于分数中的分母,因为被除数和除数同时乘一个数或除以相同数(0除外),商不变,所以分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
3. 分数的分子、分母都不相同时比较大小的方法
当分子、分母都不相同时,要先利用分数的基本性质,把分数转化成分母相同或分子相同的分数,再比较大小。
用分数表示阴影部分
(1)把6个△看作单位“1”,被平均分成了6份,阴影部分占其中的2份,用分数表示:26。
(2)把6个△看作单位“1”,被平均分成了3份,阴影部分占其中的1份,用分数表示:13。
记忆口诀:
单位“1”很重要,平均分要做到,若干份作分母,取的份数作分子。
易错警示
分子为0的时候不是真分数。例如,03,虽然0小于3,但03不是真分数。原因是将单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫分数。
易错警示
带分数是由一个大于0的整数和一个真分数组成的。带分数的分数部分必须是真分数,整数部分不能为0,并不是由整数和任意分数组成的数都是带分数。
带分数也是假分数的一种表示形式。
读数时一定要写汉字,不能写阿拉伯数字。
巧记:
分数大小的比较
几个分数比大小,
分子分母要看好。
分母相同看分子,
分子大的分数大;
分子相同看分母,
分母大的分数小。
用直线上的点表示分数时,表示真分数的点在直线0~1这一段上,表示假分数或带分数的点在1和大于1的那一段上。
除法算式中除数不能为0,在分数中分母也不能为0。
分数的意义与除法的意义
①34的分数意义:把单位“1”平均分成了4份,取了其中的3份。
②34的除法意义:把3平均分成了4份,取了其中的1份。
巧记:
① 假分数化带分数,
分子分母去相除,
商为整数余分子,
分母不变要记住。
② 带分数化假分数,
分母整数相乘积,
和原分子加一起,
和为分子母不变。
判断一个分数能否化成带分数时,要先看这个分数是不是假分数,假分数可以化成带分数。否则不能。
分数的基本性质的应用:可以把不同分母的分数化成同分母分数,也可以把一个分数化成指定分母的分数。
易错警示
当分数的分子或分母加减一个数时,为使分数的大小不变,要转化成乘或除以一个合适的数(0除外)来解决。
五 关注环境——分数加减法(二)
一、通分
1.异分母分数
分母不相同的分数,或者说分数单位不相同的分数,叫作异分母分数。
2.通分
把异分母分数分别化成与原来分数相等的同分母分数的过程,叫作通分。通分的依据是分数的基本性质。
3.公分母
通分时,相同的分母叫作这几个分数的公分母。
求两个分数的公分母时,先分别找出这两个分数的分母,再找出这两个分母的公倍数作为公分母。
4.通分的方法
通分的一般方法是先求出原来几个分母的最小公倍数,再把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数。
(1)几个分数的分母只有公因数1时,几个分母的乘积就是这几个分数的公分母。
(2)几个分数的分母成倍数关系时,其中较大的分母就是这几个分数的公分母。
(3)几个分数的分母没有关系,除了公因数1外,还有其他公因数的,此时,分母的最小公倍数就是这几个分数的公分母。
(4)通分时,看原来分数的分母变成公分母要乘几,分子就乘相同的数。
5.比较异分母分数大小的方法
分子和分母都不同,先通分,再按分母相同的分数比较大小的方法来比较,也可以求分子的最小公倍数,先使分子相同,再按分子相同比大小的方法来比较。
二、异分母分数的加法、减法
1.异分母分数的加法
不换算成同一种单位,就不能从几千米的长度中减去几米,同样的,不将分数换算成同分母的分数(即通分使两个分数的分数单位相同),就无法进行分数的加法运算。要让两个分母不同的分数相加,先要让它们转化为分母相同的分数,再让分子相加,而分母不变。
异分母分数加法的计算法则:异分母分数相加,先通分,化成同分母分数,再按照同分母分数加法的计算方法进行计算,要把计算结果化成最简分数。
异分母分数加法的计算技巧:
(1)分子是1的两个异分母分数相加,可以用分母的积作和的分母,用分母的和作和的分子。
如:15+17=5+75×7=1235
(2)分子相同的两个异分母分数相加,用分母的积作和的分母,分母的和乘相同的分子的积作和的分子。
如:25+27=2×(5+7)5×7=2435
2. 异分母分数的减法
同异分母分数的加法一样,异分母分数的减法,先要将分数换算成同分母的分数来表示,即通分使两个分数的分数单位相同,再让分子相减,而分母不变。
异分母分数减法的计算法则:异分母分数相减,先通分,化成同分母分数,再按照同分母分数减法的计算方法进行计算,计算结果要化成最简分数。
异分母分数减法的计算技巧:
(1)分子是1的两个异分母分数相减,可以用分母的积作差的分母,用分母的差作差的分子。
如:15-17=7?55×7=235
(2)分子相同的异分母分数相减,用两个分数的分母的积作差的分母,用相同的分子乘两个分母的差的积作差的分子。
如:25-27=2×(7?5)5×7=435
三、异分母分数连加、连减、加减混合运算
1. 异分母分数连加的计算方法
异分母分数连加,可以按照从左往右的顺序依次相加,也可以将所有的分数一次性通分,再相加。要把计算结果化成最简分数。
2. 异分母分数连减、加减混合运算
(1)异分母分数连减,按照从左往右的顺序依次计算。几个分数可以一次性通分计算,也可以分步通分、分步计算。
(2)分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同,有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
3.分数加减混合运算的简便计算
整数加法的运算定律在分数加法中同样适用。运用加法的运算定律能够快速、合理、巧妙地使一些计算简便。
①加法交换律:两个分数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即ab+cd=cd+ab。
②加法结合律:三个(或三个以上)分数相加,先把前两个分数相加,再与第三个分数相加,或者先把后两个分数相加,再与第一个分数相加,它们的和不变,即ab+cd+ef=ab+cd+ef
③一个数连续减去几个数等于这个数减去这几个数的和。
即a-b-c-d=a-(b+c+d )
易错点:忘记分子和分母要同时乘相同的数。通分时,先以原来分母的最小公倍数为公分母,再看原来分数的分母变成公分母要乘几,分子也要乘相同的数。
记住常见的几种通过通分找公分母的方法,可以最快捷地完成通分。
比较异分母分数的大小时,利用“分母相乘,分子乘对应的分母”通分比较是最简单也是最有效的方法。
异分母分数相加减,先通分的目的是把分数化成分数单位相同的分数,否则分数单位不同,不能进行加减。
巧记规律:
分数加减法的计算法则
分数加减很简单,统一单位是关键。
同分母分数相加减,只把分子相加减,分母大小不改变。
异分母分数相加减,先通分来后计算。
举例:计算 67+611。
错解1:67+611=618=13。
错误原因:以为异分母分数相加,分母相加,分子不变。
错解2:67+611=1218=23。
错误原因:以为异分母分数相加,分子、分母分别相加。
错解3:67+611=677+677=1277。
错误原因:通分时出错,通分把分母化成用这两个分母的最小公倍数作分母的分数,别忘了分子和分母要同时乘相同的数才能使分数的大小不变。
正解:67+611=6677+4277=10877=13177。
在进行分数加减法的简便计算时,通常要先观察有没有相同分母的分数,如果有则要运用运算定律把同分母的分数移到一起先计算。移动的口诀是“带符号搬家”。
六 爱护眼睛——复式统计图
一、复式条形统计图
1. 设计简单的调查表
(1)确定调查的对象。
(2)确定调查内容。
(3)明确调查的方法:调查的方法有很多,如实地调查、收集报刊信息、问卷调查等。
(4)明确记录数据的方法,根据题意,制定调查表。
设计调查表要注意以下几点:
①要根据统计的要求确定设计的项目。
②根据规定的项目进行规划,可先用铅笔勾画出草表。
③要注意清楚明了,要突出统计的要求,又要强调真实性。
④调查表中的各种数量一定得填写得准确无误,要认真地进行核对。
2.复式条形统计图
(1)用两种或两种以上的直条表示不同数量的条形统计图,叫复式条形统计图。
复式条形统计图要画两种或两种以上的直条,为了区别可以用不同的颜色或者线条来表示,这是图例。图例一般标在统计图名称的右下方。
(2)单式条形统计图和复式条形统计图的区别
①单式条形统计图只用一种直条表示统计项目,复式条形统计图用两种及两种以上的直条表示不同的统计项目。
②复式条形统计图要用不同的图例对直条进行区别,而单式条形统计图则不需要。
(3)复式条形统计图不仅可以直观地看出同一项目数据的多少,而且便于比较不同项目数据的多少。
3.绘制复式条形统计图
(1)在统计图的正上方中间写上统计图的标题,标题的右下方写上制表日期。
(2)确定横轴和纵轴,如横轴表示年龄,纵轴表示人数。
(3)在统计图的右上方标明图例。
为了区分不同的数据,可以用不同的颜色或底纹的直条表示,这是绘制复式条形统计图的关键。
(4)在横轴上适当分配条形的位置,注意每个数据段要对应等宽且挨着的直条,且数据段的间隔要相等。
(5)在纵轴上确定单位长度。(与单式条形统计图的方法相同)
(6)根据数据的大小画出长短不同的直条,标上数据,并且给直条涂上与图例相同的颜色或底纹。
4. 复式条形统计图的分析及优点
(1)运用横向、纵向、综合、对比等不同的方法观察,可以从复式条形统计图中获得许多有价值的数学信息,并解决有关的问题。
(2)复式条形统计图的优点
不仅可以清楚地反映数量的多少,而且可以把两组数据进行对比,从中发现更多的信息。
二、复式折线统计图
1. 复式折线统计图
折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少找出各点,然后把各点用线段顺次连接起来,以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化的统计图。
折线统计图分单式折线统计图和复式折线统计图。把两条相关的折线统计图画在一个图中的统计图是复式折线统计图。
当统计数量存在两组数据,而又需要在一个统计图中分析这两组数据间的增减变化时,就要绘制复式折线统计图。
2. 复式折线统计图的优点
复式折线统计图不仅能表示出两组数据数量的多少和数量增减变化的情况,而且可以比较两组数据的变化趋势。
3. 绘制填写统计表
(1)先根据要统计的内容设栏和确定每栏中要分的项目、格数,制成表格;
(2)填写栏别和各项名称;
(3)依据整理好的数据填表;
(4)根据需要填写总计与合计;
(5)写上统计表名称和制表日期;
(6)把统计的材料与表中填写的数字核对一下,看有没有合计错误或漏写、误写的地方。
若题中给出统计表格则省略相应的步骤。
4. 复式折线统计图的绘制方法
(1)在统计图的正上方写上统计图的标题。在标题的右下方写出制表时间;
(2)根据两组数据的大小画出横轴和纵轴;
(3)在横轴上表示出事物,在纵轴上确定单位长度;
(4)设计图例并将其放在标题的右下角或日期的下面;
(5)根据数据的大小描出各数据的对应点,根据图例连接各个点。
三、复式条形统计图、复式折线统计图的选择
(1)复式条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目,且方便两数据的对比。如果数据之间相互独立(不是描述同一项目的数据),应该选择条形统计图。
(2)复式折线统计图能清楚地反映事物随时间的变化趋势,且方便两数据的对比。如果数据随时间变化,则选择折线统计图。
四、复式折线统计图的分析方法
分析复式折线统计图时,要重点分析两组数据在什么时间达到最多或最少;两组数据上升趋势和下降趋势的时间段及变化快慢情况是什么;两组数据相比谁变化得更快些。
设计调查表并无固定的格式,可根据调查的内容和调查的方法灵活设计。
如果设计统计图的目的不仅要求看出数据的多少,还要求对比不同项目的数据,则一定要选用复式条形统计图。
条形统计图的每个直条的宽窄一定要一致,间隔要相等。
复式折线统计图有利于对两组相关数据变化进行比较。
举例:
判断对错:从复式折线统计图中只能看出数量增减变化的情况。 ( )
错解:??
错误原因:把复式折线统计图等同于单式折线统计图。
正解:?
复式折线统计图不仅能表示出两组数据数量的多少和数量增减变化的情况,而且可以比较两组数据的变化趋势。
绘制复式折线统计图时,要根据数据先描出一组数据的点,绘制好折线后再描点绘制另一组,防止两组数据“张冠李戴”。
绘制折线时要注意按照顺序逐次连接,不要遗忘数据点。
四 走进军营——方向与位置
一、用数对表示物体的位置
1. 行和列
行和列的意义:确定位置时,竖排叫作列,横排叫作行。
确定第几列一般从左向右数,依次为第1列、第2列、第3列……以此类推。
确定第几行一般从前往后数,依次为第1行、第2行、第3行……以此类推。
2.用行、列描述物体的位置
用行、列描述物体的位置时,要先描述列,再描述行,如小强站在第3列第2行的位置。
3.用数对表示行与列
(1)通常情况下,用两个数组成的数对表示行与列比较简明准确。数对中前面的数表示第几列,后面的数表示第几行。
(2)数对的写法:先写列数,再写行数,中间用逗号隔开,最后用小括号将它们括起来。
如:小强站在第3列第2行的位置,可以用数对(3, 2)表示。
4.用数对表示物体位置的方法
先找到物体,再数出物体所在的列数与行数,最后用数对表示。
5.根据数对确定物体的位置
先看数对的两个数表示哪一列哪一行,再找到列和行的交叉点处,就是物体所在的位置。
二、根据方向和距离确定物体的位置,并描述简单的路线图
1. 根据方向和距离确定物体的位置
(1)方向描述
确定现实空间中物体的方向,或平面图上物体的方向时,一般以南、北为主方向,以北偏东(西)或南偏东(西)多少度描述。东北方向就叫作北偏东多少度;西北方向就叫作北偏西多少度;东南方向就叫作南偏东多少度;西南方向就叫作南偏西多少度。
北偏西50°这个信息说明了50°这个角是由北所在的直线及北和西之间的另一条射线组成的。
“东偏南30°”就是先指向主方向东方,然后向南偏30°;“南偏东60°”就是先指向主方向南方,然后向东偏60°。由于方向东和南的夹角是90°,因此它们所指的是同一个方向。用图表示是这样的:
(2)比例尺
表示图上距离1厘米表示实际距离10千米。
(3)距离描述
确定平面图上物体的距离时,要用直尺量出两观测点之间的图上距离,再根据的比例尺计算出实际距离。
(4)描述位置时,要注意三个要素:一是观测点,二是方向,三是距离。
把方向和距离结合起来确定位置,既可用来确定现实空间中物体的位置,又可用来确定平面图上物体的位置。
根据方向和距离描述物体位置的方法:
①确定好主方向,用量角器量出被观测点和观测点的连线与主方向的夹角的度数;
②用直尺量出被观测点到观测点的图上距离,计算出实际距离;
③根据测量的角度和计算出的距离,准确描述被观测点的位置。
技巧:确定物体的位置,一要找准方向;二要确定角度;三要算清实际距离。
2. 描述简单的路线图
描述路线图的方法:
(1)根据方向标示弄清路线图的各个方向;
(2)根据比例尺和测得的图上距离求出相应的实际距离;
(3)以某一地点为起点,描述从哪儿按什么方向走,走多远来到哪儿;
(4)再以下一地点为起点继续描述。
3.在平面图上绘制物体的位置
(1)确定平面图上的东、南、西、北方向;
(2)确定方向并用量角器画出物体的准确方向;
(3)根据比例尺求出图上距离;
(4)以观测点为起点,在方向线上用三角板确定物体与出发点之间的图上距离,标出物体的位置;
(5)在图上标示出角度和物体的名称。
在平面图上确定第几列一般从左往右数,确定第几行一般从下往上数。
我们用行、列描述物体的位置时,一定要先说第几列,再说第几行。
用数对表示物体的位置时,别忘了加小括号及列数与行数间的逗号。
如果两个数对的第一个数相同,说明两个物体在同一列上;如果两个数对的第二个数相同,说明两个物体在同一行上。
提醒:
如果题中直接告诉了方向和距离,一定要找准主方向。
描述方向要注意先确定平面图中的东、南、西、北方向。
在叙述方向角度时,要先确定所在的大致方向区域。叙述时先说角度一边的正方向,再描述向另一方向偏离多少度。
在确定图上距离或实际距离时,一定要用直尺进行测量,然后依据比例尺进行换算,不可以不进行测量就进行估计。
用方向和距离描述物体的位置时,一定要先说物体,再说观测点,然后说方向,最后说距离。
如:红军阵地在指挥部北偏西50°方向10千米处。
描述路线时,要注意观测点是变化的。
描述路线有三看:一看起点在哪里;二看方向偏向哪里;三看路程走了多远。
绘制物体的位置时,一般先确定角度,再确定图上的距离。
标注物体的位置和方向时,要根据观测点按照物体所在方位和与观测点的距离来标。
