一 二维形式的柯西不等式
学习目标 1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式,理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式,会求某些特定形式的函数的最值.
知识点 二维形式的柯西不等式
思考1 (a2+b2)(c2+d2)与4abcd的大小关系如何?那么(a2+b2)(c2+d2)与(ac+bd)2的大小关系又如何?
答案 (a2+b2)(c2+d2)≥4abcd,
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
思考2 当且仅当a=b且c=d时,(a2+b2)(c2+d2)=4abcd,那么在什么条件下(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2?
答案 当且仅当ad=bc时,(a2+b2)·(c2+d2)=(ac+bd)2.
思考3 若向量α=(a,b),向量β=(c,d),你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式?
答案 ·≥|ac+bd|.
梳理 (1)二维形式的柯西不等式
①定理1:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
②二维形式的柯西不等式的推论:
·≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R);
·≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R).
(2)柯西不等式的向量形式
定理2:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α|·|β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
(3)二维形式的三角不等式
①定理3:+≥(x1,y1,x2,y2∈R).
当且仅当三点P1,P2与原点O在同一直线上,并且P1,P2点在原点O两旁时,等号成立.
②推论:对于任意的x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R,有
+≥.
事实上,在平面直角坐标系中,设点P1,P2,P3的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|+|P2P3|≥|P1P2|,当且仅当三点P1,P2,P3在同一直线上,并且点P1,P2在P3点的两旁时,等号成立.
类型一 利用柯西不等式证明不等式
例1 已知a1,a2,b1,b2∈R+,求证:(a1b1+a2b2)·≥(a1+a2)2.
证明 ∵a1,a2,b1,b2∈R+,
∴(a1b1+a2b2)
=·
≥2
=(a1+a2)2.
∴(a1b1+a2b2)≥(a1+a2)2.
反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时,有时需要将待证不等式进行变形,以具备柯西不等式的运用条件,这种变形往往要认真分析题目的特征,根据题设条件,利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法.
跟踪训练1 已知θ为锐角,a,b∈R+,
求证:+≥(a+b)2.
证明 ∵+=(cos2θ+sin2θ)
≥2=(a+b)2,
∴+≥(a+b)2.
例2 若实数x,y,z满足x2+4y2+z2=3,求证:|x+2y+z|≤3.
证明 因为x2+4y2+z2=3,
所以由柯西不等式得
[x2+(2y)2+z2](12+12+12)≥(x+2y+z)2
.
整理得(x+2y+z)2≤9,即|x+2y+z|≤3.
反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”,构造使用柯西不等式的条件.
(2)此类题也可以用三角不等式,把△ABO的三个顶点分别设为O(0,0),A(x1,x2),B(-y1,-y2)即可.
跟踪训练2 设a,b,c为正数,求证:++≥(a+b+c).
证明 由柯西不等式知,·≥a+b,
即·≥a+b,
同理,·≥b+c,·≥a+c.
将上面三个同向不等式相加,
得(++)≥2(a+b+c),
∴++≥(a+b+c).
类型二 利用柯西不等式求最值
例3 若3x+4y=2,试求x2+y2的最小值及最小值点.
解 由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,
得25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥,
当且仅当=时等号成立,点(x,y)为所求最小值点,
解方程组得
因此,当x=,y=时,x2+y2取得最小值,最小值为,最小值点为.
反思与感悟 利用柯西不等式求最值
(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征,是利用柯西不等式求解的前提条件;
(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式,但只要适当添加上常数项或和为常数的各项,就可以应用柯西不等式来解,这也是运用柯西不等式解题的技巧;
(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的,但在运用过程中,每运用一次前后等号成立的条件必须一致,不能自相矛盾,否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.
跟踪训练3 已知a,b∈R,且9a2+4b2=18,求3a+2b的最值.
解 由柯西不等式,得(9a2+4b2)(12+12)≥(3a+2b)2,
∵9a2+4b2=18,
∴36≥(3a+2b)2.
∴|3a+2b|≤6.
当即或时等号成立.
∴当a=1,b=时,3a+2b有最大值6.
当a=-1,b=-时,3a+2b有最小值-6.
1.已知a,b∈R,a2+b2=4,则3a+2b的最大值为( )
A.4 B.2
C.8 D.9
答案 B
解析 (a2+b2)(32+22)≥(3a+2b)2,当且仅当3b=2a时取等号,所以(3a+2b)2≤4×13.所以3a+2b的最大值为2.
2.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则( )
A.ab≤ B.ab≥
C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3
答案 C
解析 ∵(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2=4,
∴a2+b2≥2.
3.设xy>0,则的最小值为________.
答案 9
解析 ∵
=≥(1+2)2=9,
当且仅当xy=,即xy=时,取等号.
∴最小值为9.
4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________.
答案
解析 ∵(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2=25,
∴m2+n2≥5.
∴≥.
当且仅当an=bm时取等号.
5.已知a2+b2=1,求证:|acosθ+bsinθ|≤1.
证明 ∵1=a2+b2=(a2+b2)·(cos2θ+sin2θ)
≥(acosθ+bsinθ)2,
∴|acosθ+bsinθ|≤1.
1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数,应用时要对照柯西不等式的原形,进行多角度的尝试.
2.柯西不等式取等号的条件也不容易记忆,如(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2等号成立的条件是ad=bc,可以把a,b,c,d看成等比,则ad=bc来联想记忆.
一、选择题
1.已知a,b∈R+且a+b=1,则P=(ax+by)2与Q=ax2+by2的关系是( )
A.P≤Q B.P<Q
C.P≥Q D.P>Q
答案 A
解析 设m=(x,y),n=(,),
则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|
=·
=·
=,
∴(ax+by)2≤ax2+by2.即P≤Q.
2.若a,b∈R,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是( )
A.[-2,2]
B.[-2,2]
C.[-,]
D.(-,)
答案 A
解析 (a2+b2)[12+(-1)2]≥(a-b)2,
∵a2+b2=10,∴(a-b)2≤20.
∴-2≤a-b≤2.
3.函数y=+2的最大值是( )
A. B.
C.3 D.5
答案 B
解析 根据柯西不等式知,
y=1×+2×≤×=(当且仅当x=时取等号).
4.若3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是( )
A.[0,] B.[-,0]
C.[-,] D.[-5,5]
答案 C
解析 (3x+2y)2≤
=5×(3x2+2y2)≤5,
∴-≤3x+2y≤.
5.已知a,b,c,d,m,n∈R+,P=+,Q=·,则P与Q的大小关系为( )
A.P≤Q B.P<Q
C.P≥Q D.P=Q
答案 A
解析 ∵P=+
≤
=·=Q.
∴P≤Q.
6.已知a,b>0,且a+b=1,则(+)2的最大值是( )
A.2 B.
C.6 D.12
答案 D
解析 (+)2
=(1×+1×)2
≤(12+12)(4a+1+4b+1)
=2[4(a+b)+2]=2×(4×1+2)=12,
当且仅当=,即a=b=时等号成立.
二、填空题
7.设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则P=2x+y的最大值为________.
答案
解析 由柯西不等式,得
(2x+y)2≤[(x)2+(y)2]·
=(3x2+2y2)·≤6×=11,
所以2x+y≤.
8.设x,y∈R+,则(x+y)的最小值是________.
答案 5+2
解析 (x+y)≥2
=(+)2=5+2,
当且仅当·=·时,等号成立.
9.已知x>0,y>0,且+=1,则2x+y的最小值为________.
答案 3+2
解析 2x+y=(2x+y)
=[()2+()2]
≥2=3+2,
当且仅当·=·时,等号成立,
又+=1,
则此时
10.已知函数f(x)=3+4,则函数f(x)的最大值为________.
答案 5
解析 由柯西不等式知,
(3+4)2≤(32+42)·[()2+()2]=25.
当且仅当3=4时,等号成立,
因此f(x)≤5.
11.函数f(x)=3cosx+4的最大值为________.
答案 5
解析 设m=(3,4),
n=(cosx,),
则f(x)=3cosx+4
=m·n≤|m||n|
=·=5.
当且仅当m∥n时,上式取“=”.
此时,3-4cosx=0.
解得sinx=±,cosx=.
故当sinx=±,cosx=时.
f(x)=3cosx+4取得最大值5.
12.已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.
则+的最大值为__________.
答案 4
解析 由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,
则解得a=-3,b=1.
又+=+
≤
=2=4,
当且仅当=,即t=1时等号成立,
故(+)max=4.
三、解答题
13.设a,b∈R+,且a+b=2.求证:+≥2.
证明 根据柯西不等式,有
[(2-a)+(2-b)]
=[()2+()2]
≥2
=(a+b)2=4.
∴+≥=2.
∴原不等式成立.
四、探究与拓展
14.若a+b=1,则2+2的最小值为( )
A.1 B.2
C. D.
答案 C
解析 2+2
=a2+2++b2+2+.
∵a+b=1,
∴a2+b2=(a2+b2)·(1+1)
≥(a+b)2=.
又∵+≥≥=8,
以上两个不等式都是当且仅当a=b=时,等号成立.
∴2+2≥+2+2+8=,
当且仅当a=b=时等号成立.
15.已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞).求证:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.
证明 由a,b∈(0,+∞),a+b=1,
x1,x2∈(0,+∞),及柯西不等式,可得
(ax1+bx2)(ax2+bx1)=[()2+()2]·[()2+()2]≥(·+·)2=(a+b)2=x1x2,
当且仅当=,即x1=x2时取得等号.
所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.