第1讲 1 第1课时 不等式的基本性质学案

一　不等式
第1课时　不等式的基本性质
学习目标　1.理解不等式的性质，会用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明简单的不等式、解决不等式的简单问题．
知识点　不等式的基本性质
思考　你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？
答案　作差，与0比较．类比等式的基本性质，联想并写出不等式的基本性质．
梳理　(1)两个实数a，b的大小关系
(2)不等式的基本性质
①对称性：a＞b?b＜a.
②传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
③可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
④可乘性：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
⑤乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．
⑥开方：如果a＞b＞0，那么＞(n∈N，n≥2).
类型一　作差比较大小
例1　(1)已知a＞b＞0，比较与的大小；
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解　(1)－＝＝.
因为a＞b＞0，
所以a－b＞0，b(b＋1)＞0，
所以＞0，
所以＞.
(2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
因为x＞1，
所以x－1＞0.
又因为2＋＞0，
所以(x－1)＞0，
所以x3－1＞2x2－2x.
反思与感悟　比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—得出结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．
跟踪训练1　已知x，y均为正数，设m＝＋，
n＝，试比较m和n的大小．
解　m－n＝＋－＝－
＝＝，
∵x，y均为正数，
∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n.(当且仅当x＝y时，等号成立)
类型二　不等式基本性质的应用
例2　判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若a＞b＞0，则＜；
(2)若c＞a＞b＞0，则＞；
(3)若＞，则ad＞bc；
(4)设a，b为正实数，若a－＜b－，则a＜b.
解　(1)正确．
因为a＞b＞0，所以ab＞0.两边同乘以，
得a·＞b·，得＞.
(2)正确．
因为c－a＞0，c－b＞0，且c－a＜c－b，
所以＞＞0.
又a＞b＞0，所以＞.
(3)不正确．
因为＞，所以－＞0，
即＞0，
所以或
即ad＞bc且cd＞0或ad＜bc且cd＜0.
(4)正确．
因为a－＜b－，且a＞0，b＞0，
所以a2b－b＜ab2－a?a2b－ab2－b＋a＜0?ab(a－b)＋(a－b)＜0?(a－b)(ab＋1)＜0，
所以a－b＜0，即a＜b.
反思与感悟　(1)利用不等式的性质判断命题真假的技巧
①要判断一个命题为真命题，必须严格证明；
②要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果．其中，举反例在解选择题时用处很大．
(2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项
①倒数法则要求两数同号；
②两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；
③同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．
跟踪训练2　下列命题中正确的是________．(填序号)
①若a＞b＞0，c＞d＞0，那么＜；
②若a，b∈R，则a2＋b2＋5≥2(2a－b)；
③若a，b∈R，a＞b，则a2＞b2；
④若a，b∈R，a＞b，则＞.
答案　②④
解析　对于①，∵c＞d＞0，∴＞＞0，
∴＞＞0，∴＞，∴①不对；
对于②，a2＋b2＋5－(4a－2b)
＝a2－4a＋b2＋2b＋5
＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2＋5≥2(2a－b)，∴②对；
对于③，由于a＞b不能保证a，b同时大于0，
∴a2＞b2不成立，∴③不对；
对于④，∵c2＋1＞0，
∴由a＞b，可得＞，∴④对．
例3　已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜.
证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，
∴a－c＞b－d＞0，∴0＜＜.
又0＜b＜a，
∴＜.
引申探究
1．若本例条件不变，求证：＜.
证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴0＜＜.∴＞＞0，
∴＞，即－＞－，
∴＜.
2．若本例条件不变，求证：＜.
证明　∵a＞b＞0，∴＞＞0.
又∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴＞＞0.
∴＋＞＋＞0，即＞＞0，
∴＞＞0，∴＜.
反思与感悟　进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．
跟踪训练3　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥a＋b.
证明　＋－(a＋b)＝＋＝＋＝(a－b)(a＋b)·＝(a－b)2(a＋b)，
∵a＞0，b＞0，∴(a－b)2(a＋b)≥0，即＋≥a＋b.
1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是(　　)
A．a2＜b2 B．ab＜a2
C.＋＞2 D．|a|－|b|＝|a－b|
答案　A
解析　∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，
即(－a)2＞(－b)2，∴a2＞b2.
2．若a＜0，－1＜b＜0，则有(　　)
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
答案　D
解析　∵－1＜b＜0，∴b＜b2＜1.
∵a＜0，∴ab＞ab2＞a.
3．下列说法中，正确的个数是________．
①若a＞b，则ac2＞bc2； ②若a≥b，则ac2≥bc2；
③若＞，则ac＞bc； ④若≥，则ac≥bc；
⑤若则c＞0； ⑥若则c≥0.
答案　4
解析　当c2＝0时，①不正确；②正确；③正确；④正确；⑤正确；当a＝b时，⑥不正确．
4．已知12＜a＜60,10＜b＜20，则的取值范围是________．
答案　＜＜
解析　由12＜a＜60，得＜＜，又10＜b＜20，
所以根据不等式的性质可得＜＜.
5．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是________．
答案　ab≠1或a≠－2
解析　∵x＞y，
∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5
＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，
∴ab≠1或a≠－2.
1．不等式的基本性质是不等式变形的依据，每一步变形都要做到有根有据，严格按照不等式的性质进行．
2．作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结．其关键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较．
3．不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中一定要注意不等式成立的条件．
一、选择题
1．已知a＞0＞b，c＜d＜0，给出下列不等式：
(1)ad＞bc；(2)a－c＞b－d；(3)a(d－c)＞b(d－c)．其中成立的个数是(　　)
A．0B．1C．2D．3
答案　C
解析　因为a＞0，b＜0，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，故(1)不成立；
因为a＞b，c＜d＜0，所以－c＞－d，所以a－c＞b－d，故(2)成立；
由c＜d＜0，知d－c＞0，又a＞0＞b，所以a(d－c)＞b(d－c)，故(3)成立．
2．已知a＞－1且b＞－1，则p＝＋与q＝＋的大小关系是(　　)
A．p＞qB．p＜qC．p≥qD．p≤q
答案　C
解析　p－q＝＋
＝＝≥0，∴p≥q.
3．设a，b∈(－∞，0)，则“a＞b”是“a－＞b－”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　a，b∈(－∞，0)，
∵a＞b，∴＜，即－＞－，∴a－＞b－，
∴“a＞b”是“a－＞b－”成立的充分条件．
又由a－＞b－?a－b＋－＞0
?(a－b)＋＞0?(a－b)·＞0
?a－b＞0?a＞b.
∴“a＞b”又是“a－＞b－”成立的必要条件．
故“a＞b”是“a－＞b－”成立的充要条件．
4．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若＜＜，则(　　)
A．c＜a＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
答案　A
解析　由＜＜，
可得＋1＜＋1＜＋1，
即＜＜.又a，b，c∈(0，＋∞)，
所以a＋b＞b＋c＞c＋a.由a＋b＞b＋c，可得a＞c；
由b＋c＞c＋a，
可得b＞a，于是有c＜a＜b.
5．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A.＜ B.＞
C．a＞b2 D．a2＞2b
答案　C
解析　∵－1＜b＜1，∴b2＜1＜a.
6．设角α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是(　　)
A．－π＜α－β＜0 B．－π＜α－β＜π
C．－＜α－β＜0 D．－＜α－β＜
答案　A
解析　∵－＜α＜β＜，
∴－＜－β＜且α－β＜0，∴－π＜α－β＜0.
二、填空题
7．已知a，b，c是实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小关系是__________．
答案　a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
解析　∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
8．已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是________．
答案　M＞N
解析　M－N＝＋＝.
∵0＜a＜，∴ab＜1，即1－ab＞0，
∴M－N＞0，∴M＞N.
9．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式：
①＞；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2.
其中不成立的是________．(填序号)
答案　①②③
解析　①中，－＝＝.
因为a－b＞0，a(a－1)的符号不确定，①不成立；
②中，取a＝2，b＝－2，则(a＋b)2＝0，(b＋1)2＞0，②不成立；③中，取a＝2，b＝－2，则(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立．
10．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成________个正确命题．
答案　3
解析　若ab＞0，bc＞ad成立，
不等式bc＞ad两边同除以ab，得＞，
即ab＞0，bc＞ad?＞；
若ab＞0，＞成立，＞两边同乘以ab，
得bc＞ad，即ab＞0，＞?bc＞ad；
若＞，bc＞ad成立，
由于－＝＞0，
又bc－ad＞0，故ab＞0，
所以＞，bc＞ad?ab＞0.
综上，任两个作为条件都可推出第三个成立，故可组成3个正确命题．
三、解答题
11．已知a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y.
求证：＞.
证明　因为a，b，x，y都是正数且＞，x＞y，
所以＞，故＜，
则＋1＜＋1，即＜.
所以＞.
12．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴＜.
又∵e＜0，
∴＞.
13．已知a＞0，b＞0，试比较＋与＋的大小．
解　－(＋)
＝
＝
＝
＝
＝.
因为a＞0，b＞0，所以＋＞0，＞0，
又因为(－)2≥0(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以≥0，即＋≥＋(当且仅当a＝b时等号成立)．
四、探究与拓展
14．若x＞y＞0，则与的大小关系是________．
答案　＞
解析　－＝
＝＝.
因为x＞y＞0，
所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，
所以＞0.
所以＞＞0.
故＞.
15．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
解　设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)
＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
∴
解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，
∴－≤a＋3b≤1，即a＋3b的取值范围为.