第1讲 1 第2课时 基本不等式学案

第2课时　基本不等式
学习目标　1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2).2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.3.能运用基本不等式(定理2)解决某些实际问题．
知识点　基本不等式
思考　回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件．
答案　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.
梳理　(1)重要不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)基本不等式
①定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立 .
②定理2的应用：对两个正实数x，y，
(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；
(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值.
类型一　不等式的证明
例1　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥9.
证明　方法一　∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∴＋＋≥9.
方法二　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝(a＋b＋c)
＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∴＋＋≥9.
引申探究
1．若本例条件不变，求证：＋＋≥1.
证明　∵a2＋b2≥2ab，
∴≥2a－b.
同理，≥2b－c，≥2c－a.
∴＋＋
≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1，
∴＋＋≥1.
2．若本例条件不变，求证：＋＋≥.
证明　∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.
又a，b，c∈R＋，
∴≥|a＋b|＝(a＋b)．
同理，≥(b＋c)，≥(a＋c)．
三式相加，得
＋＋≥(a＋b＋c)＝，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
反思与感悟　用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．
跟踪训练1　(1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd；
(2)已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，求证：≥9.
证明　(1)∵a，b，c，d，∈R＋，
∴ab＋cd≥2，ac＋bd≥2，
∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
当且仅当a＝d且b＝c时取等号．
(2)
＝
＝
＝4＋2＋1≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．
∴≥9.
类型二　利用基本不等式求最值
例2　(1)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，求＋的最小值；
(2)若x＜0，求f(x)＝＋3x的最大值．
解　(1)＋＝×1＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，
∴＋的最小值是8.
(2)∵x＜0，∴－x＞0, 故f(x)＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时，等号成立，∴f(x)的最大值是－12.
反思与感悟　在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值．
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取－1变为同正．
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决．
跟踪训练2　若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A.B．2C．2D．4
答案　C
解析　因为＋＝，所以a＞0，b＞0，
因为＝＋≥2 ＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2.
类型三　利用基本不等式解决实际应用问题
例3　某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数；
(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
解　(1)由题意可设3－x＝(k≠0)，
将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.
当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x＋3＝32＋3.
当销售x(万件)时，
年销售收入为150%＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销售完，
由年利润＝年销售收入—年生产成本—促销费用，
得年利润y＝(t≥0)．
(2)y＝＝50－
≤50－2 ＝50－2＝42，
当且仅当＝，
即当t＝7时，等号成立，ymax＝42，
∴当促销费用定在7万元时，年利润最大．
反思与感悟　利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约．
跟踪训练3　围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解　(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m.
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝，
∴y＝225x＋－360(x＞2)．
(2)∵x＞2，
∴225x＋≥2＝2＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440，
当且仅当225x＝，即当x＝24时等号成立，此时修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
1．下列不等式中，正确的个数是(　　)
①若a，b∈R，则≥；
②若x∈R，则x2＋2＋＞2；
③若x∈R，则x2＋1＋≥2；
④若a，b∈R＋，则≥.
A．0B．1C．2D．3
答案　C
解析　显然①不正确；③正确；
对②，虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋＞2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.
2．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是(　　)
A．3B．4C．5D．6
答案　C
解析　∵a＋b＝2×＝1，a＞0，b＞0，
∴α＋β＝a＋＋b＋＝1＋≥1＋＝5，
当且仅当a＝b＝时取“＝”号．
3．下列不等式的证明过程正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≥2＝2
B．若x＞0，则cosx＋≥2＝2
C．若x＜0，则x＋≤2＝4
D．若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－≤－2＝－2
答案　D
解析　对于A，a，b必须同号；
对于B，cos x不一定大于0；对于C，由x＜0，
得x＋＝－
≤－2 ＝－4.
对于D，由ab＜0，得＜0，＜0，
所以＋＝－≤－2＝－2.
4．当x＞1时，函数y＝x＋的最小值是________．
答案　3
解析　因为x＞1，所以y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x－1＝，
且x＞1，即x＝2时等号成立．故函数的最小值为3.
5．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1.求证：a2＋b2≥.
证明　∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，
∴a2＋b2≥，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
1．对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷．
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤(a，b∈R＋)．
(3)＋≥2(a，b同号)．
(4)(a＋b)≥4(a，b∈R＋)．
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
2．利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据．
一、选择题
1．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8B．4C．1D.
答案　B
解析　∵是3a与3b的等比中项，
∴3a·3b＝3a＋b＝3，∴a＋b＝1.
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
2．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
答案　D
解析　由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4，当且仅当＝时取等号．故选D.
3．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值为(　　)
A．2B．2C．4D．5
答案　C
解析　∵a＞0，b＞0，
∴＋＋2≥＋2≥2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立．
4．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则p的取值范围为(　　)
A．(－∞，－9) B．(－9,9]
C．(－∞，9] D．[9，＋∞)
答案　D
解析　要使＋≥16恒成立，必有p＞0.
又∵＋＝·(sin2x＋cos2x)
＝1＋p＋＋
≥1＋p＋2＝(＋1)2，当且仅当sin2x＝cos2x时，等号成立．
∴(＋1)2≥16，即＋1≥4，
∴≥3，∴p≥9.
5．下列说法中，正确的个数是(　　)
①函数y＝x＋的最小值是2；
②函数y＝cosx＋的最小值为6；
③若正数a，b满足2a＋b＝2，则ab的最大值为.
A．0B．1C．2D．3
答案　B
解析　当x＞0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，当x＜0时，－y＝(－x)＋≥2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立，所以y≤－2，所以①错误；由x∈，得cos x∈(0,1)，所以y＝cos x＋＞10，所以②错误；由2＝2a＋b≥2，得ab≤，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立，所以③正确．
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案　A
解析　由已知y1＝，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8.
当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．
二、填空题
7．若a＞0，b＞0，a＋b＝1，则的最小值是________．
答案　9
解析　因为＝·
＝·
＝
＝＝1＋.
由a＞0，b＞0，a＋b＝1，得ab≤2＝，
所以≥4，所以≥9，
当a＝b＝时取等号．
8．已知x＞0，y＞0且满足x＋y＝6，则使不等式＋≥m恒成立的实数m的取值范围为________．
答案　
解析　因为x＞0，y＞0，＋＝×
＝≥×(10＋6)＝.
当且仅当＝时等号成立，又x＋y＝6，x＞0，y＞0，
得x＝，y＝.
所以m的取值范围是.
9．已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝y，则＋的最小值为________．
答案　3
解析　∵2x－3＝y，∴x－3＝－y，即x＋y＝3.
故＋＝(x＋y)·＝＋＋≥＋2＝＋＝3
.
10．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
答案　[9，＋∞)
解析　令＝t(t＞0)，由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得t2≥2t＋3，所以t≥3或t≤－1(舍去)，所以≥3，ab≥9，当a＝b＝3时取等号．
11．函数y＝(x≥0)的最小值为________．
答案　7
解析　y＝＝
＝(x＋2)＋＋1≥2 ＋1＝7.
当且仅当x＋2＝，即x＝1时取等号．
∴当x＝1时，ymin＝7.
三、解答题
12．(1)已知正数a，b满足a＋4b＝4，求＋的最小值；
(2)求函数y＝的最大值．
解　(1)因为a＞0，b＞0，且a＋4b＝4，
所以＋＝(a＋4b)＝≥＝，
当且仅当a＝，b＝时取等号，
所以＋的最小值为.
(2)令t＝(t≥)，
则f(t)＝＝≤＝，
当且仅当t＝2，即x＝±时，取等号．
故y＝的最大值为.
13．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3m，AD＝2m.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；
(3)若AN的长度不小于6m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
解　(1)设AN＝xm(x＞2)，则ND＝(x－2)m.
∵＝，∴＝，∴AM＝，
∴·x＞32，∴3x2－32x＋64＞0，
∴(3x－8)(x－8)＞0，∴2＜x＜或x＞8.
∴AN的长的范围为∪(8，＋∞)．
(2)由(1)知，S矩形AMPN＝＝
＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24.
当且仅当x＝4时取等号．
∴当AN的长度为4m时，矩形AMPN的面积最小，矩形AMPN的最小面积为24m2.
(3)由(2)得S矩形AMPN＝3(x－2)＋＋12(x≥6)，
令x－2＝t(t≥4)，
则S矩形AMPN＝3t＋＋12(t≥4)．
设f(t)＝3t＋＋12(t≥4)，
则f′(t)＝3－，当t≥4时，f′(t)＞0，
∴函数f(t)在[4，＋∞)上单调递增，
∴f(t)min＝f(4)＝27，此时x＝6.
∴若AN的长度不小于6m，则当AN的长度是6m时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27m2.
四、探究与拓展
14．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：(1)＋＋≤；
(2)＋＋＜6.
证明　(1)∵≥，∴2≤a＋b.
同理2≤a＋c,2≤b＋c，且当a＝b＝c时，等号同时成立．
∴(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2
≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(a＋c)＋(b＋c)＝3(a＋b＋c)＝3，
∴＋＋≤，当a＝b＝c时等号成立．
(2)∵＝≤，且由于3a＋2≠1，
∴等号不成立，∴＜.
同理＜，＜，
∴＋＋＜[3(a＋b＋c)＋9]＝6.
15．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
解　因为x＋y＝(x＋y)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
又(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18. ①
又a＋b＝10， ②
由①②可得或