第1讲 不等式和绝对值不等式复习课学案
文档属性
| 名称 | 第1讲 不等式和绝对值不等式复习课学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 138.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-18 15:56:14 | ||
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文档简介
复习课
学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．
1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
(5)乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．
(6)开方：如果a＞b＞0，那么＞(n∈N，n≥2)．
3．基本不等式
(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)．
(2)定理2：如果a，b＞0，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．
(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
(4)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则≥.当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立；
(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求．
4．绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法
(1)根据绝对值的定义．
(2)分区间讨论(零点分段法)．
(3)图象法．
5．绝对值三角不等式
(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．
(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)．
(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)．
(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)．
(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).
类型一 不等式的基本性质的应用
例1 “a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d.
反思与感悟 利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．
跟踪训练1 如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2＞a＞－a2＞－a
B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2
D．a2＞－a＞a＞－a2
答案 B
解析 由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.
类型二 基本不等式及其应用
例2 已知a＞b＞c＞d，求证：＋＋≥.
证明 ∵a＞b＞c＞d，
∴a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0，
∴(a－d)
＝·[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]
≥3·3＝9.
∴＋＋≥.
反思与感悟 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式．
跟踪训练2 设a，b，c均为正数，
证明：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc.
证明 (ab＋a＋b＋1)·(ab＋ac＋bc＋c2)
＝(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)
≥2·2·2·2＝16abc，
∴所证不等式成立．
例3 若x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
答案 3
解析 由x－2y＋3z＝0，得y＝，
则＝≥＝3，
当且仅当x＝3z时取“＝”．
反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．
跟踪训练3 当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
答案 C
解析 f(x)＝＝＋.
∵x∈，∴cos x＞0，sin x＞0.
故f(x)＝＋≥2 ＝4，当且仅当cos x＝2sin x＞0时，等号成立．故选C.
类型三 含绝对值的不等式的解法
例4 解下列关于x的不等式．
(1)|x＋1|＞|x－3|；
(2)|x－2|－|2x＋5|＞2x.
解 (1)方法一 |x＋1|＞|x－3|，
两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1.
∴原不等式的解集为{x|x＞1}．
方法二 分段讨论：
当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈?；
当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3，
即x＞1，∴此时1＜x≤3；
当x＞3时，有x＋1＞x－3，∴x＞3.
∴原不等式的解集为{x|x＞1}．
(2)分段讨论：①当x＜－时，原不等式变形为
2－x＋2x＋5＞2x，解得x＜7，
∴不等式的解集为.
②当－≤x≤2时，
原不等式变形为2－x－2x－5＞2x，解得x＜－，
∴不等式的解集为.
③当x＞2时，原不等式变形为x－2－2x－5＞2x，
解得x＜－，∴原不等式无解．
综上可知，原不等式的解集为.
反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|，得2≥4，无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以解得a＝3.
类型四 恒成立问题
例5 设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥＋1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，
f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－1≥|x＋1＋4－x|－1＝4，
∴f(x)min＝4.
(2)f(x)≥＋1对任意的实数x恒成立
?|x＋1|＋|x－4|－1≥a＋对任意的实数x恒成立
?a＋≤4.
当a＜0时，上式成立；
当a＞0时，a＋≥2 ＝4，
当且仅当a＝，即a＝2时上式取等号，
此时a＋≤4成立．
综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪{2}．
反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法．
跟踪训练5 已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．
解 (1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2，
∵f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，
∴当a≤0时，不合题意．
又当a＞0时，－≤x≤，
∴a＝2.
(2)令h(x)＝f(x)－2f＝|2x＋1|－|2x＋2|，
∴h(x)＝
∴|h(x)|≤1，∴k≥1，即k的取值范围是[1，＋∞).
1．给出下列四个命题：
①若a＞b，c＞1，则algc＞blgc；②若a＞b，c＞0，则algc＞blgc；③若a＞b，则a·2c＞b·2c；④若a＜b＜0，c＞0，则＞.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①正确，c＞1，lg c＞0；②不正确，当0＜c≤1时，lg c≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a＜b＜0，得0＞＞，故＞.
2．设6＜a＜10，≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是( )
A．9＜c＜30 B．0≤c≤18
C．0≤c≤30 D．15＜c＜30
答案 A
解析 因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a.
又因为6＜a＜10，所以＞9,3a＜30.
所以9＜≤a＋b≤3a＜30，
即9＜c＜30.
3．不等式4＜|3x－2|＜8的解集为_______________________________________．
答案
解析 由4＜|3x－2|＜8，得?
?
∴－2＜x＜－或2＜x＜.
∴原不等式的解集为.
4．解不等式3≤|x－2|＜4.
解 方法一 原不等式等价于
由①得x－2≤－3或x－2≥3，
∴x≤－1或x≥5.
由②得－4＜x－2＜4，
∴－2＜x＜6.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
方法二 3≤|x－2|＜4?3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3?5≤x＜6或－2＜x≤－1.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
1．本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法．
2．重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．
3．重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．
一、选择题
1．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＞2b B．－＞－1
C．2a＞2b D．lg(a－b)＞1
答案 C
解析 ∵y＝2x是增函数，又a＞b，∴2a＞2b.
2．设a，b为正实数，以下不等式恒成立的为( )
①＞； ②a＞|a－b|－b；
③a2＋b2＞4ab－3b2； ④ab＋＞2.
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 D
解析 ①不恒成立，因为a＝b时取“＝”；
②恒成立，因为a，b均为正数；
④是恒成立的，因为ab＋≥2＞2.
3．若a＞b，b＞0，则下列与－b＜＜a等价的是( )
A．－＜x＜0或0＜x＜
B．－＜x＜
C．x＜－或x＞
D．x＜－或x＞
答案 D
解析 －b＜＜a，当x＜0时，－bx＞1＞ax，解得x＜－；当x＞0时，－bx＜1＜ax，解得x＞，故选D.
4．不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是( )
A. B.
C．{x|x≥3} D．{x|－3＜x≤0}
答案 A
解析 ①由无解；
②由得＜x＜3；
③由得x≥3.
综上，不等式的解集为.
5．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵|2x－1|＋|2x＋3|≥|2x－1－(2x＋3)|＝4，
∴当a＜4时?|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立，即充分条件成立；
对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a?a≤4，不能推出a＜4，即必要条件不成立．
二、填空题
6．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．
答案
解析 令f(x)＝＝，
∵x>0，∴x＋≥2，
∴f(x)≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，即f(x)的最大值为.
若使不等式恒成立，只需a≥即可．
7．已知不等式|x＋2|－|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
答案 [－2，＋∞)
解析 ∵||x＋2|－|x||≤|x＋2－x|＝2，
∴2≥|x＋2|－|x|≥－2，
∵不等式|x＋2|－|x|≤a的解集不是空集，∴a≥－2.
8．定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．
答案
解析 因为x?y＝，所以(2y)?x＝.
又x＞0，y＞0，
故x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
9．不等式(3|x|－1)≤|x|＋3的解集为________．
答案 {x|－13≤x≤13}
解析 当x＜0时，不等式为(－3x－1)≤－x＋3，
解得－13≤x＜0，
当x≥0时，不等式为(3x－1)≤x＋3，
解得0≤x≤13，
∴不等式的解集为{x|－13≤x≤13}．
10．若f(x)＝2|x＋1|－|x－1|且f(x)≥2，则x的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)＝2x是增函数，
∴f(x)≥2，即|x＋1|－|x－1|≥，
①∴x≥1，②∴≤x＜1，
③无解．综上x∈.
11．已知函数f(x)＝|x－a|，若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，则实数a的值为________．
答案 2
解析 由f(x)≤3，得|x－a|≤3，
解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2，
所以实数a的值为2.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解 (1)当a＝－3时，f(x)＝|x－3|＋|x－2|＝
当x≤2时，由f(x)≥3，得－2x＋5≥3，
解得x≤1；
当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；
当x≥3时，由f(x)≥3，得2x－5≥3，
解得x≥4；
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a，
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，
即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解 (1)f(x)＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，
解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x，而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤.
当且仅当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝，
故m的取值范围是.
四、探究与拓展
14．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a＞0)．
(1)当a＝4时，求不等式的解集；
(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．
解 (1)令f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，
当a＝4时，f(x)≤2，
当x＜－时，f(x)＝－x－2≤2，得－4≤x＜－；
当－≤x≤1时，f(x)＝3x≤2，得－≤x≤；
当x＞1时，f(x)＝x＋2≤2，此时x不存在．
所以不等式的解集为.
(2)设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝
故f(x)∈，即f(x)的最小值为－，
若f(x)≤log2a有解，则log2a≥－，解得a≥，
即a的取值范围是.
15．已知不等式|2x－3|＜x与不等式x2－mx＋n＜0的解集相同．
(1)求m－n；
(2)若a，b，c∈(0,1)，且ab＋bc＋ac＝m－n，求a＋b＋c的最小值．
解 (1)|2x－3|＜x，即－x＜2x－3＜x，解得1＜x＜3，
∴1,3是方程x2－mx＋n＝0的两根，
∴由根与系数的关系，得
∴m－n＝1.
(2)由(1)得ab＋bc＋ac＝1，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝＋＋＋2.
∵≥ab，≥bc，≥ac，
∴＋＋≥ab＋bc＋ac＝1.
∴(a＋b＋c)2＝＋＋＋2≥3(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)，
∴a＋b＋c的最小值是.
学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．
1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
(5)乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．
(6)开方：如果a＞b＞0，那么＞(n∈N，n≥2)．
3．基本不等式
(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)．
(2)定理2：如果a，b＞0，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．
(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
(4)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则≥.当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立；
(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求．
4．绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法
(1)根据绝对值的定义．
(2)分区间讨论(零点分段法)．
(3)图象法．
5．绝对值三角不等式
(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．
(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)．
(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)．
(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)．
(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).
类型一 不等式的基本性质的应用
例1 “a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d.
反思与感悟 利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．
跟踪训练1 如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2＞a＞－a2＞－a
B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2
D．a2＞－a＞a＞－a2
答案 B
解析 由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.
类型二 基本不等式及其应用
例2 已知a＞b＞c＞d，求证：＋＋≥.
证明 ∵a＞b＞c＞d，
∴a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0，
∴(a－d)
＝·[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]
≥3·3＝9.
∴＋＋≥.
反思与感悟 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式．
跟踪训练2 设a，b，c均为正数，
证明：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc.
证明 (ab＋a＋b＋1)·(ab＋ac＋bc＋c2)
＝(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)
≥2·2·2·2＝16abc，
∴所证不等式成立．
例3 若x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
答案 3
解析 由x－2y＋3z＝0，得y＝，
则＝≥＝3，
当且仅当x＝3z时取“＝”．
反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．
跟踪训练3 当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
答案 C
解析 f(x)＝＝＋.
∵x∈，∴cos x＞0，sin x＞0.
故f(x)＝＋≥2 ＝4，当且仅当cos x＝2sin x＞0时，等号成立．故选C.
类型三 含绝对值的不等式的解法
例4 解下列关于x的不等式．
(1)|x＋1|＞|x－3|；
(2)|x－2|－|2x＋5|＞2x.
解 (1)方法一 |x＋1|＞|x－3|，
两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1.
∴原不等式的解集为{x|x＞1}．
方法二 分段讨论：
当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈?；
当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3，
即x＞1，∴此时1＜x≤3；
当x＞3时，有x＋1＞x－3，∴x＞3.
∴原不等式的解集为{x|x＞1}．
(2)分段讨论：①当x＜－时，原不等式变形为
2－x＋2x＋5＞2x，解得x＜7，
∴不等式的解集为.
②当－≤x≤2时，
原不等式变形为2－x－2x－5＞2x，解得x＜－，
∴不等式的解集为.
③当x＞2时，原不等式变形为x－2－2x－5＞2x，
解得x＜－，∴原不等式无解．
综上可知，原不等式的解集为.
反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|，得2≥4，无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以解得a＝3.
类型四 恒成立问题
例5 设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥＋1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，
f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－1≥|x＋1＋4－x|－1＝4，
∴f(x)min＝4.
(2)f(x)≥＋1对任意的实数x恒成立
?|x＋1|＋|x－4|－1≥a＋对任意的实数x恒成立
?a＋≤4.
当a＜0时，上式成立；
当a＞0时，a＋≥2 ＝4，
当且仅当a＝，即a＝2时上式取等号，
此时a＋≤4成立．
综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪{2}．
反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法．
跟踪训练5 已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．
解 (1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2，
∵f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，
∴当a≤0时，不合题意．
又当a＞0时，－≤x≤，
∴a＝2.
(2)令h(x)＝f(x)－2f＝|2x＋1|－|2x＋2|，
∴h(x)＝
∴|h(x)|≤1，∴k≥1，即k的取值范围是[1，＋∞).
1．给出下列四个命题：
①若a＞b，c＞1，则algc＞blgc；②若a＞b，c＞0，则algc＞blgc；③若a＞b，则a·2c＞b·2c；④若a＜b＜0，c＞0，则＞.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①正确，c＞1，lg c＞0；②不正确，当0＜c≤1时，lg c≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a＜b＜0，得0＞＞，故＞.
2．设6＜a＜10，≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是( )
A．9＜c＜30 B．0≤c≤18
C．0≤c≤30 D．15＜c＜30
答案 A
解析 因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a.
又因为6＜a＜10，所以＞9,3a＜30.
所以9＜≤a＋b≤3a＜30，
即9＜c＜30.
3．不等式4＜|3x－2|＜8的解集为_______________________________________．
答案
解析 由4＜|3x－2|＜8，得?
?
∴－2＜x＜－或2＜x＜.
∴原不等式的解集为.
4．解不等式3≤|x－2|＜4.
解 方法一 原不等式等价于
由①得x－2≤－3或x－2≥3，
∴x≤－1或x≥5.
由②得－4＜x－2＜4，
∴－2＜x＜6.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
方法二 3≤|x－2|＜4?3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3?5≤x＜6或－2＜x≤－1.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
1．本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法．
2．重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．
3．重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．
一、选择题
1．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＞2b B．－＞－1
C．2a＞2b D．lg(a－b)＞1
答案 C
解析 ∵y＝2x是增函数，又a＞b，∴2a＞2b.
2．设a，b为正实数，以下不等式恒成立的为( )
①＞； ②a＞|a－b|－b；
③a2＋b2＞4ab－3b2； ④ab＋＞2.
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 D
解析 ①不恒成立，因为a＝b时取“＝”；
②恒成立，因为a，b均为正数；
④是恒成立的，因为ab＋≥2＞2.
3．若a＞b，b＞0，则下列与－b＜＜a等价的是( )
A．－＜x＜0或0＜x＜
B．－＜x＜
C．x＜－或x＞
D．x＜－或x＞
答案 D
解析 －b＜＜a，当x＜0时，－bx＞1＞ax，解得x＜－；当x＞0时，－bx＜1＜ax，解得x＞，故选D.
4．不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是( )
A. B.
C．{x|x≥3} D．{x|－3＜x≤0}
答案 A
解析 ①由无解；
②由得＜x＜3；
③由得x≥3.
综上，不等式的解集为.
5．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵|2x－1|＋|2x＋3|≥|2x－1－(2x＋3)|＝4，
∴当a＜4时?|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立，即充分条件成立；
对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a?a≤4，不能推出a＜4，即必要条件不成立．
二、填空题
6．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．
答案
解析 令f(x)＝＝，
∵x>0，∴x＋≥2，
∴f(x)≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，即f(x)的最大值为.
若使不等式恒成立，只需a≥即可．
7．已知不等式|x＋2|－|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
答案 [－2，＋∞)
解析 ∵||x＋2|－|x||≤|x＋2－x|＝2，
∴2≥|x＋2|－|x|≥－2，
∵不等式|x＋2|－|x|≤a的解集不是空集，∴a≥－2.
8．定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．
答案
解析 因为x?y＝，所以(2y)?x＝.
又x＞0，y＞0，
故x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
9．不等式(3|x|－1)≤|x|＋3的解集为________．
答案 {x|－13≤x≤13}
解析 当x＜0时，不等式为(－3x－1)≤－x＋3，
解得－13≤x＜0，
当x≥0时，不等式为(3x－1)≤x＋3，
解得0≤x≤13，
∴不等式的解集为{x|－13≤x≤13}．
10．若f(x)＝2|x＋1|－|x－1|且f(x)≥2，则x的取值范围是________．
答案
解析 ∵f(x)＝2x是增函数，
∴f(x)≥2，即|x＋1|－|x－1|≥，
①∴x≥1，②∴≤x＜1，
③无解．综上x∈.
11．已知函数f(x)＝|x－a|，若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，则实数a的值为________．
答案 2
解析 由f(x)≤3，得|x－a|≤3，
解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2，
所以实数a的值为2.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解 (1)当a＝－3时，f(x)＝|x－3|＋|x－2|＝
当x≤2时，由f(x)≥3，得－2x＋5≥3，
解得x≤1；
当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；
当x≥3时，由f(x)≥3，得2x－5≥3，
解得x≥4；
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a，
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，
即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解 (1)f(x)＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，
解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x，而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤.
当且仅当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝，
故m的取值范围是.
四、探究与拓展
14．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a＞0)．
(1)当a＝4时，求不等式的解集；
(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．
解 (1)令f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，
当a＝4时，f(x)≤2，
当x＜－时，f(x)＝－x－2≤2，得－4≤x＜－；
当－≤x≤1时，f(x)＝3x≤2，得－≤x≤；
当x＞1时，f(x)＝x＋2≤2，此时x不存在．
所以不等式的解集为.
(2)设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝
故f(x)∈，即f(x)的最小值为－，
若f(x)≤log2a有解，则log2a≥－，解得a≥，
即a的取值范围是.
15．已知不等式|2x－3|＜x与不等式x2－mx＋n＜0的解集相同．
(1)求m－n；
(2)若a，b，c∈(0,1)，且ab＋bc＋ac＝m－n，求a＋b＋c的最小值．
解 (1)|2x－3|＜x，即－x＜2x－3＜x，解得1＜x＜3，
∴1,3是方程x2－mx＋n＝0的两根，
∴由根与系数的关系，得
∴m－n＝1.
(2)由(1)得ab＋bc＋ac＝1，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝＋＋＋2.
∵≥ab，≥bc，≥ac，
∴＋＋≥ab＋bc＋ac＝1.
∴(a＋b＋c)2＝＋＋＋2≥3(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)，
∴a＋b＋c的最小值是.