第3讲 3 排序不等式学案
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三 排序不等式
学习目标 1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用．
知识点 排序不等式
思考1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？
答案 (1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案．
(2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多；
5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少．
思考2 如图，∠POQ＝60°，比较与的大小．
答案
梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念
设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列．
①乱序和：S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn.
②反序和：S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.
③顺序和：S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn.
(2)排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．
类型一 利用排序不等式证明不等式
例1 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，
求证：＋＋≥＋＋.
证明 ∵a≥b＞0，于是≤，
又c＞0，从而≥，
同理≥，从而≥≥.
又顺序和不小于乱序和，故可得
＋＋≥＋＋
＝＋＋
≥＋＋
＝＋＋＝＋＋.
∴原不等式成立．
反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
跟踪训练1 已知0＜a≤b≤c，求证：＋＋≥＋＋.
证明 因为0＜a≤b≤c，所以0＜a＋b≤c＋a≤b＋c，
所以≥≥＞0，
又0＜a2≤b2≤c2，
所以＋＋是顺序和，
＋＋是乱序和，
由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，
即不等式＋＋≥＋＋成立．
例2 已知a，b，c均为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．
证明 由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，
所以a2≥b2≥c2，≥≥.
由顺序和≥乱序和得到两个不等式：
＋＋≥＋＋，
＋＋≥＋＋.
两式相加，得
2≥＋＋，
注意到≥(b＋c)，≥(c＋a)，
≥(a＋b)，
所以2
≥(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)
＝a＋b＋c.
故＋＋≥(a＋b＋c)．
反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据．
跟踪训练2 设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明：
a3＋b3＋c3≤＋＋.
证明 不妨设0＜a≤b≤c，
则a5≤b5≤c5，≤≤，
所以由排序不等式可得
a3＋b3＋c3＝＋＋≤＋＋，
a3＋b3＋c3＝＋＋≤＋＋，
所以a3＋b3＋c3≤＋＋.
类型二 利用排序不等式求最值
例3 设a，b，c为任意正数，求＋＋的最小值．
解 由于a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，
则a＋b≥a＋c≥b＋c，
≥≥，
由排序不等式，得
＋＋≥＋＋，
＋＋≥＋＋，
上述两式相加，得2≥3，
即＋＋≥.
当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值.
反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值．
跟踪训练3 设0＜a≤b≤c且abc＝1.试求＋＋的最小值．
解 令S＝＋＋，
则S＝＋＋
＝·bc＋·ac＋·ab.
由已知可得≥≥，ab≤ac≤bc.
∴S≥·ac＋·ab＋·bc
＝＋＋.
又S≥·ab＋·bc＋·ac
＝＋＋，
两式相加，得2S≥＋＋≥3·＝3.
∴S≥，即＋＋的最小值为.
1．设a，b，c均为正数，且P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是( )
A．P＞QB．P≥QC．P＜QD．P≤Q
答案 B
解析 不妨设a≥b≥c＞0，则a2≥b2≥c2＞0.由排序不等式，得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以P≥Q.
2．已知a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11.将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值是( )
A．324 B．314
C．304 D．212
答案 C
解析 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5≤a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5
＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.
3．n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为________．
答案 n
解析 设0＜a1≤a2≤a3≤…≤an，
则0＜a≤a≤…≤a，
则由排序不等式得，反序和≤乱序和≤顺序和．
故最小值为反序和
a1·a＋a2·a＋…＋an·a＝n.
4．设a，b都是正数，求证：2＋2≥＋.
证明 由题意不妨设a≥b＞0.
则a2≥b2，≥，所以≥.
根据排序不等式知，·＋·
≥·＋·，
即2＋2≥＋.
1．对排序不等式的理解
排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了．
2．排序不等式的本质
两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．
3．排序不等式取等号的条件
等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝b3＝…＝bn.
4．排序原理的思想
在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．
一、选择题
1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )
A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
答案 B
解析 根据排序原理，反序和最小，即az＋by＋cx最小．
2．已知a，b，c＞0，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零 B．大于零或等于零
C．小于零 D．小于零或等于零
答案 B
解析 当a＝b＝c＝1时，
a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)＝0，
当a＝1，b＝2，c＝3时，
a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)＝62.
3．设a，b，c都是正数，则式子M＝a5＋b5＋c5－a3bc－b3ac－c3ab与0的大小关系是( )
A．M≥0
B．M≤0
C．M与0的大小关系与a，b，c的大小有关
D．不能确定
答案 A
解析 不妨设a≥b≥c＞0，
则a3≥b3≥c3，且a4≥b4≥c4，
则a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4
≥a·c4＋b·a4＋c·b4.
∵a3≥b3≥c3，
且ab≥ac≥bc，
∴a4b＋b4c＋c4a＝a3·ab＋b3·bc＋c3·ca
≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
∴a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
∴M≥0.
4．在锐角三角形ABC中，设P＝，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的大小关系为( )
A．P≥Q B．P＝Q
C．P≤Q D．不能确定
答案 C
解析 不妨设A≥B≥C，
则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，
则由排序不等式有
Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA
＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)，
Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥bcosA＋ccosB＋acosC
＝R(2sinBcosA＋2sinCcosB＋2sinAcosC)，
上面两式相加，得
Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥R(2sinAcosB＋
2sinBcosA＋2sinBcosC＋2sinCcosB＋2sinCcosA＋2sinAcosC)
＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]
＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝P＝.
5．设a1，a2，a3为正数，E＝＋＋，F＝a1＋a2＋a3，则E，F的大小关系是( )
A．E＜FB．E≥FC．E＝FD．E≤F
答案 B
解析 不妨设a1≥a2≥a3＞0，
则≤≤且a2a3≤a3a1≤a1a2，
∴＋＋≥·a1a2＋·a2a3＋·a3a1
＝a1＋a2＋a3.
∴E≥F.
6．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋xy3，则M与N的大小关系是( )
A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N
答案 B
解析 ∵x≥y，
∴x3≥y3.
∴M＝x·x3＋y·y3≥x3·y＋y3·x＝x3y＋y3x＝N.
二、填空题
7．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．
答案 32 28
解析 由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.
8．5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min，10min，5min，统筹安排这5个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为________min.
答案 84
解析 5个人按接水时间为4 min,5 min,6 min,8 min，10 min的顺序进行接水时等待的总时间最少，为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．
9．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与(a＋b)的大小关系为________．
答案 aA＋bB≥(a＋b)
解析 不妨设a≥b＞0，
则A≥B＞0，由排序不等式
?2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B)
＝(a＋b)，
∴aA＋bB≥(a＋b)．
10．设a1，a2，…，an为正数，且a1＋a2＋…＋an＝5，则＋＋…＋＋的最小值为________．
答案 5
解析 由所求代数式的对称性，
不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，
所以a≤a≤…≤a，
≥≥…≥，
而，，…，，为，，，…，的一个排列，由乱序和≥反序和，得a·＋a·＋…＋a·＋a·≥a·＋a·＋…＋a·，即＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an＝5.
三、解答题
11．设a，b，c∈(0，＋∞)，利用排序不等式证明：a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b.
证明 不妨设a≥b≥c＞0，则lg a≥lg b≥lg c，
所以alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c，
alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c，
所以2alg a＋2blg b＋2clg c≥(b＋c)lg a＋(a＋c)lg b＋(a＋b)lg c，
所以lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(ab＋c·ba＋c·ca＋b)，
故a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b.
12．设a1，a2，…，an是n个互不相等的正整数，求证：
1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋.
证明 设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列，且满足b1＜b2＜…＜bn.
因为b1，b2，…，bn是互不相等的正整数，
故b1≥1，b2≥2，…，bn≥n.
又因为1＞＞＞…＞，
故由排序不等式，得
a1＋＋＋…＋≥b1＋＋＋…＋
≥1×1＋2×＋3×＋…＋n·
＝1＋＋＋…＋.
13．已知0＜α＜β＜γ＜，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα＞(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．
证明 ∵0＜α＜β＜γ＜，且y＝sinx在上为增函数，y＝cosx在为减函数，
∴0＜sinα＜sinβ＜sinγ，cosα＞cosβ＞cosγ＞0.
∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα＞sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．
四、探究与拓展
14．设x，y，z为正数，求证：
x＋y＋z≤＋＋.
证明 由于不等式关于x，y，z对称，
不妨设0＜x≤y≤z，
于是x2≤y2≤z2，≤≤，
由反序和≤乱序和，得
x2·＋y2·＋z2·≤x2·＋y2·＋z2·，
x2·＋y2·＋z2·≤x2·＋y2·＋z2·，
将上面两式相加得
2(x＋y＋z)≤＋＋，
于是x＋y＋z≤＋＋.
15．设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
证明 (1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn.
由排序原理知，
1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥xn·1＋xn－1·x＋…＋1·xn，
所以1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn. ①
又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排序，于是由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
所以x＋x3＋…＋x2n－1≥nxn. ②
①＋②，得
1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
(2)当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞xn，
同理可得结论．
综合(1)与(2)可知，当x＞0时，
1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
学习目标 1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用．
知识点 排序不等式
思考1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？
答案 (1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案．
(2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多；
5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少．
思考2 如图，∠POQ＝60°，比较与的大小．
答案
梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念
设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列．
①乱序和：S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn.
②反序和：S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.
③顺序和：S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn.
(2)排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．
类型一 利用排序不等式证明不等式
例1 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，
求证：＋＋≥＋＋.
证明 ∵a≥b＞0，于是≤，
又c＞0，从而≥，
同理≥，从而≥≥.
又顺序和不小于乱序和，故可得
＋＋≥＋＋
＝＋＋
≥＋＋
＝＋＋＝＋＋.
∴原不等式成立．
反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
跟踪训练1 已知0＜a≤b≤c，求证：＋＋≥＋＋.
证明 因为0＜a≤b≤c，所以0＜a＋b≤c＋a≤b＋c，
所以≥≥＞0，
又0＜a2≤b2≤c2，
所以＋＋是顺序和，
＋＋是乱序和，
由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，
即不等式＋＋≥＋＋成立．
例2 已知a，b，c均为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．
证明 由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，
所以a2≥b2≥c2，≥≥.
由顺序和≥乱序和得到两个不等式：
＋＋≥＋＋，
＋＋≥＋＋.
两式相加，得
2≥＋＋，
注意到≥(b＋c)，≥(c＋a)，
≥(a＋b)，
所以2
≥(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)
＝a＋b＋c.
故＋＋≥(a＋b＋c)．
反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据．
跟踪训练2 设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明：
a3＋b3＋c3≤＋＋.
证明 不妨设0＜a≤b≤c，
则a5≤b5≤c5，≤≤，
所以由排序不等式可得
a3＋b3＋c3＝＋＋≤＋＋，
a3＋b3＋c3＝＋＋≤＋＋，
所以a3＋b3＋c3≤＋＋.
类型二 利用排序不等式求最值
例3 设a，b，c为任意正数，求＋＋的最小值．
解 由于a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，
则a＋b≥a＋c≥b＋c，
≥≥，
由排序不等式，得
＋＋≥＋＋，
＋＋≥＋＋，
上述两式相加，得2≥3，
即＋＋≥.
当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值.
反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值．
跟踪训练3 设0＜a≤b≤c且abc＝1.试求＋＋的最小值．
解 令S＝＋＋，
则S＝＋＋
＝·bc＋·ac＋·ab.
由已知可得≥≥，ab≤ac≤bc.
∴S≥·ac＋·ab＋·bc
＝＋＋.
又S≥·ab＋·bc＋·ac
＝＋＋，
两式相加，得2S≥＋＋≥3·＝3.
∴S≥，即＋＋的最小值为.
1．设a，b，c均为正数，且P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是( )
A．P＞QB．P≥QC．P＜QD．P≤Q
答案 B
解析 不妨设a≥b≥c＞0，则a2≥b2≥c2＞0.由排序不等式，得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以P≥Q.
2．已知a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11.将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值是( )
A．324 B．314
C．304 D．212
答案 C
解析 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5≤a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5
＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.
3．n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为________．
答案 n
解析 设0＜a1≤a2≤a3≤…≤an，
则0＜a≤a≤…≤a，
则由排序不等式得，反序和≤乱序和≤顺序和．
故最小值为反序和
a1·a＋a2·a＋…＋an·a＝n.
4．设a，b都是正数，求证：2＋2≥＋.
证明 由题意不妨设a≥b＞0.
则a2≥b2，≥，所以≥.
根据排序不等式知，·＋·
≥·＋·，
即2＋2≥＋.
1．对排序不等式的理解
排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了．
2．排序不等式的本质
两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．
3．排序不等式取等号的条件
等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝b3＝…＝bn.
4．排序原理的思想
在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．
一、选择题
1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )
A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
答案 B
解析 根据排序原理，反序和最小，即az＋by＋cx最小．
2．已知a，b，c＞0，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零 B．大于零或等于零
C．小于零 D．小于零或等于零
答案 B
解析 当a＝b＝c＝1时，
a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)＝0，
当a＝1，b＝2，c＝3时，
a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)＝62.
3．设a，b，c都是正数，则式子M＝a5＋b5＋c5－a3bc－b3ac－c3ab与0的大小关系是( )
A．M≥0
B．M≤0
C．M与0的大小关系与a，b，c的大小有关
D．不能确定
答案 A
解析 不妨设a≥b≥c＞0，
则a3≥b3≥c3，且a4≥b4≥c4，
则a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4
≥a·c4＋b·a4＋c·b4.
∵a3≥b3≥c3，
且ab≥ac≥bc，
∴a4b＋b4c＋c4a＝a3·ab＋b3·bc＋c3·ca
≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
∴a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
∴M≥0.
4．在锐角三角形ABC中，设P＝，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的大小关系为( )
A．P≥Q B．P＝Q
C．P≤Q D．不能确定
答案 C
解析 不妨设A≥B≥C，
则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，
则由排序不等式有
Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA
＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)，
Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥bcosA＋ccosB＋acosC
＝R(2sinBcosA＋2sinCcosB＋2sinAcosC)，
上面两式相加，得
Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥R(2sinAcosB＋
2sinBcosA＋2sinBcosC＋2sinCcosB＋2sinCcosA＋2sinAcosC)
＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]
＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝P＝.
5．设a1，a2，a3为正数，E＝＋＋，F＝a1＋a2＋a3，则E，F的大小关系是( )
A．E＜FB．E≥FC．E＝FD．E≤F
答案 B
解析 不妨设a1≥a2≥a3＞0，
则≤≤且a2a3≤a3a1≤a1a2，
∴＋＋≥·a1a2＋·a2a3＋·a3a1
＝a1＋a2＋a3.
∴E≥F.
6．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋xy3，则M与N的大小关系是( )
A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N
答案 B
解析 ∵x≥y，
∴x3≥y3.
∴M＝x·x3＋y·y3≥x3·y＋y3·x＝x3y＋y3x＝N.
二、填空题
7．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．
答案 32 28
解析 由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.
8．5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min，10min，5min，统筹安排这5个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为________min.
答案 84
解析 5个人按接水时间为4 min,5 min,6 min,8 min，10 min的顺序进行接水时等待的总时间最少，为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．
9．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与(a＋b)的大小关系为________．
答案 aA＋bB≥(a＋b)
解析 不妨设a≥b＞0，
则A≥B＞0，由排序不等式
?2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B)
＝(a＋b)，
∴aA＋bB≥(a＋b)．
10．设a1，a2，…，an为正数，且a1＋a2＋…＋an＝5，则＋＋…＋＋的最小值为________．
答案 5
解析 由所求代数式的对称性，
不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，
所以a≤a≤…≤a，
≥≥…≥，
而，，…，，为，，，…，的一个排列，由乱序和≥反序和，得a·＋a·＋…＋a·＋a·≥a·＋a·＋…＋a·，即＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an＝5.
三、解答题
11．设a，b，c∈(0，＋∞)，利用排序不等式证明：a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b.
证明 不妨设a≥b≥c＞0，则lg a≥lg b≥lg c，
所以alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c，
alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c，
所以2alg a＋2blg b＋2clg c≥(b＋c)lg a＋(a＋c)lg b＋(a＋b)lg c，
所以lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(ab＋c·ba＋c·ca＋b)，
故a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b.
12．设a1，a2，…，an是n个互不相等的正整数，求证：
1＋＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋.
证明 设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列，且满足b1＜b2＜…＜bn.
因为b1，b2，…，bn是互不相等的正整数，
故b1≥1，b2≥2，…，bn≥n.
又因为1＞＞＞…＞，
故由排序不等式，得
a1＋＋＋…＋≥b1＋＋＋…＋
≥1×1＋2×＋3×＋…＋n·
＝1＋＋＋…＋.
13．已知0＜α＜β＜γ＜，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα＞(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．
证明 ∵0＜α＜β＜γ＜，且y＝sinx在上为增函数，y＝cosx在为减函数，
∴0＜sinα＜sinβ＜sinγ，cosα＞cosβ＞cosγ＞0.
∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα＞sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．
四、探究与拓展
14．设x，y，z为正数，求证：
x＋y＋z≤＋＋.
证明 由于不等式关于x，y，z对称，
不妨设0＜x≤y≤z，
于是x2≤y2≤z2，≤≤，
由反序和≤乱序和，得
x2·＋y2·＋z2·≤x2·＋y2·＋z2·，
x2·＋y2·＋z2·≤x2·＋y2·＋z2·，
将上面两式相加得
2(x＋y＋z)≤＋＋，
于是x＋y＋z≤＋＋.
15．设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
证明 (1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn.
由排序原理知，
1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥xn·1＋xn－1·x＋…＋1·xn，
所以1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn. ①
又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排序，于是由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
所以x＋x3＋…＋x2n－1≥nxn. ②
①＋②，得
1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
(2)当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞xn，
同理可得结论．
综合(1)与(2)可知，当x＞0时，
1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.