第4讲 1 数学归纳法学案

一　数学归纳法
学习目标　1.了解数学归纳法的基本原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法证明一些简单问题．
知识点　数学归纳法
在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．
思考1　试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？
答案　①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．
思考2　由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？
答案　适合解决一些与正整数n有关的问题．
梳理　数学归纳法的概念及步骤
(1)数学归纳法的定义
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
①证明当n＝n0时命题成立；
②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
(2)数学归纳法适用范围
数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．
(3)数学归纳法的基本过程
类型一　用数学归纳法证明等式
例1　用数学归纳法证明＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N＋)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即＋＋…＋＝1－.
当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＝1－＋＝1－，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，原等式对n∈N＋均成立．
反思与感悟　利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．
跟踪训练1　用数学归纳法证明1＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N＋)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2
＝.
当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝
＝.
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
类型二　证明与整除有关的问题
例2　求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
证明　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，
那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2
＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
即当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题均成立．
反思与感悟　利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．
跟踪训练2　用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．
证明　(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，
所以结论成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，
9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，
即当n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)知，命题对一切n∈N＋成立．
类型三　用数学归纳法证明几何命题
例3　有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
证明　(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，
且f(1)＝1－1＋2＝2，
所以n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，
即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则当n＝k＋1时，
在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原平面一分为二，
故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k
＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综合(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立．
反思与感悟　(1)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可．
(2)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明．
跟踪训练3　平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成(n2＋n＋2)个区域(n∈N＋)．
证明　(1)当n＝1时，一条直线把平面分成两个区域，
又×(12＋1＋2)＝2，∴n＝1时命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了(k2＋k＋2)个区域．
那么当n＝k＋1时，k＋1条直线中的k条直线把平面分成了(k2＋k＋2)个区域，第k＋1条直线被这k条直线分成k＋1段，每段把它们所在的区域分成了两块，
因此增加了k＋1个区域，
∴k＋1条直线把平面分成了(k2＋k＋2)＋k＋1＝[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]个区域．
∴当n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)知，对一切的n∈N＋，此命题均成立．
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为(　　)
A．1B．2C．3D．4
答案　C
解析　边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为(　　)
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
答案　B
解析　当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为__________．
答案　81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)＋56×34k＋1)
解析　34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.
4．用数学归纳法证明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，
1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
所以当n＝k＋1时等式成立．
由(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．
1．应用数学归纳法时应注意的问题
(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3.
(2)对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
(3)“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．
2．判断利用数学归纳法证明问题是否正确．
(1)是要看有无归纳基础．
(2)是证明当n＝k＋1时是否应用了归纳假设．
3．与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明．其中关键问题是从当n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立．
一、选择题
1．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述(　　)
A．命题、推理都正确
B．命题正确、推理不正确
C．命题不正确、推理正确
D．命题、推理都不正确
答案　B
解析　推理不正确，错在证明当n＝k＋1时，没有用到假设当n＝k时的结论，命题由等比数列求和公式知正确．
2．在数列{an}中，a1＝－1，前n项和Sn＝－1先算出数列的前4项的值，再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是(　　)
A．an＝－1 B．an＝n－1
C．an＝－ D．an＝－
答案　D
解析　∵a1＝－1，S2＝－1，
∴a2＝S2－S1＝－，
a3＝S3－S2＝－，
a4＝S4－S3＝－，
猜想：an＝－.
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成(　　)
A．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B．假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确
D．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋2时正确
答案　B
解析　∵n为正奇数，
∴在证明时，归纳假设应写成：
假设当n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推出当n＝2k＋1时正确，故选B.
4．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A. B.
C.＋ D.－
答案　D
解析　因为f(n)＝＋＋…＋，
所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
所以f(n＋1)－f(n)＝＋－
＝－.
5．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值可以等于(　　)
A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3
答案　D
解析　令n＝1,2得到关于a，b的方程组，解得即可．
6．某个命题与正整数n有关，若当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得(　　)
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
答案　C
解析　由已知得当n＝k时成立?n＝k＋1时成立．
∴当n＝k＋1时不成立?当n＝k时不成立．
∴由当n＝5时不成立知，当n＝4时不成立．
二、填空题
7．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)＝________.
答案　＋＋
解析　因为f(n)＝1＋＋＋…＋，
所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，
所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
8．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子应为________________．
答案　1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·
9．已知平面上有n(n∈N＋，n≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)＝__________，f(4)＝____________，f(5)＝____________，f(n＋1)＝f(n)＋____________.
答案　3　6　10　n
解析　当n＝k时，有f(k)条直线．当n＝k＋1时，增加的第k＋1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k＋1)＝f(k)＋k.所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n.
10．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…，
照此规律，第n个等式可为____________________．
答案　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
解析　由已知，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，右边为2n×1×3×…×(2n－1)．
所以第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
三、解答题
11．用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
证明　(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．
当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9×8k＋9×9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，
即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)．
∴n＝k＋1时命题也成立．
综合(1)(2)可知，对任意的n∈N＋，命题都成立．
12．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，
所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋－＝＋－＝＋＝＋…＋＋＋＝＋＋…＋，所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意n∈N＋等式都成立．
13．请观察以下三个式子：
(1)1×3＝；
(2)1×3＋2×4＝；
(3)1×3＋2×4＋3×5＝，
归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．
解　结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)
＝.
证明：①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k(k＋2)
＝，
当n＝k＋1时，1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3)
＝＋(k＋1)(k＋3)
＝(2k2＋7k＋6k＋18)
＝(2k2＋13k＋18)
＝
＝，
所以当n＝k＋1时，命题成立．
由①②知，命题成立．
四、探究与拓展
14．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k(k∈N＋，k≥1)的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．
答案　(k＋1)2＋k2
解析　当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.
15．已知数列，，，，…，，…，计算数列和S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解　S1＝＝，S2＝＋＝，
S3＝＋＝，S4＝＋＝.
上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1，于是可以猜想Sn＝.其证明如下：
(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝，猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时猜想成立，
即＋＋…＋＝成立，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝＝，
所以当n＝k＋1时，猜想成立．
由(1)(2)知，猜想对任意n∈N＋，Sn＝都成立．