第2讲 复习课学案

复习课
学习目标　1.系统梳理证明不等式的基本方法.2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范．
1．比较法
作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件．证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判断结果的符号．
2．综合法
综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论．证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．
3．分析法
分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．
一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．
4．反证法
反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：
①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”“存在性”的命题；④结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题．
5．放缩法
放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③用基本不等式放缩.
类型一　比较法证明不等式
例1　若x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0.求证：x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)．
证明　∵x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx)
＝＋＋
＝2＋2＋2≥0，
∴x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)成立．
反思与感悟　作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
跟踪训练1　设a，b为实数，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求证：＋≥(a＋b)2.
证明　＋－(a＋b)2
＝－
＝
＝＝≥0，
∴＋≥(a＋b)2.
类型二　综合法与分析法证明不等式
例2　已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，求证：
(1)a＋b＋c≥；
(2)＋＋≥(＋＋)．
证明　(1)要证a＋b＋c≥，由于a，b，c∈R＋，
因此只需证(a＋b＋c)2≥3，
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
根据条件，只需证a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca，
由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)可知，原不等式成立．
(2)＋＋＝，
在(1)中已证a＋b＋c≥，
∵ab＋bc＋ca＝1，
∴要证原不等式成立，只需证≥＋＋，
即证a＋b＋c≤1＝ab＋bc＋ca.
∵a，b，c∈R＋，a＝≤，
b≤，c≤，
∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca(a＝b＝c＝时取等号)成立，
∴原不等式成立．
反思与感悟　证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁．
跟踪训练2　已知a＞b＞c，求证：＋＋＞0.
证明　方法一　要证＋＋＞0，
只需证＋＞.
∵a＞b＞c，
∴a－c＞a－b＞0，b－c＞0，
∴＞，＞0，
∴＋＞成立，
∴＋＋＞0成立．
方法二　∵a＞b＞c，
∴a－c＞a－b＞0，b－c＞0，
∴＞，＞0，
∴＋＞，
∴＋＋＞0.
类型三　反证法证明不等式
例3　若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2或<2中至少有一个成立．
证明　假设<2和<2都不成立，
则≥2和≥2同时成立．
因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾．
故<2或<2中至少有一个成立．
反思与感悟　反证法的“三步曲”：(1)否定结论．(2)推出矛盾．(3)肯定结论．其核心是在否定结论的前提下推出矛盾．
跟踪训练3　已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)＜f(b)＋f(－a)，求证：a＜b.
证明　假设a＜b不成立，则a＝b或a＞b.
当a＝b时，－a＝－b，则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，
于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．
当a＞b时，－a＜－b，由函数y＝f(x)的单调性，可得f(a)＞f(b)，f(－b)＞f(－a)，
于是有f(a)＋f(－b)＞f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立．
∴a＜b.
类型四　放缩法证明不等式
例4　已知n∈N＋，求证：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2.
证明　∵对k∈N＋，1≤k≤n，有
＝＞＝2(－)，
∴＞2(－)．
∴1＋＋＋…＋＞2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(－1)．
又∵对于k∈N＋，2≤k≤n，有
＝＜＝2(－)，
∴1＋＋＋…＋＜1＋2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)
＝2－1＜2.
∴原不等式成立．
反思与感悟　放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．
放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的．
跟踪训练4　设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，
求证：|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
证明　|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b|
＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1|，
∵0≤a≤1,0≤b≤1，∴0≤a＋b≤2，
－1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1.
∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.
1．已知p: ab＞0，q：＋≥2，则p与q的关系是(　　)
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．以上答案都不对
答案　C
解析　由ab＞0，得＞0，＞0，
∴＋≥2＝2，
又＋≥2，则，必为正数，
∴ab＞0.
2．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则(　　)
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2
D．a，b，c中至少有一个不小于
答案　D
解析　假设a，b，c都小于，
则a＋2b＋c<2与a＋2b＋c＝2矛盾．
3．若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
答案　C
解析　a＝＝，b＝＝，
∵9＞8，∴b＞a.
b与c比较：b＝＝，c＝＝，
∵35＞53，∴b＞c.
a与c比较：a＝＝，c＝，∵32＞25，∴a＞c.
∴b＞a＞c，
故选C.
4．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
证明　∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．
(1)若a＞b＞0，则bn－an＜0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)＜0.
(2)若b＞a＞0，则bn－an＞0，a－b＜0，
∴(a－b)(bn－an)＜0.
(3)若a＝b＞0，(bn－an)(a－b)＝0.
综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有
(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．

1．比较法证明不等式一般有两种方法：作差法和作商法，作商法应用的前提条件是已知不等式两端的代数式同号．
2．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，两者是对立统一的两种方法．
3．证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养．
一、选择题
1．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是(　　)
A.＋≥2 B.＋≥a＋b
C.＋≤ D.＋≥
答案　C
解析　A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．
2．设0A．c B．b
C．a D．随x取值不同而不同
答案　A
解析　∵0∴b＝x＋1>2>＝a，
∵－(x＋1)＝＝>0，
∴c>b>a.
3．若P＝＋，Q＝＋ (a≥0)，则P与Q的大小关系为(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P答案　C
解析　∵P2＝2a＋7＋2，
Q2＝2a＋7＋2，
∴P24．设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，则(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a≤b D．a≥b
答案　D
解析　∵a－b＝(m2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2
＝4m2＋n2－4mn＝(2m－n)2≥0，
∴a≥b.
5．已知a，b，c，d为实数，ab＞0，－＜－，则下列不等式中成立的是(　　)
A．bc＜ad B．bc＞ad
C.＞ D.＜
答案　B
解析　将－＜－两边同乘以正数ab，得－bc＜－ad，所以bc＞ad.
6．若A，B为△ABC的内角，则A>B是sinA>sinB的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　由正弦定理知＝＝2R，
又A，B为三角形的内角，
∴sinA>0，sinB>0，
∴sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.
二、填空题
7．lg9·lg11与1的大小关系是________．
答案　lg9·lg11＜1
解析　∵lg9＞0，lg11＞0，
∴＜＜＜＝1.
∴lg9·lg11＜1.
8．当x＞1时，x3与x2－x＋1的大小关系是________．
答案　x3＞x2－x＋1
解析　∵x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1
＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)，且x＞1，
∴(x－1)(x2＋1)＞0.
∴x3－(x2－x＋1)＞0，
即x3＞x2－x＋1.
9．用反证法证明“在△ABC中，若∠A是直角，则∠B是锐角”时，应假设________．
答案　∠B不是锐角
解析　“∠B是锐角”的否定是“∠B不是锐角”．
10．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
答案　1760
解析　设水池底长为x(x＞0)m，
则宽为＝(m)．
水池造价y＝×120＋×80＝480＋320≥480＋1 280＝1 760(元)，
当且仅当x＝2时取等号．
三、解答题
11．求证：＋＋＋…＋＜2.
证明　因为＜＝－(n∈N＋，n≥2)，
所以＋＋＋…＋＜1＋＋＋…＋
＝1＋＋＋…＋
＝2－＜2.
所以原不等式得证．
12．已知an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，求证：＜an＜.
证明　∵＞n，
∴an＝＋＋…＋＞1＋2＋…＋n＝.
又＜＝，
∴an＝＋＋…＋＜＋＋…＋＝＜.
∴＜an＜.
四、探究与拓展
13．已知a，b是正数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，若＋≥，则等号成立的条件为________．
答案　ay＝bx
解析　＋－
＝
＝≥0，
当且仅当ay＝bx时等号成立．
14．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N＋.
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
(1)解　令n＝1，得S－(－1)S1－3×2＝0，
即S＋S1－6＝0，所以(S1＋3)(S1－2)＝0，
因为S1＞0，所以S1＝2，即a1＝2.
(2)解　由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，
得(Sn＋3)[Sn－(n2＋n)]＝0，
因为an＞0(n∈N＋)，Sn＞0，从而Sn＋3＞0，
所以Sn＝n2＋n，所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，
又a1＝2＝2×1，所以an＝2n(n∈N＋)．
(3)证明　设k≥2，则＝＜＝，
所以＋＋＋…＋
＜＋＝＋－＜.
所以＋＋…＋＜.