第2讲 1 比较法学案

一　比较法
学习目标　1.理解比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法．
知识点一　作差比较法
思考　比差法的理论依据是什么？
答案　a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0.
梳理　作差比较法
(1)作差比较法的理论依据：a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b.
(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定与0的大小关系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．
知识点二　作商比较法
思考1　对于两个正数a，b，若＞1，能够判断a，b的大小吗？
答案　能，根据不等式的性质知，对于正数a，b，＞1?a＞b.
思考2　类比作差比较法，请谈谈作商比较法．
答案　对于正数a，b，＞1?a＞b；＝1?a＝b；＜1
?a＜b.
梳理　(1)作商比较法：若a＞0，b＞0，要证明a＞b，只要证明＞1；要证明b＞a，只要证明＜1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．
(2)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：
①b＞0，若＞1，则a＞b；若＜1，则a＜b；
②b＜0，若＞1，则a＜b；若＜1，则a＞b.
(3)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定与1的大小关系；⑤得出结论.
类型一　作差比较法证明不等式
例1　已知正数a，b，c成等比数列，求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.
证明　因为正数a，b，c成等比数列，
所以b2＝ac，b＝，
又(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2
＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc
＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c)
＝2b(－)2≥0，
所以a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.
反思与感悟　作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与0比较大小．
跟踪训练1　已知a≥1，求证：－＜－.
证明　∵(－)－(－)
＝－
＝＜0，
∴－＜－.
类型二　作商比较法证明不等式
例2　已知a＞0，b＞0，求证：aabb≥.
证明　因为aabb＞0，＞0，
所以＝＝.
当a＝b时，显然有＝1；
当a＞b＞0时，＞1，＞0，
所以由指数函数的单调性可知，＞1；
当b＞a＞0时，0＜＜1，＜0，
所以由指数函数的单调性可知，＞1.
综上可知，对任意实数a，b，都有aabb≥.
引申探究
1．若a＞0，b＞0，求证：≥abba.
证明　因为abba＞0，＞0，
所以
所以当a＝b时，显然有
当a＞b＞0时，＞1，＜0，
由指数函数的单调性，
可得＜0＝1；
当b＞a＞0时，0＜＜1，＞0，
由指数函数的单调性，
可得＜0＝1，
综上可知，对任意a＞0，b＞0，都有abba≤.
2．当a＞0，b＞0时，比较aabb与abba的大小．
解　由例2和探究1知，aabb≥≥abba.
反思与感悟　作商比较法证明不等式的一般步骤
(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商．
(2)变形：化简商式到最简形式．
(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1.
(4)得出结论．
跟踪训练2　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.
证明　∵＝＋＝＋＝
＝.
又∵a2＋b2≥2ab，
∴≥＝1，
当且仅当a＝b＞0时取等号，
∴＋≥＋.
类型三　比较法的应用
例3　证明：若a，b，m都是正数，并且a＜b，则＞(糖水不等式)．
证明　－＝.
∵a，b，m都是正数，且a＜b，
∴b－a＞0，b(b＋m)＞0，
∴＞0，即－＞0，
∴＞.
反思与感悟　比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛．
跟踪训练3　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
解　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有
m＋n＝s，＋＝t2.
∴t1＝，t2＝，
∴t1－t2＝－
＝＝－.
其中s，m，n都是正数，且m≠n，
∴t1－t2＜0，即t1＜t2.从而知甲比乙先到达指定地点．
1．已知不等式：①x2＋3＞2x(x∈R＋)；②a5＋b5＞a3b2＋a2b3(a，b∈R＋)；③a2＋b2≥2(a－b－1)．其中正确的个数为(　　)
A．0B．1C．2D．3
答案　C
解析　①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，故①正确；
②取a＝b＝1，则a5＋b5＝2，a3b2＋a2b3＝2，故②不正确；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故③正确．
2.＜1成立的充要条件是(　　)
A．a＞1 B．a＜0
C．a≠0 D．a＞1或a＜0
答案　D
解析　＜1?－1＜0?＜0?a＜0或a＞1.
3．若x，y∈R，记w＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则(　　)
A．w＞u B．w＜u
C．w≥u D．无法确定
答案　C
解析　∵w－u＝x2－xy＋y2＝2＋≥0，
∴w≥u.
4．a，b都是正数，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P＞Q B．P＜Q
C．P≥Q D．P≤Q
答案　D
解析　∵a，b都是正数，
∴P＞0，Q＞0，
∴P2－Q2＝2－()2
＝≤0.(当且仅当a＝b时取等号)
∴P2－Q2≤0，∴P≤Q.
5．设a＞b＞0，求证：＞.
证明　方法一　－
＝
＝＞0(∵a＞b＞0)，
∴原不等式成立．
方法二　∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0.
∴左边＞0，右边＞0.
∴＝＝1＋＞1.∴原不等式成立．
1．作差比较法证明不等式的技巧
(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．
2．适用作商比较法证明的不等式的特点
适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较．
一、选择题
1．设a，b∈R＋，且a≠b，若P＝＋，Q＝a＋b，则(　　)
A．P≥Q B．P＞Q
C．P≤Q D．P＜Q
答案　B
解析　P－Q＝＋－a－b＝＋＝.因为a，b∈R＋，且a≠b，所以P－Q＞0.
2．已知a＞b＞－1，则与的大小关系为(　　)
A.＞ B.＜
C.≥ D.≤
答案　B
解析　∵－＝＜0，
∴＜.
3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是(　　)
A．m＜n B．m＞n
C．m≥n D．m≤n
答案　C
解析　m2－n2＝(ac－2＋bd)－(ac＋bd－ad－bc)
＝ad－2＋bc＝(－)2≥0，
∴m2≥n2.又m＞0，n＞0，∴m≥n.
4．当a＜b＜0时，下列关系式中成立的是(　　)
A.＜ B．lgb2＜lga2
C.＞1 D.＞
答案　B
解析　方法一　取特殊值a＝－4，b＝－1，则选项A，C，D不正确，选项B正确，故选B.
方法二　∵a＜b＜0，∴a2＞b2.
而函数y＝lgx(x＞0)为增函数，
∴lgb2＜lga2，B项正确．
5．已知a＞0，且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P＞Q B．P＜Q
C．P＝Q D．大小不确定
答案　A
解析　P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.
当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜＜1，
∴loga＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q.
当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，
∴loga＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q.
综上可知，P＞Q.
6．已知a＞b＞0且ab＝1，设c＝，P＝logca，N＝logcb，M＝logc(ab)，则(　　)
A．P＜M＜N B．M＜P＜N
C．N＜P＜M D．P＜N＜M
答案　A
解析　令a＝2，b＝，则c＝＝，
则M＝logc(ab)＝0，P＝log2＜0，N＝log＞0，
∴P＜M＜N.
二、填空题
7．设a＞b＞c＞0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系为________．
答案　x＜y＜z
解析　∵a＞b＞c＞0，
∴x＞0，y＞0，z＞0.
而x2－y2＝a2＋b2＋2bc＋c2－(b2＋c2＋2ac＋a2)
＝2bc－2ac＝2c(b－a)＜0，
∴x2＜y2，即x＜y；
又y2－z2＝b2＋(c＋a)2－[c2＋(a＋b)2]
＝2ac－2ab＝2a(c－b)＜0，
∴y＜z.∴x＜y＜z.
8．已知a＞0,0＜b＜1，a－b＞ab，则与的大小关系是________．
答案　＞
解析　∵a＞0,0＜b＜1，a－b＞ab，
∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1.
从而＝＞1，
∴＞.
9．某家电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电进行降价销售，现有四种降价方案：
(1)先降价a%，再降价b%；
(2)先降价b%，再降价a%；
(3)先降价%，再降价%；
(4)一次性降价(a＋b)%.
其中a＞0，b＞0，且a≠b，则上述四种方案中，降价幅度最小的是________．
答案　方案(3)
解析　设降价前彩电的价格为1，按四种方案降价后彩电的价格依次为x1，x2，x3，x4，
则x1＝(1－a%)(1－b%)＝1－(a＋b)%＋a%·b%；
x2＝(1－b%)(1－a%)＝x1；
x3＝＝1－(a＋b)%＋2；
x4＝1－(a＋b)%＜1－(a＋b)%＋a%·b%＝x1＝x2.
又x3－x1＝2－a%·b%＞0，
∴x3＞x1＝x2＞x4.故降价幅度最小的是方案(3)．
三、解答题
10．设a，b为非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．
证明　由a，b是非负实数，作差得
a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]．
当a≥b时，≥，
从而()5≥()5，
则(－)[()5－()5]≥0；
当a＜b时，＜，从而()5＜()5，
则(－)[()5－()5]＞0，
所以a3＋b3≥(a2＋b2)．
11．已知b，m1，m2都是正数，a＜b，m1＜m2，
求证：＜.
证明　－
＝
＝
＝.
因为b＞0，m1＞0，m2＞0，
所以(b＋m1)(b＋m2)＞0.
又a＜b，m1＜m2，
所以a－b＜0，m2－m1＞0，
从而(a－b)(m2－m1)＜0.
于是＜0，
所以＜.
12．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，P为不等式f(x)＞4的解集．
(1)求P；
(2)证明：当m，n∈P时，|mn＋4|＞2|m＋n|.
(1)解　f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝
由f(x)＞4，得x＞2或x＜－2.
所以不等式f(x)＞4的解集P＝{x|x＞2或x＜－2}．
(2)证明　由(1)可知|m|＞2，|n|＞2，所以m2＞4，n2＞4，(mn＋4)2－4(m＋n)2＝(m2－4)(n2－4)＞0，
所以(mn＋4)2＞4(m＋n)2，
所以|mn＋4|＞2|m＋n|.
13．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
证明　因为a＞0，b＞0，且a≠b，
所以a2b＋ab2＞2ab，a3＋b3＞2ab.
所以a2b＋ab2－2ab＞0，a3＋b3－2ab＞0.
所以|a2b＋ab2－2ab|－|a3＋b3－2ab|
＝a2b＋ab2－2ab－a3－b3＋2ab
＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b)
＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0，
所以|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，
所以a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
四、探究与拓展
14．已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
证明　∵a＞2，
∴a－1＞1，∴loga(a－1)＞0，
log(a＋1)a＞0.
由于＝loga(a－1)·loga(a＋1)＜2
＝2.
∵a＞2，
∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2.
∴2＜2＝1.
即＜1.
∵log(a＋1)a＞0，
∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.