第1讲 1 第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式学案

第3课时　三个正数的算术—几何平均不等式
学习目标　1.理解定理3.2.能用定理3及其推广证明一些不等式.3.会用定理解决函数的最值或值域问题.4.能运用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单的实际问题．
知识点　三项均值不等式
思考　类比基本不等式：≥(a＞0，b＞0)，请写出a，b，c∈R＋时，三项的均值不等式．
答案　≥.
梳理　(1)三个正数的算术—几何平均不等式(定理3)
如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
(2)基本不等式的推广
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
(3)重要变形及结论
①abc≤3；②a3＋b3＋c3≥3abc；
③≤≤≤.
上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为a＝b＝c.
类型一　用平均不等式求最值
例1　(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值；
(2)求函数y＝x＋(x＞1)的最小值．
解　(1)∵1＜x＜，∴3－2x＞0，x－1＞0.
又y＝(x－1)2(3－2x)
＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3
＝3＝，当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，
即x＝∈时，ymax＝.
(2)∵x＞1，∴x－1＞0，y＝x＋
＝(x－1)＋(x－1)＋＋1
≥3 ＋1＝4，
当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，
即x＝3时等号成立．即ymin＝4.
反思与感悟　(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
跟踪训练1　求函数y＝(1－3x)2·x的最大值．
解　y＝(1－3x)2·x＝·(1－3x)·(1－3x)·6x≤3＝，
当且仅当1－3x＝1－3x＝6x，即x＝时，ymax＝.
类型二　用平均不等式证明不等式
例2　已知a，b，c∈R＋.求证：a3＋b3＋c3＋≥2.
证明　∵a3＋b3＋c3＋≥3abc＋≥2，
当且仅当a＝b＝c，且abc＝时等号成立．
∴a3＋b3＋c3＋≥2.
引申探究
若本例条件不变，求证：＋＋≥3.
证明　＋＋
＝＋－3
≥3＋3－3＝6－3＝3，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
反思与感悟　证明不等式的方法
(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不等式证明．
(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．
跟踪训练2　已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，
求证：(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27.
证明　∵1＋x＋y≥3＞0,1＋x＋z≥3＞0，
1＋y＋z≥3＞0，
∴(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27.
又∵xyz＝1，
∴(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27，
当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立．
类型三　用平均不等式解决实际应用问题
例3　如图，将边长为1的正六边形铁皮(图①)的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图②)．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．
解　设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0＜x＜1)，则OB1＝B1B2＝x.
由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，
得OA1＝A1A2＝1，∴A1B1＝OA1－OB1＝1－x.
作B1C1⊥A1A2于点C1，
在Rt△A1C1B1中，
∠B1A1C1＝60°，
则容器的高B1C1＝A1B1sin 60°＝(1－x)．
于是容器的容积为
V＝f(x)＝Sh＝·(1－x)
＝x2(1－x)(0＜x＜1)．
则f(x)＝x2(1－x)＝·x·x(2－2x)≤·3＝，
当且仅当x＝x＝2－2x，
即x＝时，Vmax＝.
故当正六棱柱容器的底面边长为时，最大容积为.
反思与感悟　利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤
(1)理解题意，设变量．设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数．
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
(4)验证相等条件，得出结论．
跟踪训练3　已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？
解　设内接圆柱的体积为V，
又R2＝r2＋，
∴r2＝R2－，
∴V＝πr2h＝πh.
又V＝(4R2－h2)·h＝
＝≤
＝πR3，
当且仅当4R2－h2＝2h2，即h＝R，此时r＝R时，等号成立．
∴当h＝R，r＝R时，
内接圆柱的体积最大为πR3.
1．函数f(x)＝＋2x(x＞0)的最小值为(　　)
A．3B．4C．5D．6
答案　A
解析　∵x＞0，∴f(x)＝＋x＋x≥3＝3，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
2．设x＞0，则f(x)＝4－x－的最大值为(　　)
A．4－B．4－C．不存在D.
答案　D
解析　∵x＞0，
∴f(x)＝4－x－＝4－
≤4－3＝4－＝，
当且仅当＝＝，即x＝1时，等号成立．
3．已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是(　　)
A．y＝x2＋2x＋≥3＝6，故ymin＝6.
B．y＝2＋x＋≥3＝3，故ymin＝3.
C．y＝2＋x＋≥4，故ymin＝4.
D．y＝x(1－x)(1－2x)≤3＝，故ymax＝.
答案　C
解析　A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥3(a，b，c∈R＋)和abc≤3(a，b，c∈R＋)时都不能保证等号成立，最值取不到．
C中，∵x＞0，∴y＝2＋x＋＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
4．设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值为(　　)
A．2B．3C．4D．6
答案　C
解析　∵ab2＝4a××≤43＝43
＝4×13＝4，当且仅当a＝＝1时，等号成立．即ab2的最大值为4.
5．已知a，b为实数，且a＞0，b＞0，则
的最小值为________．
答案　9
解析　因为a＞0，b＞0，
所以a＋b＋≥3＝3＞0， ①
同理可得a2＋＋≥3＞0， ②
由①②及不等式的性质，
得≥3×3＝9，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
1．求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立．
2．求形如y＝ax2＋(x＞0，a＞0，b＞0)的函数的最小值，关键是拆为＝＋，则y＝ax2＋＝ax2＋＋≥3＝.求形如y＝ax＋(x＞0，a＞0，bc＞0)的函数的最小值，关键是拆ax为＋，则y＝ax＋＝＋＋≥3＝.
一、选择题
1．函数y＝x2(1－5x)的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　y＝x2(1－5x)＝(1－5x)×≤×3＝，
当且仅当x＝1－5x，即x＝时等号成立．
2．若a＞b＞0，则a＋的最小值为(　　)
A．0B．1C．2D．3
答案　D
解析　∵a＞b＞0，a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋的最小值为3.故选D.
3．设x，y，z＞0且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是(　　)
A．(－∞，lg6] B．(－∞，3lg2]
C．[lg6，＋∞) D．[3lg2，＋∞)
答案　B
解析　∵6＝x＋y＋z≥3，∴xyz≤8，
∴lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2 .
4．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(　　)
A．1B．2C．3D．4
答案　C
解析　xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3＝3，
当且仅当xy＝x2，即y＝2x时取等号．
5．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则(　　)
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D．z≤y≤x
答案　B
解析　由a，b，c∈R＋，易知≥，即x≥y.
又z2＝，x2＝，
且x2＝≤＝，∴x2≤z2，则x≤z，
因此z≥x≥y.
6．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是(　　)
A．V≥π B．V≤π
C．V≥π D．V≤π
答案　B
解析　设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π3＝π，
当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
二、填空题
7．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
答案　
解析　∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·≥3·3＝9，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，
故2(a＋b＋c)·≥9.
又a＋b＋c＝1，∴＋＋≥.
8．已知x，y，z∈R＋，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为________．
答案　1
解析　因为x，y，z∈R＋，且x＋3y＋4z＝6，
所以6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6·＝6·，
所以x2y3z≤1，当且仅当＝y＝4z时取等号．
9．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为________．
答案　8
解析　a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，
则a＋b＋
＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝8，
当且仅当a－2＝b－3＝，
即a＝3，b＝4时等号成立．
10．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
答案　2
解析　2x＋＝(x－a)＋(x－a)＋＋2a，
∵x－a＞0，
∴2x＋≥3＋2a
＝3＋2a，
当且仅当x－a＝，即x＝a＋1时取等号．
∴2x＋的最小值为3＋2a.
由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
11．已知a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，则＋＋的最小值为________．
答案　9
解析　因为a，b，c∈R＋，且满足a＋2b＋3c＝1，
所以＋＋＝(a＋2b＋3c)·
≥3·3＝9，
当且仅当a＝2b＝3c＝时取等号．
因此＋＋的最小值为9.
三、解答题
12．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
解　因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)，
所以2≥9(abc). ②
故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)，
又3(abc)＋9(abc)≥2＝6， ③
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立，
即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立，
所以原不等式成立．
13．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3.
(1)求＋＋的最小值；
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2＜9.
(1)解　因为x＋y＋z≥3＞0，
＋＋≥＞0，
所以(x＋y＋z)≥9，
则＋＋≥3，
当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立，故＋＋的最小值为3.
(2)证明　x2＋y2＋z2＝≥＝＝3.
当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立，
又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)＜0，所以3≤x2＋y2＋z2＜9.
四、探究与拓展
14．制造一个容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，当圆柱形桶的底面半径为________米，高为________米时，所使用的材料成本最低．
答案　　
解析　设此圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，
则底面面积为πr2，侧面积为2πrh，
设原料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.
∵桶的容积为，∴πr2h＝，
∴rh＝，∴y＝30πr2＋π＝10π
≥10π×3，
当且仅当3r2＝，即r＝时等号成立，此时h＝.
15．设0＜θ＜π，求函数y＝sin(1＋cosθ)的最大值．
解　y＝sin (1＋cos θ )＝2sin cos2＞0(0＜θ＜π)，
y取最大值当且仅当y2取最大值．
y2＝4sin2·cos4
＝4sin2·cos2·cos2
＝2·2sin2·cos2·cos2
≤2·3
＝2×3＝，
当2sin2＝cos2时取等号，
此时tan2＝，tan ＝±，
而tan ＝在θ∈(0，π)上有解，
则y＝，故ymax＝.